一道高三質檢題的拓展與思考

福建省福清港頭中學 (350317) 黃 印

福建省福清第三中學 (350315) 何 燈

解題訓練是提升數學思維能力的有效途徑，但對于如何解題、解題之后又該如何反思一直是廣大師生關注的話題.面對多如繁星的高考模擬試題，我們該如何應對？又該如何使學生達到做一題會一類的效果？本文結合一道2021年福州5月高三質檢題，談談如何將特殊問題推廣到一般性問題，探究一類問題的普遍聯系，揭示試題的形成過程，以幫助學生理解問題本質，提升問題求解能力.

(ⅰ)求C的離心率；

圓錐曲線中定值與定點問題的難點在于解題之前不知道定值與定點的結果，因而對解題增添了一定的難度.解決這類問題時，需站在思想的高度，利用特殊與一般思想在動點的“變”中尋求定值或定點的“不變”性.故此題可先通過斜率不存在來確定定值， 再轉化為有目標的一般性證明，從而達到解決問題的方法.

(2)當直線l的斜率存在時，設斜率為k，則直線l的方程為y=k(x-1).

當然，若焦點在y軸上的橢圓和雙曲線滿足上述條件，則相應的結論也成立.值得注意的是：當m=n>0時，該圓錐曲線為圓心在原點的圓，此時結論仍然成立.

探究感悟：在高三復習的過程中，會遇到各種各樣的圓錐曲線問題.從一種曲線的特殊問題切入，通過特殊與一般思想作為思考的指引，將特殊問題一般化并類比到其它圓錐曲線上，是學習研究圓錐曲線的有效方式之一.若能反思問題本質，利用類比思想進行聯想歸類，總結提煉通性通法，不僅能進一步提高學生的思維層次，更能取得舉一反三、融會貫通的功效，還能破解命題者改編試題的“套路”.

試題再探如果A、B是橢圓短軸的兩端點，類似結論是否仍成立？筆者通過推導以及借助GeoGebra軟件的輔助，發現結論仍成立.并進一步觀察發現：A、B本質上就是圓錐曲線與x軸(或y軸)的兩交點.于是就有以下一般性的結論：

以上結論不難證明，限于篇幅，此處略去.

值得一提的是，當直線l經過圓錐曲線的焦點時，交點G的軌跡恰為圓錐曲線的準線.

解題大師波利亞指出：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍找找，很可能附近就有好幾個.”[1]因此，在數學解題的研究中，我們要善于在問題的周圍尋找，探尋同類題，探究問題的根源，使得解題走向深入.教師應有意識地培養學生的問題探究意識，挖掘問題中蘊含的方方面面，將問題進行拓展延伸、遷移類比、變式升華，以提高學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，進而培養和提升學生的數學核心素養[2].