抓住本質(zhì) 觸類旁通 發(fā)展素養(yǎng)*
——對一道解析幾何小題的探究與思考

廣東省中山市小欖中學(xué) (528415) 李顯剛

圓錐曲線與直線的位置關(guān)系一直是高考的熱點和難點，在很多圓錐曲線題目中都是探求一些特殊結(jié)論(如定值、定點問題)，這些結(jié)論看似特殊，實則都具普遍性，而且往往具有豐富的命題背景和深厚的內(nèi)涵，研究此類試題不僅能夠更好的把握解析幾何的本質(zhì)，還能透過試題挖掘隱含的命題規(guī)律，更能將其拓展到一般情況，從而提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).下面以一道解析幾何模考題為例進行說明.

1 試題呈現(xiàn)與分析

試題分析：試題背景簡單，從知識層面看，主要考查直線與橢圓的綜合問題，以及動態(tài)直線中的定值等知識；從能力層面看主要考查學(xué)生運算求解，邏輯推理等方面的能力，突出考查數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)；試題的思維過程和運算過程體現(xiàn)了能力立意的命題思想，較好地體現(xiàn)了對直線與圓錐曲線的核心內(nèi)容和基本思想方法的考查，亦較好地檢測考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)潛能.

2 解法探究

圖1

圖2

評注：此題作為一個小題比較自然的想到特值法，先得到答案，再用點運動軌跡的一般性解題，思路較為常規(guī)，計算相對復(fù)雜一點，結(jié)果還是比較容易得出.在GeoGeBra軟件運行過程中發(fā)現(xiàn)，改變一些條件結(jié)論也是成立的.

3 結(jié)論推廣

圖3

圓錐曲線試題的研究價值不應(yīng)僅僅點線停留在特殊位置上，還應(yīng)該挖掘深層次的位置問題，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)；通過上述證明探究，我們發(fā)現(xiàn)試題中只要點A1,A2關(guān)于原點軸對稱，還可以將結(jié)論拓展到更一般的情形.

我們知道橢圓和雙曲線有著緊密的類比聯(lián)系，它們有很多類似的性質(zhì)，同樣對雙曲線進行了類比探究得到如下結(jié)論.

圖5

圖6

4 教學(xué)思考

法國數(shù)學(xué)家盧卡斯說過：“多數(shù)的數(shù)學(xué)創(chuàng)造是直覺的結(jié)果，對事實多數(shù)有點兒直接的知覺或快速的理解，而與任何冗長的或形式的推理過程無關(guān)”.引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會解題是數(shù)學(xué)新課標(biāo)中教學(xué)的重要組成部分，數(shù)學(xué)問題的解決僅僅是一個開端，更重要的是解題后的反思與回顧.遇到一道經(jīng)典題目，需要從多角度、特別是運用信息技術(shù)，在GeoGeBra軟件的支持下去改變題目條件，從數(shù)學(xué)知識本身去尋求共性，可以發(fā)現(xiàn)知識之間的相互聯(lián)系，體會轉(zhuǎn)化的過程，還可以構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)體系，從而學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不僅掌握了基本的解題技能，還培養(yǎng)了思維的深刻性、靈活性以及創(chuàng)新性，讓學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容有一個整體認(rèn)識，并將知識融會貫通，舉一反三，活躍思維，學(xué)生的能力素養(yǎng)在潛移默化中得到提升.

復(fù)習(xí)備考中也許有老師或同學(xué)問，這種方式會不會耽誤學(xué)生的復(fù)習(xí)進度，需要給學(xué)生講解一般化探究嗎？這些質(zhì)疑不無道理，但是“舉一反三、觸類旁通”更能提高效率，學(xué)生通過一個題目深入探究從而掌握這類題目解題的通性通法，老師只需傳遞解題思路、滲透思想方法、揭示問題本質(zhì).讓同學(xué)們在課堂多一點思考，歸類總結(jié)，抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，從而更好地提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).