相同條件下一類(lèi)不等式問(wèn)題的探究

江蘇省儀征中學(xué) (211400) 李軍焰

在一些不等式問(wèn)題所給出的條件中，“已知正數(shù)a，b，c滿(mǎn)足abc=a+b+c+2”出現(xiàn)的頻率較高.本文首先給出“abc=a+b+c+2”的幾個(gè)等價(jià)形式，然后探究以“abc=a+b+c+2”或它的等價(jià)形式為條件的一些不等式問(wèn)題，最后探究“abc=a+b+c+2”的幾何背景，僅供參考.

1.abc=a+b+c+2的等價(jià)形式

證明：由abc=a+b+c+2，兩邊同除以abc，移項(xiàng)即得(1).

2.abc=a+b+c+2或其等價(jià)形式為條件的不等式問(wèn)題

以“abc=a+b+c+2”或其等價(jià)形式作為條件，可以得到許多有趣的不等式.

例1 已知正數(shù)a，b，c滿(mǎn)足abc=a+b+c+2，求證：abc≥8.

例3 已知正數(shù)a，b，c滿(mǎn)足abc=a+b+c+2，求證：ab+bc+ca≥2(a+b+c). (2005年哈薩克斯坦數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題)

下面來(lái)證明(1)式成立.

例4 已知正數(shù)a，b，c滿(mǎn)足abc=a+b+c+2，求證：a2+b2+c2+2(a+b+c)≥2(ab+bc+ac).

證法1：由例1可知abc≥8.

點(diǎn)評(píng)：證法1將條件abc=a+b+c+2變形為2=abc-a-b-c進(jìn)行“常數(shù)代換”，兩次運(yùn)用3元均值不等式后換元將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，借助二次函數(shù)的最值完成不等式證明的.

下面來(lái)證明(1)式成立.

點(diǎn)評(píng)：證法2首先將所證不等式等價(jià)轉(zhuǎn)換，然后實(shí)施代換，應(yīng)用舒爾不等式和2元均值不等式，巧妙地進(jìn)行了化簡(jiǎn)證明.

3.abc=a+b+c+2的幾何背景

如圖1，在△ABC及其內(nèi)部的任意一點(diǎn)G，直線AG，BG，CG交三角形的對(duì)邊于D，E，F(xiàn)，記△ABC，△BGC，△AGC，△AGB，的面積分別為S，S1，S2，S3，則S=S1+S2+S3.

圖1