一個(gè)圓錐曲線性質(zhì)的探究

廣東省佛山市實(shí)驗(yàn)中學(xué) (528061) 謝偉帆 林壁創(chuàng)

筆者在研究2021年北京燕博園考試的解析幾何題時(shí)，發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)藏其中的角平分線的若干性質(zhì)，通過(guò)與八省市適應(yīng)性考試解析幾何題的對(duì)比，發(fā)現(xiàn)二者同源，下面給讀者展示完整的探究過(guò)程.

1 試題呈現(xiàn)

(2)如圖1，經(jīng)過(guò)分析知直線FE平分∠MFB.

圖1

法一：(設(shè)線)設(shè)直線AM:y=k(x+2)，則N(2,4k)，E(2,t)，M(xM,yM).聯(lián)立

法一是命題者提供的答案，筆者認(rèn)為可以進(jìn)行優(yōu)化，從而得法二.

解析幾何除了設(shè)線外還可以設(shè)點(diǎn)，由此可得法三、法四.

反思：在法二中，kEF=2k=2kAM，這個(gè)結(jié)論恒成立嗎？為此，下面將橢圓一般化來(lái)研究.

2 探本溯源

2.1 推廣到一般橢圓

圖2

2.2 推廣到雙曲線

圖3

圖4

2.3 推廣到拋物線

圖5

3 結(jié)論應(yīng)用

(1)求C的離心率(e=2)；

(2)若B在第一象限，證明：∠BFA=2∠BAF.

圖6

4 歸納總結(jié)

通過(guò)研究推廣，得到了圓錐曲線中角平分線的若干性質(zhì)，經(jīng)過(guò)深挖幾何特征，我們驚喜地發(fā)現(xiàn)燕博園與八省市適應(yīng)性考試的圓錐曲線的命題背景都是角平分線的性質(zhì).