直觀想象在破解函數(shù)零點(diǎn)問題中的應(yīng)用

山東省青島市即墨區(qū)第二中學(xué) (266200) 史 鑫

函數(shù)零點(diǎn)問題是溝通函數(shù)、方程、圖象等知識(shí)的重要橋梁，它充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的密切關(guān)系，展現(xiàn)了數(shù)與形的完美結(jié)合，因而也是高考考查的重點(diǎn)，且常處于壓軸題的位置.直觀想象作為六大核心素養(yǎng)之一，是一種圍繞幾何思維解決問題的能力素養(yǎng)，其具體體現(xiàn)是“數(shù)缺形時(shí)少直觀”，在求解函數(shù)零點(diǎn)的綜合問題有著得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì).本文以近期各地模擬題為例，來說明直觀想象在求解函數(shù)零點(diǎn)幾類問題中的運(yùn)用.

一、判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

A.7 B.8 C.9 D.10

圖1

點(diǎn)評(píng)：本題先將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程，再將函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，進(jìn)而通過函數(shù)的圖象變換作出圖象判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)的，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象及直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的運(yùn)用.借助函數(shù)圖象直觀地求解函數(shù)零點(diǎn)問題是重要的解題手段和方法.

A.若g(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則m<0

C.若g(x)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則0

D.b

解析：由f(x)=f(2-x)知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，如圖2. 令g(x)=0，即m|x|-2=f(x). 設(shè)h(x)=m|x|-2，當(dāng)x>0時(shí)，h(x)=mx-2.

圖2

點(diǎn)評(píng)：本題首先由函數(shù)的抽象性質(zhì)得到函數(shù)圖象的對(duì)稱性，然后將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程后再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出臨界值，進(jìn)而分析推理作出判斷的.

二、根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求函數(shù)式的值

A.a-1 B.1-aC.-1 D.1

圖3

點(diǎn)評(píng)：本題首先將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根，并依據(jù)目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特征，換元轉(zhuǎn)化為新元的方程后，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，作出圖象整體求解的.

三、根據(jù)零點(diǎn)情況求參數(shù)的取值范圍

例4(2020屆駐馬店市一模理16) 已知函數(shù)f(x)=(x2-ax)ex-ax+a2(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a∈R，a為常數(shù))有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

圖4

點(diǎn)評(píng)：在研究函數(shù)零點(diǎn)問題時(shí)，有一種方法是把函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的解，再把方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)，這樣就可利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性或極值，從而得出函數(shù)的變化趨勢(shì)，進(jìn)而作出函數(shù)圖象直觀地得到結(jié)論.

例5 (2020.4華大新高考聯(lián)盟高三教學(xué)質(zhì)量測(cè)評(píng)16)用符號(hào)[x]是不超過x的最大整數(shù)，例如，[0.6]=0；[2.3]=2；[5]=5.設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-2ln2(2x)+(x-ax2)ln(2x)有三個(gè)零點(diǎn)x1，x2，x3(x1

解析：由f(x)=ax2ln(2x)+2ln(2x)-2ln2(2x)=ax2(1-ln(2x))+2ln(2x)(1-ln(2x))=(1-ln(2x))(ax2+2ln(2x))=0，x>0，則1-ln(2x)=0①,或ax2+2ln(2x)=0②.

圖5

點(diǎn)評(píng)：本題以高斯函數(shù)為背景，考查了函數(shù)零點(diǎn)、利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的圖象及性質(zhì).

四、研究函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

圖6

∴g(x)在(0，x0)上單調(diào)遞增，在(x0，π)上單調(diào)遞減.∵g(0)=0，∴g(x0)>0.又∵g(π)=-aπ<0，∴由零點(diǎn)存在性定理可得，此時(shí)g(x)在(0，π)上僅有一個(gè)零點(diǎn).

圖7

綜上所述，當(dāng)0

點(diǎn)評(píng)：本題(2)通過構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，在分類討論的基礎(chǔ)上，作出函數(shù)圖象，通過觀察分析圖象，利用零點(diǎn)存在定理確定出函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).