利用同構法巧解指對共存函數問題

南京師范大學附屬揚子中學 (210048) 程 偉

在解決等式或者不等式恒成立、能成立問題時，如果能把等式或者不等式等價變形使其兩側結構一致，并能夠找到一個函數模型，使兩邊對應同一個函數，再利用函數的單調性來處理問題.此方法叫做同構法.在遇見指數函數與對數函數共存的等式或者不等式時，如求方程解或者恒成立問題求參數范圍以及證明不等式成立時，若采用隱零點代換、參變分離或者直接求導，由于本身結構特征，求導時可能需要多次求導，對學生能力要求很高且難以避免繁瑣計算，有時甚至很難進行下去，若考慮采用同構法進行轉化，則能化繁為簡，加快解題速度.同構法無疑就是解決指對函數共存問題的利器.

1、同構法在指對共存函數中應用

應用一：同構法在恒成立或能成立問題中應用

總結：對于aea≥blnb型指對共存，同構方式有三種：

(1)同左：aea≥blnb?aea≥lnbelnb，構造函數f(x)=xex；

(2)同右：aea≥blnb?ealnea≥blnb，構造函數f(x)=xlnx；

(3)取以e為底對數：aea≥blnb?lna+a≥ln(lnb)+lnb，構造函數f(x)=x+lnx.

綜合比較三種同構方式，取以e為底對數法構造的函數，單調性判斷最簡單.但解法二、解法三需要注意定義域.

應用二：同構法在證明不等式中的應用

應用三：同構法在隱零點中的應用

總結：在隱零點問題中，由于方程不可解，可以考慮等價化成aea=blnb型指對共存，采用同左同構方式：aea=blnb?aea=lnbelnb，構造函數f(x)=xex，從而得出a=lnb，便于代入最終式處理.

應用四：同構法與切線不等式結合在求最值中的應用

A．a=bB．a

C．a>bD．a，b的大小關系不確定

總結：例3、例4給出了對比解法，同構和切線不等式放縮結合具有很強的威力，明顯提升了解題速度.解決此類問題首先運用兩個恒等式：a=elna和a=lnea進行局部同構變形，然后利用兩個常見的切線放縮不等式ex≥x+1和lnx≤x-1.常見模型有：

(1)xnex=ex+nlnx≥x+nlnx+1；

(2)x+nlnx=ln(xnex)≤xnex-1.

2、同構法在高考中應用

例5 (2020年新高考全國Ⅰ卷)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna．(1)當a=e時，求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

(2)f(x)=aex-1-lnx+lna=elna+x-1-lnx+lna≥1等價于elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x=elnx+lnx.

令g(x)=ex+x,上述不等式等價于g(lna+x-1)≥g(lnx),顯然g(x)為單調增函數，∴又等價于lna+x-1≥lnx，即lna≥lnx-x+1.

總結：對于ea±a≥b±lnb型指對共存，同構方式有兩種：

(1)同左：ea±a≥b±lnb?ea±a≥elnb±lnb，構造函數f(x)=ex±x；

(2)同右：ea±a≥b±lnb?ea±lnea≥b±lnb，構造函數f(x)=x±lnx.