利用“基本思路”解一道中考幾何壓軸題

湖南省常德市第三中學(xué) (415000) 陸信明

中考幾何壓軸題綜合性較強(qiáng)，一般需要構(gòu)造輔助線求解，讓學(xué)生心生畏懼，難以突破．究其原因，除了試題本身承載著選拔功能，有較高難度外，學(xué)生對(duì)一些重要的“基本思路”不重視、不熟練、理解不到位也是不容忽視的原因．在初中平面幾何中，“基本思路”一般指依據(jù)教材中的一些基本定理、重要結(jié)論為待解決的問(wèn)題所提供的解題方向，例如：要證明兩直線平行，“基本思路”一般為證明同位角或內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)或證明平行四邊形、中位線等．這些“基本思路”看似平淡無(wú)奇，實(shí)則作用巨大，下面本文結(jié)合2021年湖南省常德市中考數(shù)學(xué)幾何壓軸題對(duì)利用“基本思路”解題進(jìn)行說(shuō)明.

題目如圖1，在△ABC中，AB=AC，N是BC邊上的一點(diǎn)，D為AN的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交CD的延長(zhǎng)線于T，且AT=BN，連接BT.

圖1

(1)求證：BN=CN；

圖2

下面我們重點(diǎn)說(shuō)明第(2)小題第②問(wèn).

由(1)可得點(diǎn)D是TC中點(diǎn)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)P是TM中點(diǎn)即可．而證明中點(diǎn)，往往有構(gòu)造全等三角形、等量代換、等腰三角形“三線合一”、構(gòu)造三角形中位線等“基本思路”，由于本問(wèn)是證明中位線，故“基本思路”只有前面三種.

基本思路一 構(gòu)造全等三角形

由于TP、PM分別是△TAP、△MCP的邊，而兩三角形大小不同，故考慮使用“割補(bǔ)法”構(gòu)造全等三角形來(lái)證明TP=PM.

圖3

圖4

基本思路二 等量代換

由題中“對(duì)稱(chēng)”這一條突出條件，能立即發(fā)現(xiàn)PM=PN，而要證明TP=PM，可考慮利用等量代換證明PT=PN即可.

圖5

基本思路三 等腰三角形“三線合一”

要證點(diǎn)P是TM的中點(diǎn)，觀察到△OTM是等腰三角形，故考慮連接OP，利用等腰三角形“三線合一”證明OP⊥TM即可.

解法4：如圖6，連接OP，由①有△TOM∽△AOC，∴∠PMO=

圖6

解法5：如圖7，連接OP，由①有△TOM∽△AOC，∴∠PMO=∠PCO，∵∠PHM=∠OHC，

圖7

以上兩種解法均是在四邊形PMCO中求證的，在四邊形PATO也有類(lèi)似的兩種解法，在此不一一贅述.

通過(guò)以上說(shuō)明我們可以發(fā)現(xiàn)：“基本思路”是依據(jù)基本定理、重要結(jié)論而形成的，是提升數(shù)學(xué)能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要環(huán)節(jié)，利用“基本思路”解題符合理性思維的特征，有利于優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì)．在教學(xué)中，教師加強(qiáng)“基本思路”的引導(dǎo)，在練習(xí)中，學(xué)生注重利用“基本思路”思考，在深刻理解“基本思路”后，輔助線的添加就不再是天馬行空僅憑感覺(jué)的，而是水到渠成、合情合理的，中考幾何壓軸題的突破也就變得順理成章了.