一類耦合交錯的Hadamard型分數階微分系統邊值問題

張海燕，姚慧子

宿州學院數學與統計學院，安徽宿州,234000

由于分數階微分方程具有整數階微分方程所不具備的應用前景，其理論和應用研究受到科研工作者們的廣泛關注，如Kilbas等[1]對分數階微積分理論基礎進行了系統總結，陳文等[2]介紹了分數階導數擴散方程模型的理論基礎、物理機理、數值算法，闡述了分數階微分模型在地下含水層溶質遷移過程模擬、水工建筑物混凝土氯離子侵蝕，非飽和土壤水分運移過程分析與其他領域的應用，薛定宇[3]系統地介紹了分數階微積分學與分數階控制領域的理論知識與數值計算方法,Ahmad等[4]對一類特殊的Hadamard型方程的微分包含問題進行了深入研究，獲得了一系列新成果。

近年來，分數階微分方程解的存在性是數學研究者重點關注的問題，這方面有許多優秀成果[5-8]。特別地，在文獻[9]中，Ahmad等討論了具有邊值條件的非線性交錯的單變量Hadamard型微分方程：

(1)

通過利用Dhage不動點定理獲得了方程(1)解的存在性結果。另一方面，分數階微分方程的多變量耦合系統也具有重要的研究意義[10-13]，因為這類系統出現在許多交叉學科領域的應用中，如同步現象、非局部的熱彈性學和生物工程等。

受上述文獻啟發，文本通過構建新的乘積范數空間，定義新的上模范數，在適當的非線性條件下，研究一類耦合交錯的Hadamard型分數階微分系統邊值問題：

(2)

其中Dα1,Dα2是Hadamard型α1和α2階的分數階導數，fi∈C([1,e]×R×R,R{0}),gi∈C([1,e]×R×R,R)。當系統(2)退化為單個變量情形，則涵蓋了文獻[9]所討論的交錯Hadamard型微分方程；當fi退化為常數時，系統(2)為一般的耦合Hadamard型微分系統。因此，本系統推廣和改進了文獻[9]和文獻[10-13]討論的問題。

1 預備知識

定義實值函數f:[1,e]→R的函數空間X=C([1,e],R)。顯然，空間X=C([1,e],R)是范數‖x‖=sup{|x(t)|:t∈[0,1]}下的Banach空間，也是乘積定義(x,y)(t)=x(t)·y(t)下的一個Banach代數。乘積空間=X×X在范數‖(x,y)‖=‖x‖+‖y‖下也是一個Banach空間，即范數線性空間(，‖(·,·)‖)是一個Banach空間，同時在乘積定義((x,y)·(u,v))(t)=(x,y)(t)·(u,v)(t)=(x(t)u(t),y(t)v(t))，t∈[1,e],下也是一個Banach代數。

定義2函數g:(0,+∞)→R的α>0階Hadamard型分數階積分定義為

定義3[14]若X是Banach空間，稱算子Τ：X→X是利普希茨的，如果存在一個常數LT>0使得 ‖Τ(x)-Τ(y)‖≤LT‖x-y‖,?x,y∈X。

引理1[15](Dhage)設S是一個非空有界的Banach代數凸閉集,若算子Α：X→X和算子Β：S→X滿足下列條件：

(C1)Α是利普希茨的，存在利普希茨常數LΑ;

(C2)Β是全連續的；

(C3)x=ΑxΒy??y∈S?x∈S;

(C4)LAMB<1,其中MB=‖B(S)‖=sup{‖Bx‖:x∈S};

則算子方程x=ΑxΒx在S中至少有一個解。

2 解的存在性

為獲得系統(2)解的存在性結果，先給出下面引理。

引理2[4]令φ1，φ2∈C([1,e]×R×R，R)，則邊值問題

解的積分形式可表示為：

對于系統(2),列出下面假設條件。

(H2)存在非負常數Mgi>0使得對任意t∈[1,e],x,y∈R,有|gi(t,x,y)|≤Mgi,i=1,2。

(H3)非負常數Lfi和Mgi，i=1,2，滿足

定理1如果條件(H1)-(H3)滿足，則耦合交錯的Hadamard型分數階微分系統(2)在[1,e]×[1,e]中至少存在一個解。

證應用引理1，由(2),我們取

(3)

(4)

S={(x,y)∈:‖(x,y)‖≤ρ}

(5)

則S是中非空Banach代數有界凸閉球。定義算子Α=(Α1,Α2):→和Β=(Β1,Β2):S→如下：

(6)

(7)

于是，微分系統(3)(4)和(6)(7)可以寫成：

A(x,y)(t)B(x,y)(t)=(x,y)(t),t∈[1,e]

則有

(8)

下面分三步證明算子Α和Β滿足引理1的所有條件。

第二步，證明算子Β=(Β1,Β2)是從S到的一個即緊又連續的算子。

首先考慮算子Β的連續性，取(xn,yn),(x,y)∈S，且(xn,yn)→(x,y)，則由勒貝格收斂定理可知：

=Β1(x,y)(t),t∈[1,e]

同理可知：

因此，算子Β(xn,yn)=(Β1(xn,yn),Β2(xn,yn))在[1,e]上收斂于Β(x,y)，即算子Β是連續的。

接著，令(x,y)∈S，結合條件(H2)可知：

最后證明Β(x,y)是上的等度連續函數。令?τ1,τ2∈[1,e],τ1<τ2，則

|Βi(x,y)(τ1)-Βi(x,y)(τ2)|≤

顯然，當τ1→τ2時，對任意的(x,y)∈,|Βi(x,y)(τ1)-Βi(x,y)(τ2)|→0，即Βi(S)等度連續的。因此，Β(S)是等度連續的。

綜上所述，Β(S)?是連續且緊的，由Azela-Ascoli定理知，算子Β在S中是全連續的。故引理1的條件(C2)滿足。

(9)

同理由(8)式第二個等式可知：

(10)

由(9)和(10)可知：

因為‖(x,y)‖=‖x‖+‖y‖，故對?y∈S?x∈S。因此引理1的條件(C3)滿足。

第四步,證明LAMB<1。由(H2)知

綜上所述，算子Α和Β滿足引理1的所有條件，因此由引理1可知耦合交錯的Hadamard型分數階微分系統(2)至少有一個解。

例1 考慮下列耦合交錯Hadamard型分數階微分系統:

故由定理1可知耦合交錯的Hadamard分數階微分系統(2)至少有一解。