關于G-布朗運動驅動下隨機卷積的一些結論

張 晶,王珠冉

江蘇第二師范學院數學科學學院,江蘇南京,210000

經濟學中普遍存在的不確定現象使得線性概率和線性期望等常用數學模型失去用武之地,給不確定性分析帶來困難。經過長時間的探索,Peng[1]提出新的次線性G-期望能夠較好地解決這個基礎性問題,彌補了線性概率空間的期望理論在經濟學領域應用的不足。所謂的G-期望需要滿足次可加性,即E(X+Y)≤E(X)+E(Y)。Peng根據G-期望構造出G-期望空間,隨后構造出G-正態分布的理論,以及一種新的布朗運動{Bt}t∈[0,T],稱為G-布朗運動。G-布朗運動和相應的 G-隨機分析理論是分析金融市場中風險度量、遞歸效用理論和最優投資等更廣泛的不確定性決策理論的基本工具,詳見參考文獻[2]。

此后，Ibragiomv[3]首次將G-期望從有限維空間引入無窮維空間,詳細介紹了無窮維空間中G-正態分布隨機變量的協方差集以及G-布朗運動驅動下的隨機積分,并證明It等距不等式、B-D-G不等式、Fubini定理及隨機卷積積分的連續性,借助隨機卷積積分的性質給出完全非線性拋物型偏微分方程唯一粘性解的概率表示。值得關注的是 Ibragiomv沒有給出隨機卷積積分的H?lder連續性、有界性和極大值不等式,而這些性質在微分方程的應用中是非常重要的,本文將針對這方面問題做出補充。

目前，關于隨機卷積積分的研究有大量成果,如Van等[4]系統地研究了隨機卷積算子的R-有界性,建立L1-值有界性和X-值極大函數有界性之間的密切聯系;Coupek等[5]專注于探究偏微分方程的時空正則性,通過有限域上巴納赫空間隨機變量的超壓縮性結果,得到沃爾泰拉過程驅動下Lp-值隨機卷積積分的H?lder連續性,以及偏微分方程解的相關正則性;Lv等[6]討論了勒維過程驅動下隨機分數階熱方程的隨機卷積積分的 BMO估計、Morrey-Campanato估計以及方程解的p階矩Schauder估計;Ondreját等[7]主要研究2-光滑巴納赫空間中隨機卷積積分的時間正則性,并以此為基礎得到拋物型隨機微分方程解的路徑方程在時間上具有與維納過程相同的正則性。近期隨機卷積積分的極大值不等式也受到諸多學者的關注。在希爾伯特空間中,Salavati等[8]利用It-type不等式和B-G-D不等式得到鞅過程驅動下隨機卷積積分的極大值不等式,該不等式滿足p次冪的軌道有界,并給出不等式在非利普希茲條件下半線性隨機演化方程方面的應用。在巴納赫空間中,Zhu等[9-10]證明了補償泊松過程驅動下隨機卷積積分的極大值不等式，隨后又研究在勒維過程驅動下B-D-G不等式和極大值不等式,得到隨機卷積積分的指數估計,基于所得到的極大不等式,證明了勒維噪聲驅動的隨機偏微分方程溫和解的存在唯一性。

在前人研究的基礎上,文本結合無窮維空間中經典布朗運動驅動的隨機卷積積分和G-布朗運動驅動的隨機卷積積分的結果進行研究，使隨機卷積積分的性質在無窮維G-布朗運動中更加完善。同時，采用因子分解法、B-D-G 不等式和酉擴張的方法,研究無窮維空間中G-布朗運動驅動下隨機卷積積分的H?lder連續性、有界性以及弱極大值不等式，以期能為相關領域研究提供一定的參考。

1 預備知識

本節簡要介紹文章中使用到的一些概念和性質,包括次線性空間、G-布朗運動及常用的不等式。想要更深入了解關于次線性空間和G-期望的更多相關知識請參閱文獻[1]和[3]。

定義1[3]設Ω是給定的非空集,?是定義在Ω上實值向量集的函數,泛函E :?→R。如果對任意的X,Y∈?滿足以下條件:

(a)單調性:若X≤Y, 則E(X)≤(Y);

(b)保常性:若c∈R,則E(c)=c;

(c)次可加性:E(X+Y)≤E(X)+E(Y);

(d)正齊次性:若λ> 0,則E(λX)=λE(X);

則泛函E稱為次線性期望,稱(Ω，?,E)是次線性空間,如果只滿足(c)，(d)，則稱E為次線性泛函。

定義2[3]對于任意時刻t≥ 0,若X是次線性期望空間(Ω，?,E)上的隨機變量,則稱Xt:Ω×R+→X為隨機過程。

定義3[3]若隨機過程{Bt}t∈[0,T]滿足以下條件：

(1)B0=0;

(2)平穩增量性：對任意的t,s≥0,增量(Bt+s-Bt)與Bs同分布,即(Bt+s-Bt)～NG(0,sΣ);

(3)獨立增量性：對任意的t,s≥0,增量(Bt+s-Bt)關于(Bt1,Bt2,…,Btn)獨立,其中n∈N,0≤t1≤t2≤…≤tn≤t。

則稱{Bt}t∈[0,T]為G-布朗運動。

為了能夠讓讀者更加順暢了解本文的研究內容,接下來介紹一些關于無窮維空間中G-期望的基礎知識。

假定U,H是希爾伯特空間,算子Φ在H上且domΦ=UΣ?U,定義范數

為了便于讀者閱讀,下面給出本文中需要用到的空間符號表示。

(1)L(U,H):={Φ：U→H|Φ是線性且連續的};

引理1[3]若隨機變量X服從均值為0,方差為Σ的G-正態分布,Σ是協方差集,記為X～NG(0,Σ),我們有如下估計,對任意的m≥1,

引理2[3](It等距不等式)令Φ∈HM2,0G(0,T),則有

以上三個定理主要應用于第二部分隨機卷積積分性質的證明過程中,引理1說明服從G-正態分布的隨機變量X有限階矩估計值有界,此結論是研究的基礎;引理2It等距不等式表明次線性空間中隨機積分二階矩的運算性質,這與線性空間的It等距公式是不同的,在線性空間中等號恒成立,主要是因為次線性空間的次可加性(d)造成的;顯然,It等距不等式是B-D-G不等式的特殊形式(p=2)。

關于更多G-期望、G-正態分布和G-布朗運動的研究內容請看Peng[1]的相關文章。為了更好研究G-布朗驅動下隨機卷積積分的性質,下面將會介紹關于隨機卷積積分的基礎知識,具體請參考文獻[11]和[12]。

無窮維空間比較復雜,其性質的研究需要借助算子來研究,算子A:D(A)→ H 是C0-半群(etA)的無窮維生成元,假設算子A生成一個正則半群,此外-A的預解集包含所有常數λ且Reλ> 0。我們可以定義算子-A的分數冪為(-A)γ,詳見文獻[13]。

設Hγ是(-A)γ的定義域,范數|·|γ定義為|x|γ=|(-A)γx|H,x∈Hγ,為了書寫方便,記|·|H=|·|。

為了得到更實用的性質,下面介紹正則半群S(t-s):=e(t-s)A,0≤s

對于任意的γ> 0,存在常數Cγ> 0使得

|(-A)γS(t-s)|≤Cγ(t-s)-γ,0≤s

(1)

若γ∈(0,1]且x∈Hγ=D(-A)γ,則

S(t-s)x-x≤Cγ(t-s)γ(-A)γx

(2)

另外,假設y 是從[0,T]到Hγ的函數,定義‖y‖γ,p如下:

2 H?lder連續性

本小節結合無窮維空間傳統布朗運動驅動的隨機卷積積分和G-布朗運動驅動下隨機卷積積分,在合適的條件下,利用因子公式分解法證明無窮維G-布朗運動驅動下隨機卷積積分的H?lder連續性。因子分解法的具體內容和應用,詳見參考文獻[3]和[14]。

下面給出半群S(t-s)的拋物型條件:

隨后,考慮

(3)

其中,對任意的β∈(0,1],ys是從[0,T]到Hβ的函數。

(4)

其中p>2無限大。

根據定義，可以將z(t)進行分解：

=Z1+Z2。

先來證明第一部分,由(1)可得:

(5)

-s))ys]ds|,顯然有Z2≤Z2,1+Z2,2,下面對于這兩部分分別進行推導,關于Z2,1可以得到

(6)

|(-A)γ(S(v-s)-S(u-s))y(s)|

≤|(S(v-s)-I)(-A)γS(u-s)y(s)|

≤Cλ(-A)γ+λ-βS(u-s)|y(s)|β

因此

(7)

根據(5),(6)和(7)式,得到(4)式成立。

3 有界性和弱極大值不等式

本節將給出無窮維空間中G-布朗驅動的隨機卷積積分的有界性。此外,基于參考文獻[15]中希爾伯特空間下Sz.-Nagy意義的酉擴張的方法,給出弱極大值不等式。

下面的定理給出了隨機卷積積分It的有界性。

證明由H?lder不等式和(3)式的關系,對任意的T≥0,有

根據定理8的證明和Y(s)∈L2m(0,T;H),若m>1 ,有

其中常數Cp>0。

對于任意t≥0,存在μ≥0使得壓縮半群(etA)滿足‖etA‖L(H)≤etμ,通過考慮壓縮半群(e-tμetA)t≥0,很容易能夠得到以下極大值不等式。

定理3設(etA)是H上的C0-半群,對任意的t≥0且存在μ≥0,滿足‖etA‖L(H)≤etμ,則當p∈(0,+∞)時,存在常數0

4 結 語

無窮維空間中的隨機卷積積分來自數學和金融學,其中較為有名的遠期利率曲線就是Heath-Jarrow-Morton-Musiela方程的解[16]。隨機卷積積分被作為重要的工具應用于隨機偏微分方程中相關解的性質的研究,關于它的一些不等式,例如極大值不等式和指數擴張定理等,對隨機方程的理論證明起到有力的推動作用。G-期望理論是概率論中一個方興未艾的方向,目前國際上已經有越來越多的概率論統計學方面的學者開始專注這一領域的研究,而對于無窮維G-布朗運動的研究少之又少,對于其隨機卷積積分性質的研究也是極少的。本文主要是在前人研究的基礎上,在適當條件下,利用合適的方法對G-布朗運動及隨機卷積積分的性質做出更多的推廣和改進。本文通過傳統的因子分解法得到拋物型假設下無窮維空間中G-布朗運動驅動下的隨機卷積積分的H?lder連續性,隨后利用H?lder不等式和簡單的推導,證明出隨機卷積積分是有界的,有界性質為卷積的研究奠定了基礎。最后基于Sz.-Nagy定理的酉擴張方法得到G-布朗運動驅動下的隨機卷積積分的弱極大值不等式,相關更強的結果以及指數擴張定理也值得繼續關注。G-布朗運動驅動下的隨機卷積性質是隨機方程分析的基礎和重要的工具,對偏微分方程粘性解的性質的研究具有實用價值,但是文章得到的最終結論還有待進一步深入推進,后續工作將會繼續跟進。