數形結合提高解題能力的應用分析

于 晶

（河北省張家口市第四中學 河北張家口 075000）

數形結合是高中數學教學中較為常用的方法之一，將該思想方法運用在高中數學中，不僅能有效降低數學問題的難度，還能促進學生高效掌握數學知識，提升學生的解題能力。因此，作為數學教師，應積極探尋數形結合在高中數學教學中的運用路徑，以期將數形結合的教育價值充分發揮在課堂教學中，進而構建更為高效的高中數學課堂，并以此拓展學生的思維，提升學生的解題能力，有效促進學生學科核心素養的提升。

一、數形結合的相關概述及應用原則

（一）數形結合的相關概述

“數形結合”思想中“數”所指的是數與式，而“形”所指的是圖形與圖像。數與形均是數學教學中最根本的研究對象，在一定的條件下可以相互轉化和滲透，而這種聯系則被稱為數形結合。數形結合是教育教學中較為常用的一種數學思想方法，其應用共包含兩種形式，其一是借助數的精確性闡述形的一些屬性，其二是借助形的幾何直觀性闡述數之間的關系。簡單概括來說，“數形結合”思想包含兩方面內容，即“以形助數”和“以數輔形”，其中“以形助數”所指的是數形結合在代數問題中的運用，通過將形作為手段、數作為目的，把難以理解的代數問題向簡單直觀的幾何問題轉化，并借助幾何工具對代數問題進行解決。而“以數輔形”所指的是因有些圖形太過簡單，直接觀察并不能看出一定規律，這時就應給圖形賦值來解決實際問題。將數形結合運用在數學教學中，能將抽象問題具體化，將復雜問題清晰化，以此充分調動學生學習數學知識的興趣，提高學生的解題能力，培養學生的數學思維，為學生學科綜合能力的提升提供重要保障。

（二）數形結合的應用原則

所謂數形結合教學即教師在開展教學工作過程中，將數學知識以圖形的方式呈現在學生面前的一種教學方式，此種方式不僅能降低數學知識的復雜程度，同時能幫助學生更快地解決數學問題，這也是有效培養學生邏輯思維能力的關鍵。但數形結合中包含多種基礎性的理論知識，因此想要在高中數學教學中有效運用數形結合，來提高學生的解題能力，就必須遵循以下幾個原則：首先為等價性原則。所謂的等價性原則主要是指教學過程中運用數形結合時，代數與幾何性質的轉換應是等價的，若不遵循這一原則，解題一定會出現漏洞。其次為雙向性原則。所謂雙向性原則主要是指教學過程中運用數形結合，不僅要對幾何直觀進行分析，還要進行代數抽象的探索，兩者之間只有相輔相成，才能有效促進學生解題能力的提升。最后為簡單性原則。也就是說想要有效運用數形結合，就要確保圖形的簡單性，否則該方法的運用也會失去原本的教學意義。

二、高中數學教學中運用數形結合解題的意義

首先運用數形結合解題有助于提升學生的自主學習能力。高中數學教學中數形結合的運用，不僅能給學生提供動手演練的機會，還能啟發學生的思維，促進學生自主學習能力的提升。例如，教師在教學人教版《三角函數》的相關知識點時，就可運用數形結合的方式開展教學，通過指導學生自主動手實踐，利用點在圖形圓之上的變化，得出正弦、余弦、正切、余切等函數意義，這也能進一步加深學生對三角函數意義的理解。其次運用數形結合解題有助于提升學生的解題能力。將數學結合運用在高中數學教學中，通過為學生呈現直觀、形象的數學圖形，可使學生更加清晰地掌握題目的要求，從而不斷提升學生的解題能力。例如，教師在教學人教版《曲線與方程》建立對應關系中，就可以運用數形結合的教學思想，幫助學生在向量和坐標之間建立聯系，進而有效提升學生的思維能力。最后運用數形結合解題有助于提升學生的認知能力。在高中數學教學中，運用數形結合可為學生呈現生動、直觀的數學知識，也能更深刻地說明數學問題，促進學生認知水平的提升。例如，教師在教學人教版《集合》的相關知識點時，就可運用數軸對集合中的數集進行表現，這時學生可以快速掌握集合的意義及從屬關系。

三、高中數學教學中運用數形結合提升學生解題能力的路徑

（一）運用數形結合解決數學難題，啟發學生數學思維

在現階段的高中數學教學中，已經有非常多的高中生開始嘗試運用數形結合思想對數學問題進行解決，但是其對于數形結合的認識并不全面，大多停留在畫草圖的階段，這就在一定程度上忽略了數形結合下數學知識的綜合性特征。尤其是數學的重難點知識，只借助假想推導數學圖形，根本無法有效地解決數學問題。因此，教師在運用數形結合開展教學時，想要提升學生的解題能力，必須向學生著重強調圖形的準確性及等價交換，積極改變并創新數形結合的教學思路，以此提高學生解題的能力。例如，教師在教學人教版《三角函數的圖像與性質》這一課程內容時，由于該知識點是高中數學教學中的重難點知識，因此教師在開展教學時，就可有效運用數形結合思想來創新數學解題思路。在具體的教學過程中，教師可先向學生拋出一個問題“函數y=sinx與y=tan x，已知這兩個函數均有實數根，求其圖形在區間[0，π]上的交點數量”。之后教師就可運用數形結合思想進行授課，首先明確數學區間，在[0，π]內取值計算；其次明確函數的具體關系，將函數y=sinx與y=tanx取值的具體范圍及函數圖像特征畫出來，對交點數量進行計算。這時教師應詳細告知學生，作圖時應充分考慮兩個函數在取值中所存在的差別，并引導學生按照題目的具體內容進行作圖，以此提升學生的數學解題能力。此種運用數形結合開展數學教學的方式，不僅能啟發學生的數學思維，同時能促進學生數學解題能力的提高。

（二）運用數形結合引導學生想象，豐富學生解題方法

在當前的高中數學教學中，很多數學教師非常重視數形結合在教育教學中的應用，但是在開展實際教學時，其認知水平還局限于作圖及解題的層次，未從根本上重視數形結合的思維鍛煉能力。因此，在高中數學教學中運用數形結合時，教師應以開發和訓練學生的理性思維技能為主，指導學生借助數形結合思想在想象的過程中假設、探索，以此提高學生的解題能力，并有效促進學生學習效率的提升。例如，教師在教學人教版《圓的方程》這一課程內容時，想要運用數形結合提高學生的解題能力，教師可指導學生依靠想象及邏輯推理能力進行思考，從而幫助學生有效積累解題的經驗。這時教師可向學生提出如下問題“已知有兩個實數，分別是x，y，滿足x2-y2-6x-4y+12=0，求y/x 的最大值與最小值”。之后教師就可運用數形結合將相關的問題轉化為圖形素材，并引導學生展開想象，按照題干的信息我們知道，點（x，y）滿足圓的方程的一般規則，y/x 是點與原點連線之間的斜率，如果（x，y）為動點，y/x 的最大值與最小值則為從原點向圓，所引出兩條切線的斜率。在教師引導下學生完成作圖后，教師可繼續引導學生推導問題“按照直線與圓相切的關系，將K值求出來，并計算y/x 的最大值與最小值”。這時教師仍舊運用數形結合思想實施授課和解題，這個過程中教師不僅要訓練學生的數學思維，還要引導學生自主探究，與存在的數學問題相結合，自主總結學習數學知識的經驗，以此有效解答數學教學中的復雜問題。此種運用數形結合引導學生想象開展教學的方式，不僅能豐富學生的解題方法，提高學生的解題能力，還能優化和完善數學教學的流程。

（三）運用數形結合指導學生總結，鍛煉學生思維能力

在高中數學教學中，數形結合的運用既可作為一種數學教學方法，也可在開展具體的教學活動時轉化為教學工具，究其原因，高中數學教學活動的開展，更加重視提升學生的理性思維及綜合技能，并要求學生從多個方面掌握數學知識。因此，教師在開展具體的教學活動時，可運用數形結合思想來引導學生總結經驗，以此鍛煉學生的思維能力，提高學生的解題能力。例如，教師在教學人教版《三角函數的誘導公式》這一課程內容時，先是向學生提出如下問題“已知tan（π+a）=4，求sin（π+a）cos（π-a）的值”，如果直接套用已知的公式進行計算，那么計算的過程是非常復雜的。因此教師就可以運用數形結合思想，將三角函數誘導公式的相關知識在課堂中整理出來，并為學生提供相應的“參照物”，通過數學圖形對三角函數之間的數學關系進行記錄，并總結sin（π-a）、cos（π-a）等相關的數學知識經驗，從而使學生明確這之中的數學關系，之后與數學圖形相配合，有效掌握三角函數誘導公式的取值范圍。此外，在學生解題時，教師還可指導學生繪制三角函數誘導公式的相關圖像，使學生對所學的數學知識有更明確的理解和認識，以此有效總結數學經驗，來解答數學教學中存在的重難點問題。此種運用數形結合指導學生總結經驗開展教學的方式，不僅能鍛煉學生的思維能力，還能逐步促進學生解題能力的提高。

（四）運用數形結合引導學生繪圖，培養學生理性思維

在高中數學教學中想要運用數形結合提高學生的解題能力，教師必須改變以往“灌輸式”的教學模式，積極創新數形結合教育教學的方法，并允許學生自由發揮，以此在提升學生解題能力的同時，促進數學教學質量的提升。在實施具體的教學過程中，教師在運用數形結合教學時，可選擇教材中較為典型的例題進行授課，在向學生講解知識的過程中，引導學生深入分析和思考數學問題，并獨立進行繪圖，以此促進學生學習任務的高效完成。例如，在教學人教版《二次函數與一元二次方程、不等式》這一課程內容時，教師為學生設置了如下問題“已知方程2x2-(m+3)x+m2-1=0 在（0，2）與（2，4）上有兩個不相等的實根，求解m 的取值范圍”。學生在看到教師設置的數學問題時，只看到了“方程求解”的問題，并未挖掘數學問題中的難題，但其實該道題的解題要求非常復雜，首先方程中涵蓋兩個未知數，且有兩個不相等的實根，所以求解難度相對較大；其次無法確定m 的取值范圍，m 的值有可能是有理數，但也有可能是實數。學生在嘗試對該道題進行解答時，教師就可以運用數形結合引導學生進行認真的思考，如方程2x2-(m+3)x+m2-1=0，可將其轉化為函數?（x）=2x2-(m+3)x+m2-1，之后按照二次函數的圖像進行解題，并運用二次函數的性質及定義進行求解，進而得出?（0）>?（2）、?（2）0 這三個不同的不等式，從而明確m 取值的具體范圍。這個過程中教師應指導學生自主繪圖，依靠自己的能力對數學知識有更深層次的認識和理解，以此在提高學生解題能力的同時，促進學生解題效率的提升。此種運用數形結合引導學生自主繪圖開展教學的方式，既能培養學生的理性思維，也是提升學生數學解題效率的一種行之有效的方法。

總之，數形結合作為高中數學教學中一種重要的教學方法，將其合理運用在數學教學中有十分重要的現實意義與應用價值。作為新時代的高中數學教師，也應緊跟教育發展步伐，積極探尋數形結合思想在教學中的應用路徑，通過運用數形結合引導學生想象、指導學生總結、引導學生繪圖的方式，將數形結合的教學價值發揮到最大，以此有效提高學生的解題能力，促使學生更加快速、準確地解決數學教材中復雜困難的數學題，并在無形之中促進學生抽象性、創新性及創造性思維能力的發展，為學生學科核心素養的全面提升奠定堅實的基礎。