MATLAB輔助“高等數學”課程教學的思考

屈 威

（韶關學院 數學與統計學院，廣東 韶關 512005）

“高等數學”是理工類本科生的必修基礎課程，是研究對象較為復雜的一門學科，具有高度抽象性和嚴密邏輯性等特點。通常認為，高等數學是由微積分學、較深入的代數學、幾何學，以及它們之間的交叉內容所組成的一門基礎學科，其主要內容包括數列、極限、一元微積分、多元微積分、級數、向量與空間解析幾何、微分方程等。同時，“高等數學”也是經管類大學生學習后續課程，如“概率論與數理統計”“宏微觀經濟學”的基礎。其在整個學科體系中的基礎性、工具性決定了“高等數學”在整個課程教學中的重要性。因此，如何才能不讓學生對“高等數學”望而生畏，如何培養學生對“高等數學”的學習興趣，增強學生學習“高等數學”的信心顯得至關重要。事實證明，MATLAB能有效輔助“高等數學”課程教學，使抽象的數學內容更直觀形象地展示在學生面前，還可以更高效、更準確地演算“高等數學”中繁雜的問題。

MATLAB是由matrix和laboratory兩個單詞的前三個字母組合而成，又稱矩陣實驗室。MATLAB與Maple、Mathematica并稱三大數學軟件。20世紀70年代后期，為了讓學生在線性代數的學習過程中能利用當時代表矩陣運算最高水平的LINPACK和EISPACK程序庫進行輔助計算，美國墨西哥大學計算機系主任Cleve Moler基于FORTRAN語言為學生編寫了LINPACK和EISPACK的接口程序，同時，他將這個程序取名為MATLAB，并作為數學軟件面向大眾免費開放［1］。后來，美國斯坦福大學的Jack Little在Cleve Moler的協助下，成立了MathWorks公司，推出了商業的MATLAB。此后，MATLAB憑借高效的數據計算能力及便捷的操作平臺，占據了大部分數學計算軟件市場，成為集數值分析、矩陣計算、科學數據可視化、建模和仿真于一體的強大數學軟件。此外，MATLAB的界面操作簡單易學，為用戶提供了非常多的功能函數，其指令表達式與數學常用的形式十分相似，還具有強大的數學繪圖功能，能精確描繪出高等數學中涉及的函數極限、空間曲線（面）等圖形，深受廣大學生、教師及科研工作者的喜愛。

目前，MATLAB實踐課已經成為眾多高校數學專業學生的專業選修課，而非數學專業的學生鮮有涉及。如果能將MATLAB融入非數學專業學生的“高等數學”課程教學中，可以改變傳統的“黑板+粉筆”及多媒體教學的課堂模式，進而逐漸培養學生對數學學習的興趣和動力，使“高等數學”課程教學中的許多較難掌握的知識點以更加直觀的方式得以解決，從而提高教學質量。

近年來，利用MATLAB解決線性代數中矩陣行列式、特征值及特征向量問題的相關教學實踐論文［2］和MATLAB解決概率論與數理統計中正態分布繪圖的課程教學論文已有報道［3］。筆者在授課過程中發現，MATLAB能夠對“高等數學”課程中的許多問題進行求解。筆者認為，高校教師要積極推進數學軟件應用與“高等數學”課程教學的深度融合，充分利用數學軟件開展混合式課程模式探索。因此，在“高等數學”的教學中引入MATLAB輔助教學，是大學生基礎課教學改革的一種有效途徑，符合新時期高?！案叩葦祵W”教學改革與創新的方向，值得推廣。本文就MATLAB輔助“高等數學”課程教學進行了探討，進一步闡釋了利用MATLAB提高“高等數學”教學效果的幾種途徑。

一、MATLAB在函數求導中的應用

函數的導數是高等數學的重要研究內容，在中學階段，我們已經掌握了基本初等函數的求導法則，對于一些簡單函數的求導，我們還可以結合基本求導法則和導數的四則運算對其進行求導。但是對于一些相對復雜函數（如冪指函數、由兩個或者兩個以上函數復合而成的函數）的求導，由于求導過程需要理解復合函數之間的相互關系及復雜的計算過程，往往容易導致計算錯誤。在《高等數學（上）》教材［4］中，考查形如（y=u（x）v（x），u（x）＞0）冪指函數的導數，例如，求y=xsinx的導數，學生往往會按照冪函數或指數函數的求導法則對其進行求導，因而造成求導錯誤。又如，對于由多個因子積（商）的形式構成的函數的導數，由于函數經過一定的復合運算，學生對復合函數的結構理解不到位，也容易導致該類函數的求導錯誤。一般而言，以上兩種形式的導數計算均可借助對數求導法達到簡化求導過程的目的，對數求導法也是高等數學中重要的一類求導方法。在MATLAB中，可以借助命令“diff”求解某一函數的導數。其調用格式為：diff(fun,n)，其中，參數fun為待求導的函數，可以借助符號變量對函數fun進行定義。當n=1時，即求函數fun的一階導數，此時調用格式可簡化為diff(fun)。如果要求函數fun的高階導數，只需要改變“diff”函數中n的取值。例如，當n=2時，是對函數fun求二階導數，以此類推。由此可見，可以通過改變“diff”函數最后一個參數的值，以達到求不同階導數的目的。特別地，diff(fun,2)與diff(diff(fun))運算相同，類似的求導命令可以推廣至函數的更高階的求導。由此可見，學生不僅可以利用MATLAB對復雜函數的導數進行求解，省去了煩瑣的求導運算過程，還能夠利用該軟件對導數的計算結果進行驗證。更重要的是，學生可以在數學實驗中探索求導規律，進而激發學生自主學習數學的興趣。

二、MATLAB在求特殊方程的解中的應用

在高等數學中，我們會遇到一類特殊方程——超越方程的根的求解問題。我們知道，當一元方程f（x）=0的左端函數f（x）不是x的多項式時，稱之為超越方程。常見的超越方程有對數方程、指數方程、三角方程等。大部分超越方程的求解沒有一般的公式，也很難求得解析解。因此，學生無法利用已掌握的求解一元二次方程的方法求解該類方程的解，這在一定程度上體現了原有方法的局限性。在這一知識的教學中，教師一般是引導學生將超越方程分解成若干個初等函數的和或差，從而將超越方程的解轉換為求若干初等函數零點，通過“數”和“形”兩個角度引導學生理解函數零點與方程解的關系，從而求出超越方程解。但是學生從函數的觀點認識方程還不夠熟練，通過“數”和“形”的角度研究超越方程的解也需要學生具有較高的數學素養，對學生來說不易掌握。此時，教師可以向學生介紹MATLAB中求方程的解的函數“fzero”，其調用格式如下：x=fzero(fun,x0)，借助該命令嘗試求出方程fun=0在x0 附近的解。其中，參數fun 可以利用匿名函數的方式對其進行有效定義，x0表示求解的初始數值。例如，求方程ex-3x2-15=0 在3 附近的解。我們可以通過匿名函數的方式定義函數fun，即fun=@(x)exp(x)-3*x^2-15，其中，fun為函數句柄，@運算符創建句柄，@后面的圓括號包括函數的輸入參數。然后利用命令x=fzero(fun,3)即可求出該方程函數的解，即x=3.2381。通過幾行簡短的命令，即可解決一類復雜方程的解。由此可見，借助MATLAB輔助高等數學的教學非常方便，也有助于豐富學生的學習資源，為學生后續專業課程的學習奠定了編程基礎。

三、MATLAB在求函數極限中的應用

在高等數學中，極限是一個重要的概念，其思想貫穿于整個高等數學的學習，因此，極限的理解對高等數學的學習起到至關重要的作用。在極限中，形如=e稱為第二類重要極限公式，這類極限以無理數e為極限。在教學中，通過引導學生觀察當x→∞時，底數趨于1，指數趨于無窮，進而判定該極限所屬類型為“1∞”。由于該極限的證明相對煩瑣，大部分高等數學教材并未提及，取而代之的方法主要集中在利用列表法向學生展示這類極限的數值變化過程。這導致學生對該類極限的運算理解不到位，無法很好地理解該公式的本質特征，不能靈活應用該公式求其他形如“1∞”類型的極限，導致出現大量配湊錯誤及計算錯誤等問題。這時，教師在課堂教學中可以借助數學實驗探索第二類重要極限的概念。利用MATLAB強大的繪圖功能，將函數f（x）=圖像直觀地畫出來，讓學生觀察函數圖像的變化趨勢，總結第二類重要極限的兩個明顯特征：第一，當x＞0時，f（x）是單調遞增的，即f（x）隨著x的增大而增大；第二，隨著x的無限增大，函數并沒有無限增大，而是函數對應的點幾乎在一條水平線上，即f（x）是有上界的，而這個上界正是函數f（x）中的x趨于正無窮時的極限。同樣的情況對于x趨于負無窮也是成立的。通過展示收斂的動態過程，觀察到函數f（x）是有極限的，從而揭示函數收斂的本質特征——單調有界數列必有極限。同時，教師可以引導學生利用MATLAB的“limit”函數計算此類函數的極限，在使用命令前，要用syms對所求極限的自變量進行定義，通過程序命令“小心求證”函數極限的過程，可以讓學生深深感受到掌握一種數學軟件的重要性。

四、MATLAB在求函數定積分中的應用

定積分在高等數學中具有十分重要的地位，也是高等數學的難點之一。我們知道，若定積分存在，則它是一個具體的數值。在引入定積分的概念時，一般采用“分割、近似、求和、取極限”，即以直代曲的方法求函數的積分值。由于以直代曲的步驟較為煩瑣，利用定積分的定義求函數的積分值對大部分學生來說僅僅停留在了解的層面，并不能很好地理解和掌握。而定積分的計算一般以曲邊梯形的面積作為引例來教學，從而得到定積分的幾何意義。此外，如果一個函數是連續的，那么該函數一定存在原函數，這時，定積分的計算可以借助牛頓-萊布尼茨公式求解。事實上，在積分學的教學中，教師在課堂上可以給出一個被積函數中含有根式表達式的積分問題，先讓學生嘗試計算，或許會出現兩種情形：一是學生找不到被積函數的原函數，導致無法解決積分問題；二是學生利用換元法對根式表達式進行代換，從而達到簡化被積函數的效果。在換元法時，還需要對新元的上、下限進行代換，即“換元必換限”，最后求經過換元后的積分值即可。通過以上步驟，學生雖然得出了結果，但費時，并且對于結果的正確與否，學生無法利用其他方法進行有效驗證。事實上，求被積函數較為復雜的積分所涉及的步驟較為煩瑣，層層遞進，對初次接觸積分學的學生來說不易掌握?；诖?，教師可以從如何使用MATLAB對積分學課程教學進行輔助的角度出發，通過MATLAB命令對以上例子加以說明，形象直觀地演示如何對定積分進行定義和求解，這樣可以幫助學生克服學習高等數學的畏難情緒。MATLAB提供幾種用于求函數積分運算的命令，主要包括“int”“quad”和“integral”等。其中“int”函數的調用格式為：F=int(fun,x,a,b)，函數fun是被積函數，x是積分變量，a和b分別為積分上限和積分下限。由此可見，把MATLAB引入積分學課堂，憑借MATLAB直觀、生動的演示，可以很快地調動學生的學習積極性，使看似枯燥無味的定理和公式變得生動有趣。此外，學生如能準確、便捷地掌握MATLAB在求解函數積分中的命令，不僅可以利用MATLAB 軟件給函數的定積分計算帶來極大的便利，還可以讓學生利用MATLAB對結果進行驗證，養成做題后檢查的好習慣。因此，借助MATLAB 輔助“高等數學”課程教學是非常有意義的，這也正是MATLAB的價值所在。

結語

筆者認為，“高等數學”是一門能有效培養學生數學素養的課程。高校開設“高等數學”課程不但需要培養學生的數學運算求解能力、抽象思維和邏輯推理能力，還需要培養學生將實際問題轉化成相應的數學模型，并具有一定的動手解決問題的能力。在“高等數學”課程教學中，教師除了以傳統的理論教學為主，還應嘗試將MATLAB的操作均勻分布在整個課程教學中，通過構建多層次的教學模式，使課堂生動形象，保證“高等數學”課程教學取得良好效果。課后，適當布置一些利用MATLAB求解課本習題的作業，讓學生動手實踐，達到提高學生動手能力，以及運用數學軟件解決實際問題能力的目的。