高中數(shù)學(xué)教材三角函數(shù)內(nèi)容比較研究
——以北師大版與人教A版為例

?哈爾濱師范大學(xué)教師教育學(xué)院 李明慧

1 研究背景與目的

2017年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(簡(jiǎn)稱新課標(biāo))是時(shí)代發(fā)展要求和教育改革的產(chǎn)物[1].課程標(biāo)準(zhǔn)是教材編寫的主要依據(jù)，各個(gè)版本教材既要準(zhǔn)確反映課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，又要有各自的特色和創(chuàng)新.筆者以2019年北師大版普通高中數(shù)學(xué)教科書和2019年人教A版普通高中數(shù)學(xué)教科書為研究對(duì)象，運(yùn)用文本分析法和統(tǒng)計(jì)分析法，對(duì)兩版教材中三角函數(shù)內(nèi)容進(jìn)行比較研究，分析其共性與特性，總結(jié)出新教材編寫的特點(diǎn).

2 研究過程

下面從教材結(jié)構(gòu)和教材內(nèi)容兩方面進(jìn)行對(duì)比分析.其中教材結(jié)構(gòu)包括章節(jié)設(shè)置和體例結(jié)構(gòu)，教材內(nèi)容包括知識(shí)編排、文化融入、例習(xí)題設(shè)置.

2.1 教材結(jié)構(gòu)

2.1.1章節(jié)設(shè)置

兩個(gè)版本教材三角函數(shù)內(nèi)容章節(jié)設(shè)置如表1所示.

表1 北師大版和人教A版章節(jié)設(shè)置比較

北師大版(必修二)第四章 三角恒等變換4.1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系4.2兩角和與差的三角函數(shù)公式4.3二倍角的三角函數(shù)公式人教A版(必修一)第五章 三角函數(shù)5.1任意角和弧度制5.2三角函數(shù)的概念5.3誘導(dǎo)公式5.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)5.5三角恒等變換5.6函數(shù)y=Asin(ωx+φ)5.7三角函數(shù)的應(yīng)用

根據(jù)表1可知，兩版教材的相同之處是均以單位圓為媒介按照“背景—對(duì)象—概念—圖象—性質(zhì)—應(yīng)用”的結(jié)構(gòu)展開各節(jié)編排.不同之處是人教A版教材更注重三角函數(shù)內(nèi)容的整體性；北師大版教材更注重概念規(guī)則的形成過程，關(guān)注數(shù)學(xué)概念、規(guī)則發(fā)展的來龍去脈.具體從以下兩個(gè)方面說明.

從所處位置來看：人教A版教材三角函數(shù)位于必修一第五章，與其他函數(shù)整合為了一個(gè)主題，體現(xiàn)了同一主線內(nèi)容之間的有機(jī)銜接，凸顯了知識(shí)內(nèi)容編排的整體性；而北師大版教材三角函數(shù)位于必修二，與其他函數(shù)內(nèi)容分散開，不利于學(xué)生從整體上把握知識(shí)，在“三角函數(shù)”與“三角恒等變換”之間穿插了向量的知識(shí)，破壞了知識(shí)之間的連貫性與系統(tǒng)性.

從編寫內(nèi)容來看：與人教A版教材相比，北師大版教材在章節(jié)劃分上更為細(xì)致，把每一個(gè)小的知識(shí)點(diǎn)作為一小節(jié)內(nèi)容詳細(xì)論述；在第一節(jié)設(shè)置了周期變化的內(nèi)容，為后面概念和性質(zhì)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)；在概念的引入過程中詳細(xì)地說明了怎樣利用單位圓來展開本節(jié)知識(shí)，以及從對(duì)應(yīng)說的角度說明了正弦、余弦函數(shù)的概念與函數(shù)概念的一致性.

2.1.2 體例結(jié)構(gòu)

通過分析教材，將兩個(gè)版本教材三角函數(shù)章節(jié)的體例結(jié)構(gòu)整理成圖，如圖1、圖2.

圖1 北師大版體例結(jié)構(gòu)

圖2 人教A版體例結(jié)構(gòu)

通過對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，兩版教材體例結(jié)構(gòu)都是按照“章導(dǎo)入—正文—小結(jié)—復(fù)習(xí)”的順序來編排的.兩版教材的正文均設(shè)置了“思考”“練習(xí)”“習(xí)題”欄目，強(qiáng)調(diào)“以學(xué)生為本”的理念，重視知識(shí)習(xí)得后的應(yīng)用.不同點(diǎn)是人教A版教材在每一節(jié)都設(shè)置了導(dǎo)入語(yǔ)，引導(dǎo)學(xué)生明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)，激活學(xué)生的已有認(rèn)知，為即將學(xué)習(xí)的新知識(shí)提供方法上的引導(dǎo).北師大版欄目的設(shè)置較為詳細(xì)，突出了“問題性學(xué)習(xí)”的特點(diǎn)，其中，“實(shí)例分析”“問題提出”“抽象概括”“分析理解”等欄目的設(shè)置更適合學(xué)生自學(xué)，體現(xiàn)了教材提倡的“以自學(xué)為本”的學(xué)習(xí)方式.

2.2 教材內(nèi)容

2.2.1 知識(shí)編排

概念課和性質(zhì)課是高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中最主要的兩種課型，因此選擇“三角函數(shù)的概念”和“函數(shù)y=Asin(ωx+φ)”兩節(jié)內(nèi)容進(jìn)行對(duì)比分析.

(1)三角函數(shù)概念的呈現(xiàn)方式對(duì)比

縱觀現(xiàn)行的幾個(gè)版本的教材發(fā)現(xiàn)，三角函數(shù)的概念的呈現(xiàn)方式主要有兩種，即“終邊定義法”和“單位圓定義法”.人教A版和北師大版教材中均采用的是“單位圓定義法”，但具體實(shí)施方式有所差別，具體如表2所示.

表2 兩版教材三角函數(shù)概念的呈現(xiàn)方式比較

根據(jù)表2可知，人教A版教材概念的形成經(jīng)歷了“背景-研究對(duì)象-對(duì)應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)-定義”的過程，體現(xiàn)了研究一個(gè)對(duì)象的“基本套路”[1].北師大版三角函數(shù)的概念是在初中銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上做了推廣，這種做法有利于學(xué)生初高中知識(shí)的銜接，但割裂了與其他函數(shù)知識(shí)的聯(lián)系.兩版教材的共性是均以單位圓為“腳手架”展開知識(shí)編排，符合新課標(biāo)中提出的“知識(shí)的系統(tǒng)性”要求.

(2)“函數(shù)y=Asin(ωx+φ)”的呈現(xiàn)方式對(duì)比

根據(jù)表3可知，兩版教材均以現(xiàn)實(shí)背景引入本節(jié)課的知識(shí)，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活.人教A版教材利用三角函數(shù)來構(gòu)建盛水筒運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，體現(xiàn)了函數(shù)建模的思想[1].北師大版教材讓學(xué)生經(jīng)歷了問題提出、抽象模型、求解模型的過程，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).此外，人教A版教材著重突出了信息技術(shù)的應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)了新課標(biāo)中提出的將信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程深度融合的理念.

表3 兩版教材函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的呈現(xiàn)方式對(duì)比

2.2.2 文化融入

新課標(biāo)指出教材應(yīng)當(dāng)把數(shù)學(xué)文化融入到學(xué)習(xí)內(nèi)容中去[2].通過對(duì)比兩版教材發(fā)現(xiàn)，融入文化的內(nèi)容主要包括兩個(gè)部分，一是在非正文的欄目中，二是在例習(xí)題中.如表4所示.

表4 兩版教材的文化融入對(duì)比

可以發(fā)現(xiàn)，兩版教材內(nèi)容都融入了數(shù)學(xué)文化，貫徹了新課標(biāo)的理念.其中人教A版中數(shù)學(xué)文化的融入類型更多樣.具體來看，既有花壇、摩天輪等現(xiàn)實(shí)生活中的文化，又有數(shù)學(xué)史的融入，彰顯了新課標(biāo)所倡導(dǎo)的文化價(jià)值要求.

2.2.3 例習(xí)題設(shè)置

統(tǒng)計(jì)兩個(gè)版本例習(xí)題的數(shù)量，結(jié)果如表5所示.

表5 兩版教材例習(xí)題數(shù)量對(duì)比

由表5可知，與人教A版教材相比，北師大版教材的例習(xí)題總數(shù)較多.究其原因是北師大版本將三角函數(shù)分為兩章，且每一節(jié)都配有相應(yīng)的例習(xí)題.從總體上看，兩個(gè)版本的教材中都配備充足的例習(xí)題以保證學(xué)生知識(shí)的鞏固訓(xùn)練.從“練習(xí)”設(shè)置的方式來看：北師大版教材在每一小節(jié)后都會(huì)設(shè)置一個(gè)練習(xí)，注重本節(jié)知識(shí)的綜合應(yīng)用；而人教A版在一節(jié)中設(shè)置多處練習(xí)，注重對(duì)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的鞏固.從“習(xí)題”和“復(fù)習(xí)參考題”設(shè)置的方式來看：北師大版教材只是按照順序設(shè)置為A組、B組、C組；而人教A版教材則分為“復(fù)習(xí)鞏固”“綜合運(yùn)用”“拓廣探索三個(gè)欄目，這種設(shè)置使習(xí)題更具有層次性，由淺入深地幫助學(xué)生鞏固知識(shí).

3 研究結(jié)論

通過對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)，兩版教材均能較好地貫徹新課標(biāo)中的教材編寫建議[3]，同時(shí)二者又有各自的編寫特點(diǎn)：

(1)兩版教材都注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

在概念的形成過程中，學(xué)生經(jīng)歷了由現(xiàn)實(shí)生活情境抽象出數(shù)學(xué)模型的過程，在函數(shù)y=Asin(ωx+φ)一節(jié)中使學(xué)生經(jīng)歷了提出問題、構(gòu)建模型、求解模型的過程，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和邏輯推理核心素養(yǎng).

(2)兩版教材均將數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)知識(shí)相融合，注重與實(shí)際生活的聯(lián)系.

教材中選取的文化素材類型多樣，突出了三角函數(shù)章節(jié)的文化價(jià)值，體現(xiàn)了三角函數(shù)與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系.

(3)人教A版教材突出了單元整體的任務(wù)意識(shí)，有利于學(xué)生從整體上掌握知識(shí).

人教A版教材以“單位圓”為腳手架，按照“背景—對(duì)象—概念—圖象—性質(zhì)—應(yīng)用”的結(jié)構(gòu)展開各節(jié)編排，使知識(shí)聯(lián)系具有系統(tǒng)性.將三角函數(shù)與其他函數(shù)編排在一本教材，注重知識(shí)間的有機(jī)銜接.

(4)北師大版教材注重學(xué)習(xí)過程的引導(dǎo)性和啟發(fā)性.

北師大版教材每一節(jié)均設(shè)置實(shí)例分析、抽象概括或問題提出、分析理解欄目，引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)、由淺入深地學(xué)習(xí)知識(shí).在概念引入的過程中回顧初中學(xué)過的銳角三角函數(shù)知識(shí)，幫助學(xué)生喚醒已有認(rèn)知，啟發(fā)學(xué)生接納新知識(shí).