概率統計中的開放性問題

?新疆塔城市塔城地區第一高級中學 孫金霞

1 引言

概率統計中的開放性問題，是一類借助數學思維來科學決策現實生活中的應用創新問題．此類開放性問題，從現實生活中加以抽象與概括，形成數據信息，結合大數據，借助數據所對應的圖表或數據所確定的數學要素，從數學角度進行科學創新與判斷，為決策提供理論支持．

2 與統計相關的開放性問題

例1在一個文藝比賽中，10名專業評委和10名觀眾代表各組成一個評委小組，給參賽選手甲、乙打分，結果如下(用小組A、小組B分別代表兩個打分組)：

小組A：

甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 8.2 8.3 8.4 9.5

乙：7.0 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 8.3 8.3 8.5 8.5

小組B：

甲：7.4 7.5 7.5 7.6 8.0 8.0 8.2 8.9 9.0 9.0

乙：6.9 7.5 7.6 7.8 7.8 8.0 8.0 8.5 9.0 9.0

(1)選擇一個可以度量打分的量，并對每組評委的打分計算度量值，根據這個值判斷小組A與小組B哪個更專業；

(2)根據(1)的判斷結果，計算專業評委打分的參賽選手甲、乙的平均分；

(3)如果用專業評委打分的數據，選手的最終得分為去掉一個最低分和一個最高分之后，剩下8名評委評分的平均分，那么這兩位選手的最后得分是多少?若直接用10名專業評委評分的平均數作為選手的得分，兩位選手的排名會有變化嗎?你認為哪種評分辦法更好(只判斷不說明)?(以上計算結果保留兩位小數.)

分析：(1)根據題目條件，分別計算各組數據的平均分與方差，利用計算結果，在平均分均差0.01的情況下分析方差的差距大小來分析與判斷小組A的打分更專業；(2)結合(1)的計算結果，得到專業評委打分的參賽選手甲、乙的平均分；(3)通過專業評委的數據，去掉一個最高分和一個最低分后計算參賽選手甲、乙的平均分，并結合(2)中的數據情況加以分析并作出自己的判斷．

由以上數據可得，在平均分均差0.01的情況下，小組B的打分方差差距較大，所以小組A的打分更專業.

(3)由專業評委的數據，去掉一個最高分和一個最低分后，甲、乙的平均分分別為

去掉一個最低分和一個最高分之后，乙的平均分高于甲.

若按照10個數據計算，則甲的平均分高于乙，因此排名有所變化.

故去掉一個最低分和一個最高分的評分方法更好．

點評：借助統計的相關知識來科學決策現實生活中的開放性問題，關鍵是借助統計中的圖表信息、數據信息等，通過圖表直觀數形結合、數據樣本數學運算，結合不同的實際問題，合理比較，科學決策．

3 與概率有關的開放性問題

例2甲、乙兩人進行對抗比賽，每場比賽均能分出勝負.已知本次比賽的主辦方提供8 000元獎金并規定：①若有人先贏4場，則先贏4場者獲得全部獎金同時比賽終止；②若無人先贏4場且比賽意外終止，則甲、乙便按照比賽再繼續進行下去各自贏得全部獎金的概率之比分配獎金．已知每場比賽甲贏的概率為p(0

分析：(1)根據題目條件，由甲乙輸贏的情況確定甲獲得獎金的可能取值，求出其對應的概率，列出分布列即可；(2)設比賽繼續進行Y場乙贏得全部獎金，則最后一場必然乙贏，分Y=3，Y=4，求出其對應的概率，得到乙贏得全部獎金的概率，然后利用導數求解最值即可得到答案．

解析：(1)5場比賽中甲、乙的輸贏有甲嬴4場、乙贏1場，甲贏3場、乙嬴2場，甲贏2場、乙贏3場，甲贏1場、乙贏4場四種情況：

設甲可能獲得的獎金為X元，則X的所有可能取值為8 000，6 000，2 000，0.

所以，甲獲得獎金數的分布列如表1所示.

表1 甲獲得獎金的分布列

(2)設比賽繼續進行Y場乙贏得全部獎金，則最后1場必然乙贏，Y的所有可能取值為3，4.

當Y=3時，乙以4∶2贏得比賽，P(Y=3)=(1-p)3；

所以，乙贏得全部獎金的概率為

P=(1-p)3+3p(1-p)3=(1+3p)(1-p)3.

設函數f(p)=(1+3p)(1-p)3，則求導可得f′(p)=-12p(1-p)2.

故事件“乙贏得全部獎金”是小概率事件.

所以認為比賽繼續進行乙不可能贏得全部獎金．

點評：借助概率相關知識來科學決策現實生活中的開放性問題，關鍵是根據不同事件的概率的求解，通過數學運算與數據對比，利用概率的現實意義以及概率大小的分析比較，綜合現實實際問題對概率大小的需求差異，合理判斷，科學決策．

4 結論

關于概率統計中的開放性問題，一般要做到：一是用數據說話，即要有相應的數據支撐，在陳述數據時，要計算事件發生的概率或者計算樣本數據的均值等，不能只說結論；二是表達要到位，理由陳述不要偏離主旨，要正確看待小概率事件發生的情況，不要從抽樣數據太少、實驗次數太少等樣本出發．借助概率統計知識來解決日常生活、社會活動和經濟活動中的開放性應用問題，增強創新意識，學以致用，要用數據說話，進行科學決策，體現創新應用精神，提升數學能力，培養數學核心素養．