基于連續彈性基礎梁模型的扣件動剛度測試方法

閆子權

（1.高速鐵路軌道技術國家重點實驗室，北京 100081；2.中國鐵道科學研究院集團有限公司 鐵道建筑研究所，北京 100081）

軌道扣件系統是鋼軌與軌下結構連接的紐帶，對保證軌道整體穩定性和可靠性起著重要作用，是鐵路基礎設施中的關鍵零部件之一［1］。扣件剛度是軌道結構力學特性的一個重要參數，也是影響列車運行速度、安全性、平穩性以及軌道維修工作量的重要參數［2?3］。

扣件剛度可分為扣件靜剛度和扣件動剛度［4］，目前扣件靜剛度和低頻動剛度的試驗方法比較成熟，且有相應的測試標準，如TB/T 3396.3—2015和EN 13146-9—2011 中均規定了扣件組裝靜剛度的室內測試方法，該方法通過試驗機向組裝扣件系統的鋼軌施加垂直于鋼軌底面的荷載，測定鋼軌在荷載作用下產生的相對于軌枕的位移進而得到靜剛度［5?6］。TB/T 3395.1—2015中規定了扣件彈性墊層低頻動剛度的試驗方法，該方法通過試驗機以恒定頻率（4 Hz）對扣件彈性墊層施加垂向循環荷載，測定最大和最小荷載下彈性墊層的最大和最小垂向位移進而得到低頻動剛度［7］。

對于扣件高頻動剛度及服役狀態下的扣件動剛度測試方法，國內外學者開展了大量的研究工作。動剛度取決于彈性元件的彈性、慣性和阻尼特性。由于慣性力的存在，高頻動剛度比低頻動剛度更為復雜。根據ISO 10846系列標準［8］的相關規定，彈性元件動剛度和阻尼特性的室內測試方法有3 種，分別為直接法、間接法和驅動點法。直接法需要測量輸入端的位移和阻滯輸出力，比利時布魯塞爾大學采用直接法測量了扣件彈性墊層的動剛度［9］，但直接法的測試有效頻率范圍較低，一般小于500 Hz。間接法是用測量振動的傳遞率來實現，英國南安普頓大學Thompson 等［10?11］根據間接試驗方法研究了激勵頻率和預荷載對彈性墊層動剛度的影響。間接法測試頻率較高，最高可達2 000 Hz，但無法有效測得低頻處的動態特性。由測量輸入端位移和輸入力而得出的剛度就是驅動點動剛度，只有在低頻段，驅動點剛度與傳遞剛度是相等的，因此該方法的測試頻率較低，一般小于200 Hz。荷蘭代爾夫特理工大學基于頻響法搭建了可等效為單自由度系統的錘擊試驗臺，測試了不同種類、不同老化程度的彈性墊層動剛度［12］。韋凱等［13］基于溫頻等效原理研究了彈性墊層的頻變特性。Shen 等［14］建議將基于物理的有限元軌道模型和數據驅動的高斯過程回歸模型結合起來，通過現場錘擊試驗從測得的頻率響應函數直接推斷軌道部件剛度。Man等［15］通過錘擊試驗測試了軌道結構的頻響函數及動態特性。可見，大量學者從扣件靜剛度室內試驗方法及標準、動剛度的室內試驗方法、測試設備及影響因素等方面進行了研究，但對于服役狀態下的扣件動剛度測試方法研究較少。

將鋼軌視為置于連續彈性基礎上的簡支梁，推導扣件動剛度與鋼軌1 階彎曲振動頻率的關系，提出基于連續彈性基礎梁模型的扣件動剛度測試方法，并采用該方法對某服役狀態下的高鐵線路軌道扣件動剛度進行測試。

1 基于連續彈性基礎梁模型的扣件動剛度計算式

推導扣件動剛度計算式時，基于如下基本假設［16］。

（1）鋼軌的應力和應變關系遵循胡克定律。

（2）變形前垂直于軸的平截面在變形后仍保持平面并保持和變形后的軸垂直，即平截面假定。

（3）鋼軌滿足連續彈性基礎梁（文克爾梁）模型的假定，即將基礎視為由連續排列且相互獨立的線性彈簧組成，每個彈簧的變形僅決定于作用在該彈簧上的力，而與相鄰彈簧的變形無關。

（4）忽略阻尼的影響。

根據基本假設，將鋼軌視為置于連續彈性基礎上的簡支梁，長度為L，如圖1所示。

圖1 連續彈性基礎梁模型

鋼軌的無阻尼自由振動方程為［17］

其中，

式中：m為鋼軌單位長度質量，kg·m－1；E為鋼軌彈性模量，N·m?2；I為鋼軌截面對水平軸的慣性矩，m4；k為連續分布支承剛度，即鋼軌基礎彈性模量，N·m－2；K為扣件動剛度，N·m－1；e為彈性支承間距，m；u（x，t）為鋼軌微元段的垂向位移，m。

鋼軌彎曲自由振動方程式（1）為4 階偏微分方程，為求其振動解，可采用分離變量法，假定

式中：φ(x)和Y(t)分別為u（x，t）2 個變量的函數。

將式（2）代入式（1）中，則有

根據文獻［18］可知Y(t) =sin(ωt)，ω為系統的固有角頻率，則有

式（4）可整理為

令α4=則有

式（6）的通解為

式中：C1，C2，C3，C4為積分常數，由邊界條件確定。

簡支梁的邊界條件為

將式（12）代入式（6）可得

解得ω為

連續分布支承剛度k為

則基于鋼軌1 階彎曲振動頻率的扣件動剛度K為

式中：fr為鋼軌1階彎曲振動頻率，Hz。

式（16）即為基于連續彈性基礎梁模型的扣件動剛度計算式。由式（16）可知，扣件動剛度由鋼軌1 階彎曲振動的頻率和參振長度、鋼軌的單位長度質量和抗彎剛度以及扣件支承間距決定。可見，對于確定的軌道結構，可通過測量鋼軌1 階彎曲振動頻率得到扣件動剛度。

2 仿真驗證

扣件動剛度計算式是基于連續彈性基礎梁模型推導的，但實際上鋼軌應視為彈性點支承連續梁模型，彈性支承間距為扣件間距，如圖2所示。本節針對彈性點支承連續梁模型進行仿真計算，驗證分析基于連續彈性基礎梁模型推導的扣件動剛度計算式的正確性和可靠性。

圖2 彈性點支承連續梁模型

采用ANSYS 軟件建立鋼軌彈性點支承連續梁模型。仿真分析過程中充分考慮鋼軌的彎曲和扭轉變形，鋼軌采用鐵木辛柯梁模擬。扣件支承采用線性彈簧模擬。為了消除邊界條件的影響，模型長度取100 m。

采用諧響應分析鋼軌的彎曲振動頻率，即通過計算求得鋼軌在某個頻率范圍內周期循環荷載作用下的周期響應，并得到諧響應值隨著頻率變化而變化的曲線，從而確定鋼軌在以正弦規律變化荷載作用下的響應，得到鋼軌的固有頻率。仿真分析參數見表1。

表1 仿真分析參數

在扣件跨中和節點分別施加單位正弦荷載，鋼軌垂向振動仿真結果如圖3所示。由圖3可知，當扣件剛度為30 kN·mm?1時，鋼軌1階彎曲振動頻率為139 Hz。由式（16）可得，鋼軌1階彎曲振動頻率為139 Hz 時，扣件動剛度為29.7 kN·mm?1，與仿真計算中的扣件剛度30 kN·mm?1基本一致，說明基于連續彈性基礎梁模型的扣件動剛度計算式是正確可靠的。

圖3 鋼軌垂向振動仿真結果

頻率為139 Hz處的鋼軌振型如圖4所示。由圖4可知：鋼軌發生1 階彎曲振動時，鋼軌的參振長度約為62 個扣件間距，即L=62e=40.3 m；在鋼軌1階彎曲振動參振長度中間的一定范圍內，鋼軌幅值較大，因此采用鋼軌1階彎曲振動頻率評估扣件動剛度時，其評估范圍l可取為鋼軌參振長度L的1/2，約為20 m。

圖4 鋼軌1階彎曲振動振型

為進一步分析扣件動剛度計算式的適用范圍，分別采用式（16）和彈性點支承連續梁仿真模型進行鋼軌1階彎曲振動頻率在50～550 Hz范圍內的扣件動剛度計算，結果如圖5所示。

圖5 不同鋼軌1階彎曲振動頻率下的扣件動剛度

由圖5可知：隨著鋼軌1 階彎曲振動頻率的增大，式（16）和仿真模型所得的扣件動剛度差增大，鋼軌1 階彎曲振動頻率在0～300 Hz 時，計算誤差小于5%；鋼軌1 階彎曲振動頻率在300～450 Hz 時，計算誤差為5%～10%；鋼軌1 階彎曲振動頻率大于450 Hz 時，計算誤差大于10%。可知，基于連續彈性基礎梁模型的扣件動剛度計算式在鋼軌1 階彎曲振動頻率小于450 Hz 時具有良好的適用性。

3 測試方法

基于扣件動剛度計算式提出服役狀態下扣件動剛度的測試方法，該測試步驟如下。

（1）選擇鋼軌激勵方式。由于扣件動剛度與鋼軌1 階彎曲振動頻率有關，而與振動幅值無關，因此可利用力錘、激振器或普通錘子對鋼軌進行激勵。

（2）選擇鋼軌加速度傳感器型號。加速度傳感器量程應根據激勵方式進行選取，一般量程為500 m·s?2，頻率范圍大于5 000 Hz。

（3）數據采集系統設置。為了有效測試鋼軌的彎曲振動頻率，數據采樣頻率大于5 000 Hz。

（4）在需要測試服役狀態下扣件動剛度的區段l范圍內布置鋼軌加速度傳感器，在0.5l處至少布置1 個加速度傳感器，當傳感器數量大于1 時，應取奇數且相對于0.5l處對稱布置，如圖6所示。

圖6 服役狀態下扣件動剛度測試方法示意圖

（5）在0.5l處激勵鋼軌，激勵次數至少3 次，并同步采集加速度傳感器信號。

（6）對采集的加速度傳感器時域信號進行快速傅里葉變換，轉換成加速度頻域信號，并獲得鋼軌1階彎曲振動頻率fr。

（7）判定測得的fr是否適用于式（16），若fr≤450 Hz，則可采用式（16）計算扣件動剛度；若fr>450 Hz，則不適用。

（8）若fr≤450 Hz，將fr帶入式（16），計算得出服役狀態下l區段內的扣件動剛度K。

4 現場應用

采用該方法在某高鐵線路上進行了扣件動剛度現場測試。該高鐵線路軌道結構為CRTS Ⅱ型板式無砟軌道，扣件采用W300-1 型扣件系統，扣件間距為0.65 m。

首先選擇尼龍錘頭INV 9313 型號力錘對鋼軌進行激勵；加速度傳感器采用朗斯測試技術有限公司生產的LC0101 型壓電加速度傳感器，其靈敏度為10 mV·m?1·s2，量程為500 m·s?2，頻率范圍為0.5～15 000 Hz；數據采樣頻率設置為10 kHz；在測試扣件動剛度區段20 m 范圍內布置1 個加速度傳感器，傳感器布置在測試區段正中間；用INV 9313 力錘敲擊鋼軌3 次，獲得鋼軌的加速度時域信號，如圖7所示。

圖7 3次敲擊鋼軌加速度時域圖

將3 次敲擊后的鋼軌加速度時域信號進行快速傅里葉變換，轉換成鋼軌加速度頻域信號，并獲得此處的鋼軌1 階彎曲振動頻率fr=154 Hz，如圖8所示。判定測得的fr≤450 Hz，將鋼軌1 階彎曲振動頻率fr代入扣件動剛度式（16），可得該服役狀態下的扣件動剛度為36.5 kN·mm?1。W300-1 型扣件墊板的靜剛度范圍為20～25 kN·mm?1，按設計中值22.5 kN·mm?1考慮，該服役狀態下的扣件動剛度為墊板靜剛度的1.62倍。

圖8 鋼軌頻譜圖

5 結 論

（1）扣件動剛度由鋼軌1 階彎曲振動的頻率和參振長度、鋼軌的單位長度質量和抗彎剛度以及扣件支承間距決定，當軌道結構確定時扣件動剛度可通過測試鋼軌1階彎曲振動頻率求得。

（2）扣件動剛度計算式在鋼軌1 階彎曲振動頻率小于450 Hz時計算誤差小于10%，準確性較高。

（3）采用基于連續彈性基礎梁模型的扣件動剛度測試方法，測試得到某高鐵線路CRTS Ⅱ型板式無砟軌道服役狀態下的扣件動剛度為36.5 kN·mm?1，約為墊板靜剛度的1.62倍。