基于奇異譜分析與梯度優化算法優化的RVM、SVM月徑流預測研究

梁曉鑫，崔東文

(1.云南省水文水資源局文山分局 云南 文山 661100；2.云南省文山州水務局 云南 文山 663000)

徑流時間序列是指月徑流數據按照時間先后順序排列而成的數列，開展徑流時間序列分析預測對水文預測預報、水資源開發利用等具有重大意義。水文時間序列影響因素眾多、變化復雜，表現出較強的非線性、非平穩性和多尺度等特征，傳統自回歸類模型、集對分析模型、灰色模型等傳統擬線性預測方法存在著局限性，難以獲得理想的預測效果[1]。當前，基于“分解—預測—重構”模式的時間序列預測方法被廣泛應用于水文時間序列徑流預測，并取得較好的預測效果。常見的時間序列分解方法有小波變換(WT)、經驗模態分解(EMD)、集合經驗模態分解(EEMD)、變分模態分解(VMD)、奇異譜分析(SSA)等方法；預測模型主要有BP神經網絡[2-3]、廣義回歸神經網絡(GRNN)[4]、支持向量機(SVM)[5]、相關向量機(RVM)[6]、極限學習機(RELM)[7]等。

為進一步提高水文時間序列預測精度，克服單一模型的不足，本文基于“序列分解—參數優化—分項預測—結果疊加”思想和“奇異譜分析(Singular Spectrum Analysis，SSA)、梯度優化(gradient-based optimizer，GBO)算法、相關向量機(relevance vector machine，RVM)與支持向量機(Support Vector Machines，SVM)”方法，提出SSA-GBO-RVM、SSA-GBO-SVM月徑流時間序列融合預測模型。通過SSA對月徑流數據進行處理，提取多個獨立子序列，達到降低徑流數據復雜性的目的；針對RVM核寬度因子和超參數、SVM懲罰因子和核函數參數對RVM、SVM預測性能影響較大以及參數難以選取等問題，采用GBO算法優選RVM、SVM關鍵參數，達到提升RVM、SVM預測性能的效果；利用云南省龍潭站65年共780個月月徑流數據對SSA-GBO-RVM、SSA-GBO-SVM模型預測性能進行檢驗，旨在驗證SSA-GBO-RVM、SSA-GBO-SVM模型用于月徑流時間序列預測的可行性和可靠性。

1 SSA-GBO-RVM、SSA-GBO-SVM集成模型

1.1 奇異譜分析(SSA)

SSA依據所觀測到的時間序列構造出軌跡矩陣，并對軌跡矩陣進行分解、重構，從而提取出代表原時間序列不同成分子序列[8-10]。SSA包含分解與重構2個階段。

a)分解。選取窗口長度L構造軌跡矩陣X如下：

(1)

式中M——時間序列長度；L——窗口長度，即嵌入維數，一般為不超過序列長度1/3的整數。

對矩陣X進行SVD(singular value decomposition，SVD)分解：

(2)

式中λi——第i個特征值；Ui——與第i個特征值對應的特征向量；Vi——第i個主成分；d=rank(X)=max{i:λi>0}。

(3)

式中 向量數量K=M-L+1；L*=min(L,K)；K*=max(L,K)。

1.2 梯度優化(GBO)算法

1.2.1GBO算法簡述

梯度優化(GBO)算法是Ahmadianfar I 等人受牛頓-梯度下降法啟發而提出的一種新型元啟發式優化算法。與傳統元啟發式優化算法相比，GBO算法不但實現簡單，設置參數少(僅需設置種群規模和最大迭代次數)，而且具有較好的探索、開發、收斂能力和有效避免局部極值的能力。參考文獻[12]，GBO算法數學描述簡述如下。

a)初始化。GBO算法中，種群個體被稱為“向量”，該“向量”在D維搜索空間中可表示為Xn,d=[Xn,d,Xn,d,…,Xn,d],n=1,2,…,N；d=1,2,…,D，在D維搜索空間中隨機生成初始向量Xn表示為：

Xn=Xmin+rand(0,1)×(Xmax-Xmin)

(4)

式中Xmax、Xmin——搜索空間上下限值；rand——[0,1]范圍內隨機數。

b)梯度搜索規則(GSR)。GSR規則可以幫助GBO算法在優化過程中解決隨機行為，從而促進探索并避免局部最優；運動方向(DM)用于創建合適的局部搜索趨勢，以提高GBO算法的收斂速度。梯度搜索規則(GSR)與運動方向(DM)數學描述如下：

(5)

(6)

GBO算法第m+1次迭代向量位置更新描述如下：

(7)

其中，

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

式中f1——[-1,1]范圍內隨機數；f2——平均值為0、標準差為1的正態分布隨機數；pr——概率；u1、u2、u3——3個隨機數；其他參數意義同上。

1.2.2GBO算法仿真驗證

選取6個典型測試函數在不同維度條件下20次尋優平均值對GBO算法尋優性能進行評估，并與文獻[11]海洋捕食者算法(MPA)、粒子群優化(PSO)算法的仿真結果進行比較，結果見表1。實驗參數設置如下：GBO、MPA、PSO算法群體規模N=100，最大迭代次數M=500，其他采用算法默認值。

表1 函數優化對比結果

a)對于單峰函數，GBO算法在不同維度條件下尋優精度分別較MPA和PSO算法提高113、88、61和134、102、 68個數量級以上，具有較好的尋優精度。

b)對于多峰函數Griewank、Rastrigin、Ackley，GBO算法在不同維度條件下20次尋優均獲得了相對理論最優值0和8.88e-16，尋優精度略優于MPA，遠優于PSO算法，具有較好的全局搜索能力。

可見，GBO算法對上述6個測試函數均具有較好的尋優精度和全局搜索能力。

1.3 相關向量機(RVM)

RVM是一種基于貝葉斯推理的稀疏概率機器學習模型，其基本算法簡述如下[13-16]。

(13)

(14)

式中t=(t1，t2，…，tN)T；Φ——N×(N+1)的核函數矩陣。

為避免ω和σ2過擬合，常使用零均值高斯先驗概率分布約束參數：

(15)

式中α——一個N+1超參數向量。

基于貝葉斯公式，后驗分布的權重描述為：

(16)

式中μ=σ-2∑ΦTt；∑=(σ-2ΦTΦ+A)-1；A=diag(α0,α1,…,αN)。

為建立統一的超參數，p(t|α,σ2)定義如下：

(17)

本文利用高斯徑向基核函數(RBF)作為核函數，即：

(18)

式中d——核函數寬度因子。

1.4 支持向量機(SVM)

設含有l個訓練樣本的集合為{(xi，yi)，i=1，2，…，l}，xi(xi∈Rd)為第i個訓練樣本輸入列向量，yi∈R為對應輸出值[17-18]。則SVM在高維特征空間中建立的線性回歸函數為：

f(x)=wΦ(x)+b

(19)

式中Φ(x)——非線性映射函數；w——超平面的法向量；b——超平面的偏移量。

(20)

選擇徑向基核函數作為SVM核函數，徑向基核函數表達式為：

(21)

式中g>0。

1.5 SSA-GBO-RVM、SSA-GBO-SVM建模流程

SSA-GBO-RVM、SSA-GBO-SVM建模預測實現流程見圖1，實現步驟如下。

圖1 實例月徑流預測流程

步驟一采用SSA方法將原徑流序列分解為多個獨立的子序列；通過自相關函數法(Autocorrelation Function Method，AFM)確定各子序列輸入向量，合理劃分訓練樣本和預測樣本。

步驟二構建適應度函數：

(22)

圖2 奇異譜分析分解圖與原始月徑流量

步驟八分別利用GBO-RVM、GBO-SVM模型對各子序列進行預測，預測結果疊加即得到實例月徑流預測的最終結果。

步驟九分別采用平均絕對百分比誤差(mean absolute percentage error，MAPE)、平均絕對誤差(mean absolute error，MAE)和納什系數(Nash-Sutcliffe efficiency coefficient，NSE)對各預測模型有效性進行評估，見式(23)。

(23)

2 實例應用

2.1 數據來源

龍潭站系紅河流域瀘江水系盤龍河干流控制站，控制徑流面積3 128 km2，為國家重要水文站和中央報汛站。盤龍河發源于紅河州蒙自縣鳴鷲鄉，流經西疇、馬關、麻栗坡于天保船頭附近注入越南，河長252.6 km，平均坡降8.73‰，中越國界以上流域面積6 497 km2，多年平均徑流量為26.93億m3。本文數據來源于龍潭站1952年1月至2016年12月實測月徑流序列，月徑流量變化過程見圖2。

2.2 SSA分解

SSSA分解確定子序列數量至關重要，若子序列數量過少，則不足以將原始序列中蘊含的不同成分提取出來；若子序列數量過多，則增加了模型復雜程度和建模工作量[8]。由于水文氣象是以年為周期，因此本文設置窗口長度L=12，即利用SSA方法將原月徑流時間序列數據分解為12個獨立的子序列，利用SSA-GBO-RVM、SSA-GBO-SVM模型分別對12個子序列進行預測，將預測結果疊加后得到最終預測結果。SSA分解與月徑流隨時間變化趨勢見圖2。從圖2可以看出，子序列1振幅最大、頻率最高、波長最短，大致反映了原月徑流時間序列的變化趨勢；子序列2—12振幅逐漸減小、頻率逐漸降低、波長逐漸變長，反映了原徑流時間序列的波動情況。

2.3 確定輸入向量

本文采用AFM法確定各子序列的輸入向量，通過計算各子序列逐月徑流數據序列的自相關系數，將自相關系數最大時所對應的滯后數Y作為各子序列的最優嵌入維數，即將預測月的前Y個徑流量數據作為輸入向量，預測月作為輸出向量，見表2。本文利用實例后120個月作為預測樣本。

表2 各子序列自相關系數、嵌入維數及序列長度

2.4 參數設置及預測分析

2.4.1參數設置

SSA-GBO-RVM、SSA-GBO-SVM模型參數設置為：GBO算法種群規模N=50，最大迭代次數M=100；核函數選擇徑向基核函數RBF。其中，RVM超參數和核函數寬度因子搜索范圍均設置為[-10,10]；SVM懲罰因子、核函數參數搜索范圍均設置為[0.01,100]，交叉驗證折數設置為3，不敏感損失系數設置為0.01，原始數據采用[-1,1]進行歸一化處理。

2.4.2月徑流預測及比較

利用SSA-GBO-RVM、SSA-GBO-SVM模型對實例子序列1—12進行訓練及預測，將結果進行疊加即得到實例月徑流訓練及預測的最終結果。采用平均絕對百分比誤差MAPE、平均絕對誤差MAE和納什系數NSE對各模型性能進行評估，結果見表3；訓練及預測效果見圖3—6。

表3 實例136個月月徑流預測結果對比表

圖3 SSA-GBO-RVM模型訓練效果

圖4 SSA-GBO-RVM模型預測效果

圖5 SSA-GBO-SVM模型訓練效果

圖6 SSA-GBO-SVM模型預測效果

依據表3及圖3—6可以得出以下結論。

a)SSA-GBO-RVM、SSA-GBO-SVM模型對實例月徑流時間序列擬合的MAPE分別為5.74%、5.69%，MAE分別為1.10、1.14 m3/s；預測的MAPE分別為6.20%、7.82%，MAE分別為0.88、1.00 m3/s，均具有較好的擬合、預測效果。表明SSA方法能有效將原徑流時間序列數據分解成多個更具規律的子序列，GBO算法能有效優化RVM核寬度因子和超參數、SVM懲罰因子和核函數參數，基于序列分解—參數優化—分項預測—結果疊加思想構建的SSA-GBO-RVM、SSA-GBO-SVM模型均具有較高的預測精度，將其用于水文時間序列預測是可行的。其中，SSA-GBO-RVM模型預測效果要優于SSA-GBO-SVM模型。

b)SSA-GBO-RVM、SSA-GBO-SVM模型對實例訓練樣本、預測樣本擬合、預測達到水文預報甲等精度等級的比例(相對誤差絕對值小于等于20%)分別均為96.9%、99.2%，滿足水文預報精度要求，均具有較好的預報效果。

c)SSA-GBO-RVM、SSA-GBO-SVM模型對實例訓練樣本、預測樣本擬合、預測的納什系數NSE分別高達0.994 8、0.993 9和0.992 6、0.991 3，表明SSA-GBO-RVM、SSA-GBO-SVM模型用于月徑流時間序列預測可信度較高。其中，SSA-GBO-RVM模型可信度最高。

d)從圖3—6來看，SSA-GBO-RVM、SSA-GBO-SVM模型對實例月徑流時間序列擬合、預測的效果均較好，除少數樣本的相對誤差、絕對誤差較大外，絕大多數樣本的擬合、預測結果較接近實測值，滿足預測精度要求。其中，SSA-GBO-RVM模型預測結果更接近實測值，相對誤差更小、預測效果更佳。

3 結論

本文基于序列分解—參數優化—分項預測—結果疊加思想構建SSA-GBO-RVM、SSA-GBO-SVM時間序列集成模型，通過云南省龍潭站月徑流時間序列預測實例對SSA-GBO-RVM、SSA-GBO-SVM模型進行檢驗，得到以下結論。

a)通過6個單峰、多峰函數在不同維度條件下對GBO算法進行仿真驗證，并與MPA、PSO算法比較。驗證了GBO算法具有較好的尋優精度和全局搜索能力。將GBO算法用于RVM核寬度因子和超參數、SVM懲罰因子和核函數參數尋優是可靠的。

b)SSA-GBO-RVM、SSA-GBO-SVM模型對實例月徑流時間序列均具有較好的擬合、預測效果，模型具有較高的可信度，將其用于水文時間序列預測是可行的。其中，SSA-GBO-RVM模型優于SSA-GBO-SVM模型。

c)實例驗證表明，SSA方法能有效將原徑流時間序列數據分解成多個更具規律的子序列，抽取出徑流序列的整體趨勢和不同周期上的波動情況；GBO算法能有效優化RVM核寬度因子和超參數、SVM懲罰因子和核函數參數；基于序列分解—參數優化—分項預測—結果疊加思想構建的SSA-GBO-RVM、SSA-GBO-SVM模型在水文時間序列徑流預測中均具有較高的預測精度和可信度。