小議中美高等數學教材的差異

應志領

（南京郵電大學理學院，江蘇南京 210023）

高等數學有著豐富的內容和深刻的思想，在實際中有廣泛的應用，所以是理工科院校各專業的必修課，也是學習后續課程的內容和科技知識的基礎。國內關于高等數學的教材數不勝數，其中影響最廣、使用最多的是同濟大學數學系編的《高等數學》[1]，目前已是第七版，也是考研的主要參考書。由于歷史原因，國內教材受原蘇聯教材影響較大，其特點是邏輯性強，推理嚴密。近些年，來自歐美教材的影印版和中譯本也多了起來，其中J.Stewart[2]、D.Varberg等[3]和G.Thomas[4]編寫的微積分教材被很多高校選為雙語班或留學生授課的教材。經比較，D.Varberg等編寫的教材更強調數學的嚴謹性，所以我校選它作為留學生高等數學課程的教材。本文將以同濟大學數學系編的《高等數學》（下文簡稱為同濟版）和D.Varberg等編寫的《Calculus》（下文簡稱為Varberg版）為例，詳細比較中美微積分教材中一元函數微積分的區別，以期取長補短，融合中美教材的長處，優化高等數學的教學內容。

一、極限和連續

Varberg版先不講數列的極限，從函數的圖形直接給出自變量趨向于某一點的極限概念，第二節再給出ε-δ定義。Varberg版在引入函數的定義時給出了許多生動有趣的例子，但不介紹函數極限的性質、單調有界收斂準則、無窮小比較和間斷點的分類，花很少的篇幅介紹了兩邊夾準則和閉區間上有界函數的性質。相比較而言，Varberg版在這一部分不像同濟版那么難以接受和理解。反之，國內很多大一學生在學習第一章時就深受打擊，落下了高等數學不好學的陰影。但Varberg版舍棄內容較多，比如不強調初等函數的概念，使得學生對常見的一些函數沒有整體印象，后續學習常見函數的連續，可導和可積時，沒能有一個言簡意賅的總結。另外，由于不講無窮小比較，在求極限時不能用等價無窮小的替代原理，導致求極限時很不方便，間接影響了一些初等函數求導公式的推導，造成一些麻煩。

二、一元函數微分學

Varberg版的微積分專門用了一節引入導數的定義，求導題目的難度不是很大。很大一部分原因是對數函數和指數函數在第六章才引入，所以可求導的函數類型偏少。此外，Varberg版只花很少篇幅講隱函數的求導，也沒有及時講解參數方程求導。而同濟版一開始就推理五類基本初等函數求導公式，然后重點講解復合函數、隱函數以及參數方程的求導方法，這樣就把常見函數的求導問題都講完了，后面可以隨意應用。因為沒有引入無窮小的記號，所以Varberg版的微分定義和國內教材也不一樣，從圖形和數值上突出“局部線性逼近”這種思想方法，這更容易讓學生了解可微的本質。Varberg版相對變化率有單獨的一節，練習題也較多，對于函數圖形的描繪，結合導數的方法，突出軟件的使用，實用性更強。

關于導數應用這一章的內容編排順序和同濟版很不一樣，Varberg版先不講中值定理，而是先學習如何求最大值、單調性和凹凸性等，最后再補上拉格朗日中值定理及證明，不講費馬引理和羅爾定理，柯西中值定理等到第八章學習洛必塔法則時才介紹。因為Varberg版把指數函數和對數函數放到第六章才開始引入，所以沒能適時介紹洛必塔法則，導致很多類型的極限無法求解，而等學完洛必塔法則后，它在后面章節中的應用已不多。泰勒定理放到級數那一章才開始學習，大大降低了這一章的學習難度。

三、一元函數積分學

Varberg版在一元函數微分學的最后就提出了原函數的概念，及時引入不定積分并介紹了一些基本初等函數的不定積分及其相關運算。這樣，一元函數積分學的版塊就從引入定積分的背景和概念開始，快速進入定積分的學習。詳細介紹了按定義求定積分的方法，甚至不惜篇幅在第4.6節介紹了用各種逼近的方法求定積分的近似值。第5章介紹了定積分在幾何和物理的應用，還包括在概率論中的應用。隨后在第6章用積分上限函數引出對數函數，再用反函數求導的方法引出ex并研究它們的性質，在這一章中介紹了一階線性微分方程的求法。分部積分法、換元積分法等一些求積分的方法在第七章才介紹，并且把不定積分和定積分的內容混在一起。相比較而言，同濟版條理更清楚，把不定積分、定積分和定積分的應用分塊講解。Varberg版更突出了定積分的概念以及數值計算，這是值得借鑒的地方，但不定積分和定積分的內容前后交錯，有不少重復的地方。甚至把洛必塔法則和廣義積分放在同一個章節中，脈絡不清。因此，同濟版的內容編排更有利于教學，但Varberg版對于定積分的計算和應用敘述得更詳細和通俗易懂，有助于學生理解并掌握相關知識。

通過Varberg版和同濟版中一元函數微積分這部分的比較，我們就能看出中美教材的一些差異。美國微積分教材的例子和習題計算量一般不大，不太注重計算的技巧，甚至很多計算題可以直接套用公式就可得出。比如像鏈式法則就講得很簡單，隱函數求導只是作為鏈式法則的應用一帶而過。但結合實際的例子較多，有關于物理、經濟管理，甚至生物醫學等方面的應用。比如有賽車最佳外形設計、血管分叉結構對血流量的影響、核廢料安全處理等。這些問題可以提高學生興趣，培養學生數學建模能力，貫穿教材始終，還提倡用專業的計算器或數學軟件來畫圖。相對來說，沒有那么多抽象的理論知識，大多能直觀得出結論，但系統性和嚴謹性要差一些。而同濟版在講導數的應用時會先給出費馬引理，然后用它證明羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，再用它們來證明洛必塔法則和泰勒公式，給出函數單調性，凹凸性的充分條件。這樣一環扣一環，完整性和邏輯性強。另外，美國微積分教材更符合人們的認識規律，結合實際問題提出怎樣求最值、極大值和極小值等，再通過圖形給出函數單調性和凹凸性的充分條件，最后根據推導出的拉格朗日中值定理給出上述結論的嚴格證明。這也是發現問題和解決問題的思路，有助于培養學生的科研能力。

關于中美微積分教材的差異，這方面的研究工作也有很多[5-10]。根據自己在使用教材時的體會，再提一些看法：

1.美國微積分教材更注重數值計算，先具體后抽象。比如Varberg版第4.6節不厭其煩地用“分割，代替，求和”這種方法來求一些定積分的計算，通過具體分割的例子來熟悉并掌握。學習二重積分的計算時，Varberg版先講長方形區域，后講一般區域，中間還專門用一節講了累次積分的計算。另外，美國微積分教材并不僅僅著眼于求某個問題的精確解，像Varberg版第6.7節用歐拉方程求微分方程的近似解，因為大多數實際問題只能求出近似解。

2.Varberg版在第六章用積分定義的方式引入對數函數，然后講反函數的導數，再引入指數函數。這樣等到第六章才引入指數函數和對數函數，而之前學習一元微積分的時候處理對象只有多項式函數和三角函數，指數函數和對數函數的求導和求積練習得不夠。

3.美國中學數學不講數列，也不學習曲線方程，所以在學習極限時不像同濟版先從數列的極限引入，需要花大篇幅講關于拋物線、雙曲線和橢圓等方面的內容。Varberg版不僅對平面解析幾何有詳細的介紹，對極坐標系也介紹得很詳細，包括極坐標曲線的畫圖以及求它的斜率，長度和所圍面積等。因為國內學生在中學就已經學習了平面解析幾何，所以國內高數教材會略去平面解析幾何。但由于高中數學和大學數學的銜接有點問題，比如對極坐標的介紹不夠，導致國內學生學習上存在一些困難。美國微積分教材更重視向量微積分（vector calculus）的教學，介紹向量函數的微商、空間曲線的弧長及曲率公式都作為向量微積分的應用來闡述。鑒于向量微積分的重要性，國內高數教材在這方面得要有所加強。

4.Varberg版教材中的微分方程版塊被拆放到了不同的章節，不重視可降階方程和變量代換法求解，但講解了用歐拉折線法求解微分方程數值解的方法，更突出數學建模和方程的物理意義，實際應用例子多而且很生動。同濟版微分方程放在一章集中處理，重視術語、方程解的結構和解法，但不突出應用。

5.美國微積分重視數學軟件和計算器的應用，比如Varberg版第413頁介紹了計算機代數系統，第12.1節介紹了用數學軟件畫圖，這在國內高數教材是少見的。

6.美國微積分重視梯度的應用，求曲面的切平面方程用到了梯度概念，拉格朗日乘數法也是用梯度來引入，而同濟版是用隱函數存在定理來證明拉格朗日乘數法。

7.Varberg版把泰勒公式和泰勒級數放在同一節，避免同濟版在學習泰勒級數時還要花大量時間去復習泰勒公式。而Varberg版不講授傅里葉級數，這對通信專業的學生學習后續課程會造成一些困擾。但Varberg版在講無窮級數時更突出介紹積分審斂法、數值計算和余項估計。

8.Varberg版教材在講極坐標系下二重積分的計算時，不僅講r形區域，還講θ形區域。學習三重積分計算時不講“切片法”或“先重后單法”，但詳細介紹了一般換元法，這對理解柱面坐標系和球面坐標系下三重積分的計算公式有幫助。

9.同濟版在講述曲線和曲面積分的時候明確區分第一類和第二類積分，而Varberg版把第二類積分都歸結到第一類積分的形式加以定義；同濟版在第二類的曲線和曲面積分中，更突出數量函數的表示形式，而Varberg版強調第二類曲線和曲面積分的向量形式，突出場論的意義。所以相比較而言國內高數教材中的曲線和曲面積分更容易學習，更容易計算第二類曲線積分和曲面積分；美國微積分教材立意更高，把格林公式、高斯公式和斯托克斯公式與梯度、散度和旋度等場論中的重要概念結合等更緊密，更強調物理意義，但不容易教與學。

10.中美教材中有一些記號和定義方式的不同，這點也要引起注意。如Varberg版中在求極限的時候∞僅表示正無窮大，極坐標中允許r＜0等。同濟版的方向導數其實是單側極限，但Varberg版的方向導數是雙側極限。

中美微積分教材的差異還有很多，總的來說，各有優點和不足的地方。相比較而言，國內高數教材大多追求理論上的完美與嚴謹，學生受此影響，理論水平可能更高，但解決實際問題能力會有所欠缺。比如有些學生可能可以把極限定義背得很熟，但并沒有真正理解含義，一旦用到具體的場合，做一些稍難的極限題目或者證明極限不存在時就沒有了思路。其次，國內教材編排緊湊，條理清楚，內容很少重復，更好教學。美國微積分教材中的例子生動有趣，文筆輕松，與數學建模聯系更緊密，更多運用軟件和多媒體工具；注重發現問題、分析問題和解決問題這個過程，這種訓練能讓學生更有信心克服實際研究中的困難，更好地適應工作的需要。作為大學數學的老師，我們應該注意到這些區別，取長補短，完善我們的教學工作。