數學建模思想在初中數學教學中的應用研究

谷文山

一、 數學建模思想概述

數學建模思想是一種實現復雜問題簡單化的重要思想，是一種解決實際問題的重要能力。在初中數學教學中，數學建模思想可簡述為：為同一類型題目尋找具有普遍性的解題方式，從而減少思考時間，快速解題。以一元一次方程的求解步驟為例，通過分析不同一元一次方程的求解步驟，分析不同一元一次方程求解步驟中的相同點和重點，從而總結出可以指導所有一元一次方程求解過程的步驟模型，即“去分母—去括號—移項、合并同類項—系數化為1”。數學建模思想不是一種特定的能力，而是多種能力的交織，例如類比分析能力、歸納總結能力、透過表面看本質的能力等。

關于數學建模過程，目前已經有多位研究者從不同的視角給出了不同的答案，其中比較有代表性的是布魯姆的七階段說。布魯姆將數學建模過程看作現實與數學的循環，建模過程分為七個階段，即“現實情境—情境模型—現實模型—數學模型—數學結果—真實結果—情境模型—現實情境”。筆者根據自身教學經驗，結合初中數學教學特點，將布魯姆的七階段簡化為“識別主要對象—總結模型—運算求解—模型驗證”四階段。

二、 數學建模教學對初中數學學習的意義

初中數學教師在教學過程中開展建模教學，能夠有效提升學生的數學成績和數學學科核心素養。一方面，教師指導學生掌握建模方式和應用數學模型解答題目，可以提升學生的解題速度和幫助學生將復雜題目簡單化，從而提升學生的數學成績。另一方面，教師在指導學生掌握建模方法的過程中，還培養了學生的類比分析、歸納總結、邏輯推理等能力和抽象思維、簡化思維、批判思維等，這類核心素養不僅有利于提升學生當下的學習效率，還能促進學生后續學習。另外，建模思想實質上是一種利用過往經驗解決相似問題的思想，人類社會的發展離不開經驗的積累，學生學會利用生活經驗解決實際問題，不僅對學生的數學學習有重要幫助，對學生未來的生活、工作也有顯著的積極影響。

三、 初中數學建模的幾個典型實例

(一)方程、不等式模型

初中數學需要學習的方程有一元一次方程、二元一次方程組、分式方程和一元二次方程，需要學習的不等式有一元一次不等式、一元一次不等式組，借助于反比例函數和二次函數，教師還應為學生額外補充分式不等式和一元二次不等式的解法。方程和不等式是用來詮釋現實生活中的數量關系的基礎數學模型，其中方程和方程組用來詮釋等量關系，不等式和不等式組用來詮釋大于、大于等于、小于、小于等于的非等量關系。現實生活中的分期付款問題、打折銷售問題、利息計算問題、工程行程問題等多被抽象為方程或方程組模型，從而通過列方程(組)、解方程(組)的方式解決；現實生活中的核定價格范圍問題、統籌安排問題等多被抽象為不等式或不等式組模型，通過列不等式(組)、解不等式(組)的方式解決。

(二)函數模型

初中數學需要學習的函數有三種，分別是一次函數、二次函數和反比例函數。函數是用來詮釋現實生活中事物之間聯系的數學模型，通過觀察函數圖形，不僅能直觀獲得兩個量之間的關系，還能預測發展趨勢。現實生活中的最佳決策問題、最小成本問題、最大利潤問題等都可被抽象為函數模型，從而通過設未知數、求函數解析式、觀察函數圖像、得到最值結果的方式解決。

(三)幾何模型

初中數學需要學習三角形、平行四邊形和圓三種圖形，學習平面圖形平移、對稱和旋轉三種運動，學習全等和相似兩種重要的圖形關系。幾何是用來描述現實生活中的空間形式的數學模型。現實生活中的航海問題、測量問題、城市規劃問題等多被抽象為平面圖形或復雜的圖形，從而利用幾何定理、幾何證明等知識解決問題。在初中幾何學習中，有些模型是用于解決實際生活中的具體問題的，例如將軍飲馬模型、兩點之間最短距離模型等，有些模型更多用于解答復雜的幾何題目，起培養學生觀察力、啟發學生思維、提升解題效率等作用。

(四)統計、概率模型

初中數學學習基礎的數據收集、數據描述和數據分析等統計學知識，能夠采取正確的方式獲得數據，能夠利用相應的統計圖描述數據，能夠利用對應的統計工具分析數據。初中數學學習簡單事件的發生概率，能用樹狀圖或表格計算發生概率。統計、概率模型能提升決策科學性，在人文、管理、經濟、自然科學中都有很普遍的應用，通過將實際問題轉化為統計模型，利用統計學知識獲得實際問題的最優解。

四、 數學建模思想在初中數學教學中的設計原則

(一)學生主體性原則

建模思想教學的最大難點是如何令學生自覺應用建模思想解決問題，在實際教學中，利用數學模型解題固然可以提升解題效率和降低解題難度，但并不意味著學生只能利用數學模型解題，這就為學生留下了一絲“僥幸心理”，即有些學生認為建模思想沒有學習的必要。所以教師在開展建模教學時，必須秉承學生主體性的原則，關注學生的學習需求，讓學生真正體會數學建模的意義，激發學生的學習熱情，引導學生主動參與數學建模過程，幫助學生掌握數學建模能力。

(二)循序漸進原則

教師在開展建模教學時，必須秉承循序漸進的原則，即教師應該首先為學生展示建模思想的應用效果和幫助學生形成對建模思想的正確認識，從而令學生愿意為了提升學習效率而學習建模思想；當學生初步具備建模意識后，教師在教學中滲透建模思想，幫助學生在潛移默化中形成對建模步驟的初始印象，然后教師利用啟發式教學或組織數學探究活動的方式，指導學生自主歸納建模步驟，從而掌握建模能力。最后教師為學生提供足夠的建模能力訓練，幫助學生鞏固建模能力。若教師在開展建模教學時沒有遵循循序漸進的原則，在學生還未形成對建模思想的正確認識時便開展建模方法教學，則一方面學生對教學內容不重視，導致教學效率不高；另一方面學生缺乏感性知識儲備，很難實現認識的飛躍。

(三)應用性評價原則

建模思想教學的終極目標是令學生掌握建模方法并能夠獨立自主地完成建模任務，所以教師在對建模教學效果開展評價與反思時，應該側重于考查學生的能力而非智力，即考查學生面對問題時是否主動嘗試利用建模思想解決問題并最終通過建模解決同類問題。在建模教學中，培養學生主動調用建模思想解決問題的意義比要求學生掌握建模思想的應用意義和建模步驟更重要。

五、 數學建模思想在初中數學教學中的應用策略

(一)強調建模思想的重要性

教師在教學過程中強調建模思想的重要性有利于激發學生的學習動力，形成“學生主動學”的氛圍，從而提升教學效率。首先，教師可以利用榜樣示范法強調建模思想的重要性，一方面，教師可以選取數學史上與建模思想有關的小故事，例如教師在講解《勾股定理》的時候，為學生講述畢達哥拉斯參加餐會，從大理石地磚圖案中發現勾股定理的故事，畢達哥拉斯發現并證明勾股定理的過程便是數學建模的過程；另一方面，教師觀察班上學生是否有人已經具備模型意識，教師對有意識利用數學模型解題的學生展開表揚鼓勵，要求班級其他學生向他學習。其次，教師可以通過對比的方式強調建模思想的重要性，即教師在講解題目時，先利用一般的解題方法講解例題，然后為學生講解該題目所涉及的數學模型，指導學生利用數學模型快速解題，讓學生感受到利用數學模型解題能有效提升解題效率這一事實，從而激發學生的建模意識。最后，教師可以利用說服教育法強調建模思想的重要性，即教師為學生闡述建模思想對他們當下和未來的數學學習的重要推動作用，提升學生對建模思想的重視。

(二)在教學中滲透建模思想

在教學中滲透建模思想，要求教師以知識講解或例題講解的方式描述建模過程，幫助學生形成對數學建模的初始印象，在這一階段，教師可以根據班級學生的狀態選擇是否開展教學延伸。下面以教學案例的形式闡述在教學中滲透建模思想的具體方法。

其次展示教師在例題講解過程中滲透建模思想的教學案例，當開展《軸對稱圖形》的教學時，學生會遇到如圖1所示的題目，該題目非常典型，屬于“將軍飲馬”模型應用題。教師在講解完該題的解題方法時，可以向學生提出以下要求，將題干文字轉化為數學語言，提煉題干涉及的重要條件并分析，總結解題方法。在學生思考過程中，教師通過提問、暗示等方式幫助學生完成學習任務。例如將題干文字轉化為數學語言，該題干內容便變為：點P是直線l上的一個動點，A、B是直線l同側的點，求PA+PB的最小值。分析題干，提煉出的重要條件為直線l和點P、A、B，進一步分析則可為重要條件加上定語，定直線l、定直線l上的動點P，定點A和定點B，該題目的解題方法可概括為任選定點A和定點B中的一個作關于定直線l的對稱點，連接另外一個點和對稱點，另外一個點和對稱點所連線段和定直線l的交點即為P的位置，另外一個點和對稱點所連線段的距離就是PA+PB的最小值。在此過程中，學生已經完成了建立數學模型的全過程，腦海中儲備了建立數學模型的基本方法和具體步驟。

圖1 “將軍飲馬”模型例題

(三)指導學生掌握建模能力

在學生已經初步了解建模思想的應用意義并在頭腦中儲備了足夠的建模經驗時，教師應該指導學生自主完成建模，即利用教師提供的建模經驗，自主建立數學模型并檢驗。為了活躍課堂氣氛，激發學生的建模積極性，教師可以組織學生小組合作，以合作探究的方式完成數學建模任務。在初中數學教學內容中，很多知識點都涉及建模思想，例如方程(組)模型、不等式(組)模型、函數模型和幾何模型，教師根據本班級的教學進度合理安排數學建模任務。例如教師在完成《勾股定理》的教學后，可以為學生提供如圖2所示的題目，該題目是“手拉手”模型的典型例題，教師要求學生以小組合作的形式分析該題干已知條件的特點和各小題的證明方式，研究當等腰直角三角形的條件變為普通等腰三角形和等邊三角形，各小題結論是否仍然成立。教師要求學生總結探究結果，得出“手拉手”模型的圖形特征為：兩個頂角相同的等腰三角形頂角的頂點重合；“手拉手”模型可得出的結論為：(1)拉手后得到一組全等三角形，拉手線相等；(2)拉手線的夾角=等腰三角形頂角；(3)拉手線交點與公共頂點的連線平分拉手線夾角。當普通等腰三角形變為等腰直角三角形和等邊三角形，則特殊“手拉手”模型可以得到更多的結論，以等腰直角三角形“手拉手”模型為例，由于拉手線夾角等于等腰直角三角形的頂角，所以出現90°夾角，得到線段間的垂直位置關系和線段間的數量關系。

圖2 “手拉手”模型例題

(四)給予學生數學模型應用訓練

能否通過讀題識別出數學模型并利用模型思想解決問題是檢驗學生是否真正具備模型意識和掌握模型應用能力的最佳手段，所以教師要給予學生模型應用訓練，一方面幫助學生查缺補漏，另一方面令學生真切感受模型思想對數學學習的幫助。首先，教師在完成數學模型教學后應該及時為學生提供配套的模型應用訓練，加深教育影響，鞏固學習成果。例如，教師在完成《一元二次方程解決實際問題》的教學后，引導學生掌握“閱讀題干，提煉數量關系—設未知數并代入數量關系—解方程—檢驗”這一解題模型，然后為學生布置一元二次方程應用題的作業，要求學生利用模型解題。需要注意，教師要平衡好模型應用訓練中模型應用和思維拓展的關系，避免令學生形成固定思維，從而遏制學生發散思維、收斂思維和聯想思維等高品質思維的發展，如教師在檢查《一元二次方程解決實際問題》的應用題解題模型應用訓練效果時，教師應該首先判斷學生的求解過程是否正確，若學生的求解過程無邏輯硬傷且答案正確，則教師不應該強行要求學生嚴格按照模型步驟開展解題，若學生的求解過程邏輯不清且沒有完整解答問題，則教師應該要求學生記憶模型步驟和了解模型原理，首先嚴格按照模型步驟完成解題，然后再探索屬于自己的個性化解題方式。其次，為了拓展學生思維，加深學生對模型的理解，教師可以為學生提供模型變形應用練習，但要注意遵循循序漸進的原則，為學生提供由易到難、由淺入深的解題體驗。例如教師在完成《一元二次方程的根與系數的關系》的教學后，應該首先為學生提供利用一元二次方程系數判斷根的情況的題目訓練，然后提供利用已知一元二次方程根的情況求系數取值范圍的題目訓練，最后提供已知一元二次方程兩根之間的關系求系數取值范圍的題目訓練，例如已知一元二次方程的兩個根互為相反數，則應該令Δ≥0且x1+x2=0。已知一元二次方程的兩個根互為倒數，則應該令Δ≥0且x1·x2=0。最后，有些數學題有多種解題方法，教師利用最基礎的解題方法引導學生建立解題模型，但在模型應用訓練過程中，有學生使用了不同的解題方法，教師應該針對學生的創新意識和探究精神給予表揚鼓勵，但是教師不可貿然推廣新穎便捷的解題方法，因為雖然有些解題方法能夠快速解題，但解題原理卻不是班級絕大多數學生能理解的。

(五)引導學生利用建模思想解決實際問題

六、 結語

新課改要求學生在學習過程中形成核心素養，實現能力的提升。在初中數學教學中運用建模思想就是符合新課改理念，契合現代教育發展方向的重要策略。初中數學教師應該積極主動設計滲透建模思想的教學過程，幫助學生形成對建模思想的正確認識，指導學生掌握建模能力，從而提升學生利用所學知識解決實際問題的能力。