初中數學中幾何意識滲透的思維路徑建構之策略研究

李 強

在數學解題應用中，幾何圖形與代數運算內容，彼此體系獨立，又互相聯系。學生在面對這一系列問題的困惑時，教師被學生提問頻率最高的問題是什么？

如在平面幾何問題中，輔助線的添加始終是一個學習中的難點，學生往往會問：

“老師，你看到這個問題是如何想的？我怎么想不出來？”“老師，添輔助線有規律嗎？”……

這樣的提問，那老師又應該怎么回答呢？

筆者在調研中發現，教師往往會講：“添輔助線有常法而無定法。”這里的“常法”是什么？“定法”又是什么？有的更是回答：“添輔助線就是拿到一道題目，先添一條試試看，不行再添一條試試，多試幾次總會成功的。”顯然，老師所做的回復根本無法解決學生在解題過程中出現的困惑。

因此，任何離開對圖形本質研究的分析方法，都不可能在數學教學中取得成功。

當然也有老師在教學中會采用，諸如：“我們怎么證明兩條線段相等呢？

要證明兩條線段相等，可以應用全等三角形；

可以證明這兩條線段都和第三條線段相等；

可以應用同一三角形中的等角對等邊；

可以應用比例性質等。”

在實際教學中，沒有一位老師是能夠列舉完的，一般都是列舉了幾條就結束了，那為什么列舉到這里就剎車了呢？

顯然，教師也無法把問題解決過程的本質思想講清楚。

從思維的角度來看，這里應用的是列舉的方法，屬于擴散思維的范疇，無論哪一位教師都不可能進行完美、毫無遺漏的列舉。另外，假設有老師將所有的可能性都列舉了出來，但由于其中的相當一部分可能性對這個具體問題的解決來說，又是毫無價值的，因為這也確實會包含許多無效的思維和努力。然而實質性的問題還不僅僅是在這里，關鍵的問題是當你列舉出了這樣許多方法或可能性以后，對具體的題目來說，你是怎樣做出選擇的？又是根據什么來做出這樣的選擇的？

一、 “幾何意識滲透”“思維路徑”是什么？

(一)對“幾何意識滲透”的概念詮釋

意識：人的頭腦對客觀物質世界的反映，是感覺、思維等各種心理過程的總和，其中的思維是人類特有的反映現實的高級形式。存在決定意識，意識又反作用于存在。

幾何意識：是一種基本的數學素養。在這一過程中，幾何把圖形的空間結構及性質作為研究對象，用圖形說話，用圖形描述問題，用圖形討論、研究和解決問題。

幾何意識滲透：在一定的學習情景下，強調學生是認知主體，是知識意義的主動建構者。在具體的幾何課程中，教師引導學生對已經學過的幾何概念、性質和圖形特點具體化、形象化、概念化，形成學生自己的知識系統、幾何理解。尤其在問題解決的過程中，學生依據新經驗對原有經驗本身做出主動的調整和改變，使同化和順應兩方面有機地統一起來。

(二)對“思維路徑”的認識理解

思維路徑：即思路。它是人腦中的預測能力系統，在大腦中產生朝向目標的傾向性，進而實現目標的計劃和方法。從認知心理學層面來說，它是在問題空間中進行搜索，以便從問題的初始狀態達到目標狀態的思維過程。

在幾何解題教學過程中，幾何背景及問題呈現的多樣化，致使學生對問題盲從、無所適從。為了引導學生找到行之有效的思路建構的有效方法策略，筆者在分析圖形與幾何類問題后發現：這一類問題，往往存在一些組成一個問題最簡單、最重要、最基本的，且又具有特定性質，并能明確地闡明應用條件和應用方法的基本構圖。

二、 幾何意識滲透的思維路徑建構策略

(一)“類比-同構”，打通個體知識聯系的堵點

1.從幾何知識的同構性出發，做橫向類比

※從運算理解的同質性出發，做對比

在初中數學中存在不少幾何概念，其幾何形態不一樣，但是從代數運算的關系表述的本質是一樣的，如：線段與角的和差、線段與角的平分(或n等分)這一組概念，幾何形象完全不一樣，但是研究這一類問題的代數方式卻是一樣的，如下例所述。

『背景問題1：在7點與8點之間，時針與分針在什么時刻互相垂直？』

分析：這個問題實際上是行程問題中的追及問題。可知分針、時針每分鐘旋轉的度數分別為6°、0.5°，從方程視角設從7點開始x分鐘后時針與分針的夾角為90°，此時分針、時針旋轉的度數分別為6x°、0.5x°。分別如圖1-1、圖1-2所示，揭示了分針超過時針前、超過后90°的情形，可列出方程：|210+0.5x-6x|=90，進而解決問題。

圖1-1

圖1-2

可以看到，背景問題中幾何形態的本質是角的和差問題，類比行程問題，再通過指針(邊)的旋轉來理解夾角為90°的幾何狀態，學生理解起來比較困難。分析過程中，借助代數運算(方程)模型的同質性，用線段和差的視角，利用這一種知識的同質性，利用線段圖的方式，轉換問題表述的幾何形態，降低理解的入口，這一做法，無疑是有益的。

※從邏輯體系的類同性出發，做對比

不妨從特殊平行四邊形與特殊三角形這兩個幾何概念模塊做一下類比，可以引導學生從概念布局的整體視野，活化思考幾何問題解決的具體策略運用。

特殊三角形與特殊平行四邊形這兩個板塊內容的概念體系具有類同性。任意三角形在進行邊的特殊化后形成等腰三角形(或等邊三角形)，在進行角的特殊化后形成直角三角形，邊角的同時特殊化形成等腰直角三角形。而平行四邊形也是如此，依次形成菱形、矩形和正方形。

2.從幾何知識的層次性出發，做縱向類比

從簡單到復雜符合知識布局的基本路徑，在初中幾何體系中，不妨以軸對稱性為線索，梳理如下圖所示圖形的性質演變過程：

正是軸對稱性在這一圖形概念序列中的共通性，對單個性質的掌握不能做剖離思考，教師必須要引導學生具有整體視野，從而促成概念體系的系統、有序建構。真正讓學生在這一過程思考中，獲得知識、能力成長的快樂，又如下列問題。

『背景問題2：如圖，AB是一圓形裝飾物的一部分，請你確定它所在圓的圓心。』

在理解圓的軸對稱性基礎上，由垂徑定理的推論“弦的垂直平分線必經過圓心”，通過二次作圖，確定圓心位置。

筆者認為，幾何問題思維路徑的架構，教師應在引導學生學會學習的過程中多下“筆墨”，應注重學生認知能力的培養、滲透，讓學生學會歸納、類比，從而建構系統的知識體系，這是幾何學習、幾何意識有效促成的基礎。

(二)“解構-重構”，筑牢課堂結構優化的內涵

心理學上說，在幾何問題空間內，往往需要面對所要解決問題的背景狀態和結果狀態，思考“如何從條件背景狀態過渡到目標結果狀態？”，是思維路徑搭建的主要方面。

1.深化圖形結構，嘗試中學會建構

從問題解決的策略上來說，對一個問題的條件狀態、結果狀態整體感知，是思維路徑架設的起點端口。下面不妨以浙教版數學八上第35頁例7的解題教學為例，加以引申闡述。

『教材母題3：已知：如圖，AB∥CD，PB和PC分別平分∠ABC和∠DCB，AD過點P，且與AB垂直，求證：PA=PD。』

圖3-1

圖3-2

圖3-3

分析：梳理并解構教材中方法發現，其思維路徑可分為三個層次：

★思維框架確定：觀察、分析現有圖形背景，不具備直接證明線段AP=PD的條件，利用等號的傳遞性，構造過渡線段，確定間接證明線段相等，這是問題解決方向。

★思維進程設計：在上一階段基礎上，根據角平分線這一主干條件，利用角平分線性質定理，確定如圖3-1所示PE⊥BC于E這一輔助線策略，嘗試運用AP=PE且EP=PD這一證明構型。

★思維細節打磨：依據圖3-2，圖3-3這兩個基本構圖，利用AB∥CD，及DA⊥AB于A，細化PD⊥CD于D的推理過程，最終證明PA=PD。

教材中利用基本圖形分析的方法，符合幾何問題解決的一般思維過程。然而，反思教材問題中的背景圖形，能否嘗試別的輔助線呢？為直接證明AP=PD創造條件，重構問題解決新策略。通過師生互動，應能發現以下思維路徑。

圖3-4

圖3-5

圖3-6

很顯然，對上述背景問題解決策略的重構，如圖3-4所示，通過添加BP的延長線，構造如圖3-5、圖3-6這兩種全等構型，直接證明了線段相等。

對比上述兩種方法的基礎上，不難發現，從框架確定、進程設計、細節打磨這一基本思維架構上具有共通性，符合合情推理的基本規律。由此可知，我們在追求問題解決策略最優化的同時，需要保持思維活性，克服定勢，應多做變向思維。在培養幾何意識的進程中，有時候讓學生充分享受思考、體驗思維的全過程，這或許是最重要的。

2.構“一題”變式通道，體驗中活化思維

我們面對的例題，往往是固定的。但是在幾何學習中，又可以通過很多途徑對例題進行變式，賦予它無窮的變化性。如：改變條件、改變結論、改變數據或圖形；條件引申或結論拓展等。讓學生在習題訓練中體驗問題理解的多維視角，培養學生思維的靈活性。這一過程中更會發現：許多由基礎知識、基本技能的推廣與拓展，培養學生理解問題、分析問題、解決問題能力的問題，都能在課本上找到原型。

由此，筆者就依此教材母題的改編實踐，說明舉例如下。

『教材母題4(浙教版八上第35頁探究活動)：如圖，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一條直線上。下面給出四個論斷：①AB=DE；②AC=DF；③∠ABC=∠DEF；④BE=CF。任選三個作為已知條件，余下一個作為結論，可得到幾個命題？其中真命題有幾個？分別給出證明。』

圖4-1

分析：對本習題探究，要求學生對“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”這四種三角形全等的判定方法有一個整體把握。由條件BE=CF不難得出BC=EF，分析習題中4種命題可能性。

下面就以此題為例，通過“改變條件、改變結論、改變數據或圖形；條件引申或結論拓展；條件開放或結論開放或條件、結論同時開放等方面”設置一組幾何變式問題：

圖4-2

圖4-3

圖4-4

圖4-5

變式1(圖形翻轉)：如圖4-2，已知點B、E、C、F在同一條直線上，點A、D在直線BF的兩側，AB∥DF，AC∥DE，以上條件能否證明AC=DE？若不能，則請從以下三個條件中任選一個滿足的，并證明。( )

(1)能 (2)不能，需再添加BE=CF(3)不能，需再添加∠A=∠D

變式2(位置平移)：如圖4-3，已知點B、C、E、F在同一條直線上，BE=CF，AC=DE。能否由上述條件證明AB∥FD？若能，請給出證明；若不能，則請從括號中所列的條件中選擇一個合適條件，并添加到已有條件中，使AB∥FD成立，并給出證明。(可供選擇的條件有：①AB=FD；②BC=EF；③∠ACB=∠DEF。)

變式3(形狀改變)：(1)如圖4-4，已知點C為線段BF上一點，△ABC和△CDF是等邊三角形，連接AF和BD。求證：AF=BD。

(2)在第(1)小題的基礎上，問題中“△ABC和△CDF兩個等邊三角形”換成如圖4-5所示的兩個正方形，試猜想AF與BD的關系如何，請說明理由。

分析：此組變式題組，以課本例題為背景，經過巧構妙思編擬而成，它是課本原題或原題的變化、延伸、拓廣。這一過程中，圖形背景、條件結論在演變，但是，變式指向的知識核心(如：全等三角形的判定與性質等)、思想方法仍然沒有變。在解題教學中，利用好課本是關鍵，應“以標據本”，充分發揮課本例題、習題的功能，重視課本中典型例題的演變、引申、拓展。

三、 結語

“思維是從一個念頭，到另一個念頭的連接”，這里的“念頭”可以理解為數學知識。它揭示了數學知識在數學思維建構中的基礎作用，對幾何教學也是如此。正所謂，“教”無止境，“學”無止境。在實踐中還需要不斷地摸索、總結。文章之所談，僅僅是筆者對幾何解題教學的一點淺論，還需要在實踐中不斷完善。