非球面接觸測量中觸發式測頭預行程誤差補償研究

張鐵建，于正林，張茂云，唐晨

（長春理工大學機電工程學院，長春 130022）

0 引言

非球面光學零件憑借其在光學系統中可有效地矯正系統像差，擴大系統的視場角度，減輕系統整體質量和縮小系統體積等作用，被廣泛應用于各高精尖科技領域[1]。非球面面形檢測技術作為其加工工藝的一部分，如何準確、快速、高效地檢測出非球面零件的面形信息，是許多專家學者一直重點研究的難題。

根據檢測手段的不同，主要分為機械接觸式測量和光學非接觸式測量[2]。光學非接觸式測量方法眾多且測量精度可到達納米級別，但光學測量很容易受到空氣介質和灰塵的影響，對于被測零件的面形精度要求較高，且設備成本較高，一般應用在精密拋光階段對最終成型的零件進行測量。而接觸式測量具有更高的適用性，雖然存在測頭接觸變形誤差和劃傷零件表面的風險，但是該方法得到的數據可靠且抗干擾能力強，故在實際加工過程中接觸式測量更加可靠，主要應用于零件的精磨階段[3]。

本文在非球面零件成型銑磨階段應用接觸式觸發測頭對非球面面形進行測量，針對測量過程中觸發式測頭預行程誤差進行分析，通過對測桿彎曲變形和測球變形的受力分析，建立預行程誤差模型，通過對觸發力的理論推導，精確計算出預行程誤差值，研究預行程誤差補償方法。

1 觸發式測頭

根據測量需求，測頭的基本使用要求有：具有良好柔順性，即當測頭接觸零件表面時，測頭受到較小的測量觸發力就可以使測桿發生偏移產生信號，并允許測頭在離開零件表面前有時間減速；良好的可重復性，即使探針在不接觸零件時始終返回到初始狀態。

圖1所示為觸發式測頭三維模型圖，該測頭將觸發方式與機械結構完全獨立，消除由于長期使用帶來的磨損誤差，可以提高測頭的可重復性。圖2所示為測桿定位機構，該機構主要采用推力軸承只能限制一個軸向自由度，而對其它5個自由度無限制的原理。

圖1 觸發式測頭三維圖

圖2 測桿定位機構圖

當測頭處于“零”位狀態時，軸承板受彈簧緩沖機構提供的彈簧預緊力和3個均勻分布的小球提供的支持力牢牢固定在測頭中線的位置上，此時光源發射光線通過測桿的小孔經預先設定好的45°反射板，根據光線反射原理，入射角等于反射角，光線正好可以射至傳感器接收端。當測頭接觸工件時，隨著接觸力的增加，直到觸發力打破測頭內部平衡測桿發生偏移，導致光線射到反射板的入射角度改變，從而反射光線無法經預設線路到達傳感器，測頭檢測到下降沿信號，并將此時工作電路狀態變化狀態傳出。當測頭離開工件，觸發力消失，由于測桿的偏轉非常小和3個小球的定位效果，測桿又回歸“零”位，等待下一次測量。

2 預行程誤差建模

在實際測量過程中，由于測頭自身機械響應的滯后，當接觸到被測零件表面時并不會立即發出觸發信號，故從測頭接觸到被測零件表面到被觸發這一過程被稱為測頭的預行程誤差。由于影響測頭預行程誤差的因素眾多，如測桿彎曲位移誤差和測球接觸位移誤差等，為了精確計算測頭預行程誤差，針對不同誤差源進行數學建模對誤差進行定量分析是十分必要的[4-5]。

2.1 觸發過程中測頭機構受力分析

對測頭模型進行簡化分析，觸發式測頭觸發機構可近似看成彈簧提供的預緊力和3個均勻分布在機架上的小球將測桿固定，當接觸工件時，測桿受力使測桿具有X、Y方向及Z軸正方向偏移的能力，因此可以完成XY平面任意方向及Z軸正方向的測量。如圖3所示，A、B、C為3個接觸球副對稱分布在軸承座上，設測桿為Z軸且豎直向上為Z軸正方向，與測桿垂直的平面為XY平面且OA方向為X軸正方向，忽略探針自重的影響，測桿長度為L，彈簧預緊力Fs作用在軸承板中心點，方向與Z軸正方向相反，F（θ，γ）為測頭與被測零件表面接觸時的觸發力，θ為測量觸發力在XY平面內與X軸正方向的夾角，γ為測量觸發力與Z軸正方向的夾角。

圖3 觸發式測頭受力圖

根據非球面零件的子午線檢測原理可知，測頭與非球面表面接觸點實際上就是過非球面母線上各點的坐標。非曲面零件測量模型如圖4所示，為非球面零件測量模型圖，從圖中可以看出，非球面零件表面被測點切線與X軸夾角α和測量觸發力方向與Z軸夾角γ相等。根據非球面零件一般表達式可以計算出角α。故角γ可以表示為

圖4 測量模型分析圖

1）測桿彎曲位移誤差。

實際測量中，在接觸測量力的作用下測桿會發生微小的彎曲變形情況，從而在測量過程中會產生由測桿彎曲變形影響帶來的誤差，下面對測桿彎曲位移誤差進行分析。

圖5 測桿彎曲變形示意圖

2）測頭接觸變形誤差。

當測頭接觸到被測零件表面時，在測量接觸力的作用下測頭與被測零件表面產生接觸變形，從而在測量過程中會產生測頭接觸變形誤差。

與被測零件表面局部構建的接觸受力變形示意圖如圖6所示。設測球半徑為r1，非球面零件的等效半徑為r2，由于r2>>r1，可以將被測件接觸處看作平面，也就可以將圖6中的球與球接觸變成球與面接觸的問題，即曲率1/r2=0，所以相對曲率半徑r滿足1/r=1/r1+1/r2，即r=r1。

圖6 測球與被測件表面局部接觸變形示意圖

根據Hertz方程可有：

式中：a為接觸面半徑；s為局部接觸變形量；r為測球半徑；μ1、E1、μ2、E2分別為測球與被測件的泊松系數和彈性模量。

綜上所述，對造成預行程誤差的原因，測桿彎曲位移誤差和測頭接觸變形誤差進行了建模分析，可以得到預行程：

式（10）即為觸發瞬間預行程函數模型，通過模型可以觀察出觸發式測頭預行程誤差的大小與測桿的長度L、測桿直徑D、測球半徑r、測量觸發力F（θ，γ）及材料和非球面表面被測點切線角有關。除非球面表面被測點切線角和測量觸發力的大小外，其他影響參數在測量過程中都定量，故對非球面零件測量過程中產生的預行程誤差只需要研究這兩個因素的影響即可。通過式（10）可以看出其對預行程影響最大的就是測量觸發力，測量觸發力與預行程成正比關系，即要想求出測頭預行程誤差必須知道測頭的觸發力。

2.2 測頭觸發力推導

對本課題所設計的光電式觸發測頭結構分析可以知道，在無任何外力的作用下，測頭內部軸承板在彈簧預緊力和3個球支撐副的作用下，牢牢固定在測頭內部，此時激光光線正常折射到光線接收端，處于待工作狀態；當測頭與被測零件表面接觸時，會產生測量接觸力，當此測量接觸力逐漸增加直到破壞測頭內部的平衡狀態使測桿發生偏轉，當測桿發生一定量的偏移時，接收端接收不到激光信號，從而使測頭狀態由高變低發出觸發信號。根據上文對測頭受力情況分析可知，測頭的測量觸發力對預行程誤差影響非常大，所以必須對該力進行理論推導。

如圖7所示，H為測球中心距支撐平面的距離；G為測桿自重，其方向豎直向下；Fs為測桿所受彈簧預壓力，其方向豎直向下；fs為軸承板與彈簧緩沖機構的摩擦力；FA、FB和FC分別為小球對測桿的支反力，其方向始終與測桿方向一致；fA、fB和fC分別為與各支撐點的摩擦力，其方向與所產生的運動方向相反。

根據圖7所示受力情況，當測頭隨著F（θ，γ）的增大，小球與軸承板產生相對運動趨勢，當某一點支反力為0時，此時必定至少有一個觸點脫離接觸。當測量觸發力沒有達到破壞測頭內部平衡時，測桿在空間上所受的合外力為0，合外力矩也為0。即Fx=0，Fy=0，Fz=0，Mx=0，My=0，Mz=0，可列出測頭觸發時關于未知量支反力FA、FB和FC的空間力學方程式：

圖7 測頭觸發受力分析示意圖

根據測頭觸發時，3個接觸球必有至少一個脫離接觸，想解式（12）、式（13）和式（14），必須分析出在不同方位角情況下各支反力的情況。根據圖7坐標系分析，在不同的接觸方位角的情況下，對各支反力分析如表1所示。

表1 三維觸點接觸方位與開啟情況

根據接觸方位角θ與觸點開啟情況，當θ在300°～60°之間時，FA=0；當θ在60°～180°時，FB=0；當θ在180°～300°時，FC=0。

將上述對各支反力情況分析結果代入式（11）中，即可求出在不同方位角θ情況下測量觸發力的大小，其計算結果如下：

方位角在300°～60°間時，

2.3 基于測頭預行程誤差的補償方法研究

根據上文對測頭預行程P的推導可知，將式（15）、式（16）、式（17）代入式（10），可得出在不同角度區間的測頭預行程數學模型。根據非球面零件的測量原理可知，系統記錄的坐標為測球球心坐標，用（xQi，yQi）表示，要想得到測頭與非球面零件表面接觸點坐標，必須在沿接觸點法矢方向上對測球半徑和測頭預行程誤差值進行補償，令測頭與非球面零件表面接觸點的坐標為（x，y），有：

3 實驗結果與分析

為了驗證在非球面接觸測量中觸發式測頭的預行程誤差補償的有效性，根據非球面零件的加工工藝流程，在完成工件銑磨后，將測頭裝在機床的主軸上直接檢測非球面零件的面形輪廓。測頭沿著非球面零件的母線移動尋找待測點，最終可以得到若干個離散的非球面矢高數據點，通過這些數據點就可以得到非球面的一條母線輪廓。

根據前文對預行程誤差模型分析，其本質上就是預行程誤差與測量觸發力的方位角θ、極角γ之間的關系。由于測頭自身具有對稱性的結構特點，探究方位角對預行程誤差的影響時，只需要在完成一條非球面母線測量后，改變方位角繼續下一次測量，本實驗每次改變10°，一共改變6次即可；而極角就是被測點的斜率，用X軸坐標點代入式（1）即可求出極角值。

本文所測非球面零件理論加工參數如下：曲率C=1/31.788；頂點曲率半徑R=31.788；零件口徑D=32.4 mm，其中二次曲面系數K=-5.318285，中心厚度為6.5 mm。如圖8、圖9所示，經實驗測得未補償預行程誤差前PV值為5.5924 μm，RMS為1.3614 μm，經過式（18）補償后PV值為2.3428 μm，RMS為0.3821 μm。為了驗證實驗結果的準確性，將零件移至Taylor Hobson PGI1240型輪廓儀進行檢測，其檢測結果為PV=2.1050 μm，RMS=0.2562 μm。經兩種檢測方式的結果對比，其PV值誤差為0.2378 μm，RMS值誤差為0.1259 μm。本實驗所使用的方法所得結果合理。

經實驗證明，本文針對觸發式測頭在非球面零件面形測量中預行程誤差補償效果明顯，且與輪廓儀測量結果誤差在0.2 μm左右，故該預行程補償方法可以應用到實際加工過程中。根據圖8、圖9可知，在非球面零件測量過程中隨著測量斜率的增大，其預行程誤差隨之增大。

圖8 未補償誤差數據圖

圖9 補償誤差后數據

4 結論

本文通過對影響觸發式測頭預行程誤差的因素進行建模，推導出預行程誤差補償模型，可以提高非球面零件的測量精度。但是該誤差還會受到測量速度、測頭探針參數和接口響應等因素的影響，為了進一步提升測量精度，還需要更深層次的研究。