基于GeoGebra 的線上數學實驗教學研究
——以“反比例函數的圖像”為例

王博陽，劉會艷

（1.河北省教育科學研究院，河北 石家莊 050061；2.石家莊市第42中學，河北 石家莊 050000）

現階段，線上教學越來越普及，“釘釘”系統越來越被廣泛應用，表現出了顯著優勢。深入探究影響線上教學效果的因素，發揮線上教學的優勢，解決存在的現實問題，提高教師線上教學能力和學生線上學習能力，是當下迫切需要解決的問題。

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱《課標》）強調教學中要注重信息技術與數學教學的融合。教師可以利用數學專用軟件等教學工具開展數學實驗改進教學方式，將抽象的數學知識直觀化，促進學生對數學概念的理解和數學知識的建構；利用數字化平臺、工具與資源指導學生做好時間管理，規劃學習任務，開展學習活動，加強自我監控、自我評價，提升自主學習能力，促進自主學習。如何將信息技術深度融入數學課堂教學？應讓學生盡量經歷數學實驗探究，注重“做中學”，引導學生參與數學探究活動，經歷發現問題、解決問題、建構知識、運用知識的過程，積累數學活動經驗，體會數學思想方法，讓學生像專家一樣思考與行動。隨著義務教育新課程方案和課程標準的有效實施，數學實驗融入課堂成為關注熱點。

本文試圖構建基于“釘釘”平臺的線上數學實驗教學模式，將GeoGebra 動態數學軟件融入數學課堂教學，提升數學實驗教學效率。課題組以“反比例函數的圖像”的線上教學為例，提出了初中數學線上數學實驗教學策略，為建構高效的線上教學模式提供借鑒。

一、基本情況

1.教學內容

本節課是冀教版《數學》九年級上冊第二十七章第2 節“反比例函數的圖像和性質”第1 課時。函數是非常重要的數學模型，學生已經有了學習反比例函數概念的基礎，本節課類比一次函數的研究方法，學習用描點法畫反比例函數的圖像，并歸納圖像的特征，進一步體會數形結合的數學思想方法，為以后學習二次函數積累更多的經驗。

由此，本節課的教學重點是：用描點法畫出反比例函數的圖像。

2.教學目標

根據以上分析和《課標》要求確定本節課的教學目標：

（1）經歷畫出反比例函數圖像的過程，發展學生觀察、分析、歸納和概括的能力；

（3）積累活動經驗，培養學生嚴謹求實的科學態度，以及直觀想象等核心素養。

3.學情分析

學生在八年級已經學習了一次函數的概念、圖像、性質和應用，初步掌握了學習函數的基本方法。但從一次函數到反比例函數，圖像由“一條”到“兩支”，形態由“直”到“曲”，與坐標軸由“相交”到“漸進”，學生理解起來有一定困難。

所以本節課的教學難點是：理解反比例函數的圖像是雙曲線。

4.媒體支持

本節課借助“釘釘”平臺，在線上進行課堂授課。課前教師通過釘釘班級教學群，發送給學生資源包，包括GeoGebra 軟件等，學生下載并安裝。

5.教學策略

為了提高課堂效率，培養學生自主學習的能力，教師設計了預習案，抓住學生作業中反饋的典型問題，引導學生層層遞進地展開討論，進一步提升學生發現問題、提出問題的能力，由此拉開本節課學習的序幕。

《課標》提倡利用信息技術呈現傳統教學中難以呈現的教學內容，鼓勵學生運用計算機、計算器進行探索發現。為了突出重點、突破難點，本節課盡可能合理、有效地使用釘釘平臺、GeoGebra 軟件、課件等設備，使課堂更加生動靈活，更好地激發學生的學習興趣，使學生的實驗探究和展示交流更加方便，提高教學效益。

在教學方法上采用“實驗探究教學法”，讓學生在做中學，充分體現學生的主體地位。另外教師通過設置問題，引導學生探索交流、操作實驗、驗證猜想從而得出結論，使學生真正學會思考。

二、教學過程

1.預習反饋

第一種：

第二種：

第三種：

第四種：

第五種：

思考：同一個函數，同學們卻畫出了不同的圖像，請談談你的看法。

設計意圖：學生有畫函數圖像的基礎，因此設計預習環節，既培養了學生自主學習的能力，又提高了課堂效率。呈現學生作品這一生成性資源，有利于激發學生的興趣，引發學生的思考，方便學生比較辨析。

活動要求：（1）學生獨立思考，觀察這些圖像，判斷正誤并說明理由；（2）小組合作交流；（3）選出小組代表展示，其他同學認真聆聽，并準備發表見解。

設計意圖：獨立思考使學生體驗發現的快樂；小組合作培養了學生的合作意識。

展示交流：學生有以下發現：

第一種圖像少了一支，列表時沒有考慮x＜0 的情況；第二、三種圖像與坐標軸有交點了，表達式中，x 在分母上，不能取0，從而y也不能為0，所以圖像與兩坐標軸都沒有交點；第四種和第五種對比，第四種變化趨勢不對，比如，當x＞0 時，x 越大，y 越小.

設計意圖：經過討論、交流、展示，學生明晰了畫圖像時應注意的事項。

反思：畫反比例函數時應注意：

（1）自變量的取值范圍；（2）圖像的變化趨勢；（3）圖像的形態。

設計意圖：在分析圖像的過程中，學生深入感受了函數三種表示方法之間的內在聯系，體會了數形結合的思想方法。

2.操作實驗

針對這個軟件，課前對學生做了培訓，他們已經能較為熟練地使用。

操作1.學生正確列表，在軟件上準確描點

（為了培養學生嚴謹求實的科學態度，教師又讓學生取合適的自變量完善列表。）

（1）列表：

（2）以表中各組對應值作為點的坐標，在GeoGebra 代數區中依次輸入。

圖1

學生在完成列表描點之后思考：相鄰兩點之間怎樣連線？線段還是曲線？

學生有如下思考：

①如果是線段，圖像就是一次函數了。

②嘗試在兩點之間再多取一個點，發現這個點不在第一種的線段上，從而猜想圖像是曲線。

設計意圖：通過問題，引發學生思考，產生認知上的沖突，激發學生探究的欲望。

為了得到函數的準確圖像，必須準確描點。學生在紙上描點，速度慢且不精確。描坐標為非整數的點時，用GeoGebra 軟件描點，快速又準確，只需輸入點的坐標即可出現對應點。

操作2：拖動滑條逐漸進行加密，觀察函數的圖像

教師點撥：為了能更清楚地看出圖像的形狀和變化趨勢，可以描出更多的點，此時學生動手操作軟件，拖動滑條a 增加點的個數，之后選取小組代表進行展示交流，如圖2、圖3 等，展示交流過程中，學生發現反比例函數的圖像是曲線且無限靠近坐標軸。

圖2

圖3

設計意圖：用GeoGebra 軟件很好地突破描點法畫圖像的難點，實現了原有教學手段達不到的效果。在原有描點的基礎上將點增多，從而形成了反比例函數的圖像，直觀形象地呈現了圖像的形狀和變化趨勢。

3.鞏固新知

設計意圖：學生已經感知了反比例函數圖像，再畫圖像時，學生考慮問題會更全面。

4.對比歸納

學生歸納它們的共同特征：圖像都是由兩條曲線組成，分別位于兩個不同的象限，即都是雙曲線。同時，學生還發現：當k>0 時，它的圖像位于第一、三象限；當k<0 時，它的圖像位于第二、四象限。

設計意圖：對比k 值一正一負兩個圖像，培養學生的觀察能力和概括能力，加深學生對反比例函數圖像是雙曲線的理解。

5.驗證猜想

圖4

圖5

設計意圖：快速畫出3 個k>0 的圖像，3 個k<0 的圖像，證實學生的猜想，便于發現一般規律，為下節課深入探究反比例函數的性質做好鋪墊。

6.應用檢測

A.a<0 B.a>0 C.a<2 D.a>2

設計意圖：應用檢測鞏固了所學知識和方法，進一步提升了學生分析問題、解決問題的能力，有助于評價學生的學習效果。用問卷星發布檢測題，學生完成試題，可以快速得到每個試題的正答率，方便進行個別指導。

7.反思總結

引導學生從以下兩個方面談一談本節課的收獲和體會：本節課你在知識上有哪些收獲？在獲得知識的過程中有何體會？

設計意圖：有利于學生主動建構知識體系,清楚知識間聯系，培養學生反思的習慣。

8.布置作業

為了實現減負、提質、增效，設置分層作業，教師可通過釘釘家校本收集作業，并通過批注、語音等多種方式點評作業。

【鞏固性作業】

（1）下列函數圖像是雙曲線的是（ ）

（2）在下圖中，反比例函數的圖像大致是（）

設計意圖：鞏固性作業，面向全體學生，既鞏固所學知識和技能，又著力培養學生的問題意識和思考能力，從而達本課時的教學目標。

【拓展性作業】

①設點A 為函數圖像上一點，點A1與點A關于原點O 對稱，點A1在函數的圖像上嗎？請說明理由；

②作AB 垂直于軸于點B，AC 垂直于軸于點C，試求矩形OBAC 的面積.

設計意圖：拓展性作業，面向大部分學生，讓他們在理解反比例函數圖像的基礎上，進一步研究函數的性質，建立知識間的邏輯關系，真正讓深度學習落到實處，最終形成數學核心素養。

【探究性作業】

小明：函數的圖像是雙曲線且位于一、三象限；

小亮：y 的值隨x 的值的增大而減小；

你認為以上三位同學的說法對嗎？請談談你的看法。

設計意圖：探究性作業，面向學有余力的學生，促進探究活動中數學思維策略的凝練。

利用GeoGebra 軟件有效突破了畫圖像的難點，能將抽象的數學知識直觀化，促進學生對數學概念的理解和數學知識的建構；能促進學生自主學習，規劃學習任務。利用數字化平臺、工具與資源開展學習活動，能幫助學生加強自我監控、自我評價，提升學生自主學習能力，改變學生傳統的學習方式，滿足學生的個性化學習需求，落實核心素養的培養，這種教學方式可以作為落實新方案和新課程的一種新途徑。