傅里葉變換輪廓術在通信原理課程的教學應用

李雪，陶曾杰，雷 琳

（湖南信息學院電子科學與工程學院，長沙 410151）

0 引言

通信原理課程是電子信息工程、通信工程等新工科專業的核心課程，內容抽象，體系繁雜。為講好該課程，各高校教師在教學設計、教學手段等方面進行了各種優化［1-6］。在模擬和數字通信系統教學講解中，教師從時域推導到頻域分析，公式較多，學生常在推導過程中迷失，看不到通信系統調制、解調的全貌，對這門課失去學習信心［7］。在抑制載波雙邊帶調制系統［8-9］教學過程中，教師一般講授基帶信號在頻域調制前后位置、形狀變化情況，并與基帶信號在時域的波形變化對比，其中涉及載波、頻譜搬移、頻譜提取和低通濾波等概念。在抽樣定理教學過程中，需要教師講解抽樣速率、頻譜分離和頻譜混疊等內容。在二進制振幅鍵控等數字頻帶傳輸系統部分需要講解帶通濾波和低通濾波等內容。學生如果對濾波、調制、解調中頻譜結構、位置的變化過程等內容沒有非常清晰的認識，在整個課程學習中都會處于似懂非懂狀態，極大降低學習熱情。如何在課程中加深學生對時域頻域變換、頻譜結構和頻域常見操作的理解和認識，是講好該課程的關鍵。

1 傅里葉變換輪廓術

1.1 傅里葉變換輪廓術簡介

三維重建是當今社會熱點，其關鍵技術之一的主動三維結構光成像技術［10-11］，具有較高的測量準確度、靈敏度和較強的穩定性。Takeda等［12］將傅里葉變換的思想引入結構光投影的三維面形測量技術中，提出傅里葉變換輪廓術（Fourier Transform Profilometry，FTP）。FTP只需投影一幀圖像就可全場重建被測物體的三維面形，不需要投影多幀圖像，適用于動態過程的三維測量和顯示。FTP［13］是通信與光學領域交叉聯系的結果，借鑒在通信領域中的調制與解調的概念，其過程以三維面形調制、解調立體形象化方式展示。

將FTP三維重建技術應用于通信原理課程，通過展示物體三維重建過程，把傳統教學中一維信號對應的一維頻譜關系，形象直觀展示為二維信號對應的三維頻譜關系，二維圖片和三維頻譜信息能帶給學生立體形象的視覺體驗，既能滿足學生對于調制、解調、頻譜提取和頻譜混疊等概念的理解認識，又能將學科前沿知識融入課程，增強課程的深度廣度。在課程理論教學中以學習探究、案例分析方式引入FTP 三維重建技術，對學生理解課程概念和方法大有益處。

1.2 傅里葉變換輪廓術原理

FTP三維重建原理光路如圖1 所示。

圖1 FTP原理光路圖

Projector為結構光場的投影系統，成像系統一般采用CCD 攝像機。E1、E2分別投影系統的出瞳和入瞳，E1E2為其光軸。I1、I2分別是成像系統的出瞳和入瞳，I1I2為成像系統的光軸，兩光軸相交于參考平面上的O點，參考平面與成像系統的光軸垂直。光柵的柵線垂直于E2I2O平面，光柵像被投影到待測物體表面，由于受到物體高度h（x，y）調制，成像系統拍攝得到變形光柵像。Ie到參考平面的距離為l0。d為成像系統與投影系統之間的距離。一光線投影到參考平面上C點和物體上H點，反射光線經過參考平面D點，在CCD陣列上M點成像。

FTP三維重建技術的工作流程［14-15］：

（1）被測物體三維面形作為調制信號，投影在物體表面的結構光場作為載波信號，結構光場受到三維面形高度的調制，使結構光場的相位和頻率發生變化，得到已調信號。

（2）采用CCD相機對變形結構光場（己調信號）進行拍攝，獲得己調信號離散信息，經過離散傅里葉變換、頻域濾波和逆傅里葉變換，計算出己調信號相位信息。

（3）通過相位與高度的映射關系，計算出被測物體的三維面形。

攝像機拍攝得到參考平面上結構光場分布

式中：r0（x，y）為參考表面的反射率；An為傅里葉級數的系數；f0為光柵像的空間基頻；?0（x，y）為參考平面結構光場的相位分布。圖中：x軸與光柵柵線垂直；y軸與光柵柵線平行。

攝像機拍攝到被測物體表面調制的變形條紋光場分布

式中：r（x，y）為物體表面的反射率；?（x，y）為由被測物體高度分布調制的相位。

對參考條紋和變形條紋的光場沿x方向進行一維快速傅里葉變換，計算出參考條紋g0（x，y）和變形條紋g（x，y）對應的頻譜分布

取變形條紋頻譜分布G（fx，y）的y坐標為某一固定值，便得如圖2 所示變形條紋光場的一維頻譜圖。對G（fx，y）作頻譜濾波，濾出頻譜圖中的基頻Q1（圖2的陰影區域），逆傅里葉變換得到截斷相位，對截斷相位進行相位展開，得到變形條紋的連續相位信息?（x，y）。同樣，對G0（fx，y）做頻譜濾波處理，逆傅里葉變換得到截斷相位，對截斷相位進行相位展開，得到參考平面條紋光場的相位信息?0（x，y）。由圖1 的幾何關系和在實際測量中l0＞＞h（x，y）的關系，可得到被測物體高度分布和相位的關系

圖2 變形條紋光場的一維頻譜圖

因此，當對被測物體表面變形光場和參考平面光場進行傅里葉變換、頻譜濾波、逆傅里葉變換和相位展開后，得到展開后的連續相位?（x，y）和?0（x，y），再根據相位與高度的映射關系計算出被測物體的表面輪廓h（x，y）。

2 FTP應用于通信原理課程的教學實踐

2.1 FTP應用于課程的理論教學

教師在通信系統講解中可引入FTP 三維重建技術，其過程以物體三維面形作為基帶信號，投影正弦條紋作為載波信號，并拍攝得到變形條紋作為調制信號，將調制信號傅里葉變換到頻域，得到調制信號的三維頻譜圖，形象直觀地展示三維頻譜和三維濾波，講解零頻、基頻中心、頻譜的分布和濾波等概念。

FTP三維成像過程可用計算機仿真軟件Matlab仿真［16］。如圖3 所示為計算機仿真FTP 三維成像調制過程圖。如圖3（a）所示，使用Matlab軟件生成實驗模擬物體peaks函數作為基帶信號。模擬斜投影正拍攝的方式，投影垂直標準正弦條紋—載波信號，條紋周期為16 pixels，圖像大小為256 ×256 pixels，如圖3（c）所示。正弦條紋（載波信號）投影到實驗模擬物體，將基帶信號調制到載波信號，產生一幅變形條紋圖即已調信號如圖3（d）所示，這就是FTP的調制過程。

通過展示三維模擬物體、載波和已調信號的二維圖片信息，使學生產生視覺沖擊，更能理解調制原理。經過傅里葉變換和頻譜移中操作，將頻譜移到圖像中心位置，圖3（b）所示為實驗模擬物體（基帶信號）頻譜，圖3（e）所示為標準正弦條紋（載波信號）頻譜，圖3（f）所示為變形條紋（已調信號）頻譜，圖3（g）所示為已調信號頻譜局部放大圖。頻譜可以放大縮小和旋轉平移，向學生多角度展示頻譜結構，并展示基帶信號頻譜的位置變化情況，解釋頻譜線性搬移—線性調制概念。

圖3 FTP三維成像調制流程

對載波信號和已調信號頻譜進行濾波處理，濾出頻譜圖3（e）、（f）中的基頻信息。Matlab 可仿真模擬不同形式的濾波器如圖4 所示，圖4（a）為矩形濾波器，圖4（b）為漢寧濾波器。

圖4 不同形式濾波器的濾波效果

圖5 為FTP三維成像解調全流程，以漢寧濾波器為例，濾波器可看成濾波窗口，變換濾波器的大小和位置，找到三維頻譜的基頻中心頻率位置，加載到三維頻譜基頻上，圖5（a）所示為加載濾波器的載波信號的頻譜圖，圖5（b）為加載濾波器的已調信號的頻譜圖。取出載波信號和已調信號第127 行的一維頻譜圖，如圖5（c）、（d）所示，能直觀看出濾波位置是否正確。濾波后的基頻，逆傅里葉變換得到截斷相位，如圖5（e）為載波信號截斷相位圖，圖5（f）為已調信號截斷相位圖。對截斷相位進行相位展開得到展開后的相位，如圖5（g）為載波信號展開相位圖，圖5（h）為已調信號展開相位圖。已調信號展開相位減去載波信號展開相位得到實驗模擬物體的相位，圖5（i）為實驗模擬物體二維相位分布圖，圖5（j）為實驗模擬物體三維相位分布圖。在實驗中可由相位和高度的映射關系，計算得到物體高度信息，重建三維面形。

圖5 FTP三維成像解調流程

通過FTP三維成像解調過程，形象直觀展示出不同截止頻率的濾波器，解釋低通濾波、帶通濾波和高通濾波等濾波操作，通過對比課程中相干解調方法和FTP三維成像解調的相同和不同之處，加深學生對相干解調、濾波操作的理解和認識。

2.2 FTP應用于課程的實驗教學

為加強理論教授效果，布置擴展性實驗課題研究，根據教學進度，編寫調幅、調頻等調制、解調程序，與FTP三維成像Matlab 仿真程序進行對比。學生通過理論教學、仿真實現，加深學生對線性調制、相干解調、濾波、信號的時頻域轉換過程等相關知識的理解。通過FTP三維重建技術，拓展學生的眼界與知識寬度，在激發學生學習興趣的同時提高學習效率。

3 結語

在通信原理課程中引入FTP 三維重建技術并利用Matlab軟件仿真，能將調制、解調過程形象直觀地展示出來，從一維到三維，對教學方法進行創新，把抽象理論問題形象化。通過仿真設置不同的基帶信號和載波頻率、頻譜濾波器等參數。從根本上突破了“直覺”局限，懂得透過現象看本質，體現課堂教學的“兩性一度”，加深學生對課程原理的理解，獲得較好的教學效果。