課題：生活中的優(yōu)化問題舉例

一、課程標(biāo)準(zhǔn)

通過用料最省、利潤(rùn)最大、效率最高等優(yōu)化問題，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用。

二、教學(xué)目的分析

1.知識(shí)與技能目標(biāo)：會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題。

2.過程與方法目標(biāo)：在利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的過程中，進(jìn)一步鞏固導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)。

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的自覺性，以及科學(xué)的生活態(tài)度。

三、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題。

難點(diǎn)：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，根據(jù)實(shí)際利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題。

四、過程探究與分析

1.復(fù)習(xí)回顧

導(dǎo)數(shù)求最值的步驟。

設(shè)計(jì)意圖：為后面求最值做準(zhǔn)備。

2.探究新知

（1）用料最省問題

例1.某廠家要生產(chǎn)一批矩形相框，要求版心面積為64 cm2，四周空白的寬均為4 cm。

問題1：如何設(shè)計(jì)版心的長(zhǎng)與寬的尺寸，才能使四周空白面積最小？

問題2：如何計(jì)算空白面積？

問題3：大長(zhǎng)方形的面積怎么表示？

設(shè)計(jì)意圖：由實(shí)際問題即將圖片裝入相冊(cè)，引出例1，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

總結(jié)求解優(yōu)化問題的一般步驟：

優(yōu)化問題—用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題—用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題—優(yōu)化問題的答案。

設(shè)置動(dòng)手環(huán)節(jié)，四名同學(xué)一組將一張正方形的白紙減掉四個(gè)角，折成一個(gè)沒有蓋的盒子。每組做出來的盒子都不相同。

問題4：同樣大小的紙，操作方法也一樣，為什么折出來的盒子卻不同呢？

問題5：這些盒子的體積相同嗎？

練習(xí)1：在邊長(zhǎng)為30 cm的正方形白紙的四角剪去相等的正方形，再把它的邊沿線折起，做成一個(gè)無蓋方盒，問：盒底邊長(zhǎng)x為多少時(shí)，盒子的容積最大？最大容積是多少？

設(shè)計(jì)意圖：由學(xué)生自己動(dòng)手做出紙盒，感受體積的變化是由邊長(zhǎng)的變化引起的。

（2）利潤(rùn)最大問題：

例2.某工廠制造并出售圓柱形瓶裝的某種飲料，一個(gè)瓶子的制造成本是0.6πr2（分），其中r（厘米）是瓶子底面的半徑，且瓶高為2r，已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.1（分），且制造商能制造的瓶子的底面最大半徑為6 cm。

問題6：瓶子的底面半徑多大時(shí)，能使每瓶飲料的利潤(rùn)最大？

問題7：利潤(rùn)怎么計(jì)算？

問題8：成本與銷售分別是多少？

設(shè)計(jì)意圖：由三種不同包裝的飲料引入，貼近生活，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的有用性。

練習(xí)2：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量為x（噸），且每噸產(chǎn)品的價(jià)格為302-x2（元），且生產(chǎn)x噸的成本為500+2x（元），問：該工廠每月生產(chǎn)多少噸該產(chǎn)品才能使利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

設(shè)計(jì)意圖：由學(xué)生自己獨(dú)立完成，進(jìn)一步鞏固求解優(yōu)化問題的步驟。

3.課堂小結(jié)

（1）用料最省問題；

（2）利潤(rùn)最大問題；

（3）解題關(guān)鍵：列出函數(shù)式，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。

編輯 段麗君