一類群體平衡方程的尺度變換群分析及顯式精確解

林府標，張千宏

（貴州財經大學 數統學院，貴州 貴陽 550025）

0 引言

群體平衡方程是描述具有特殊特征的離散實體系統模型的連續型方程，這些實體包括粒子、晶體、乳劑、液滴、泡沫、種群等；同時包含純偏微分方程、積分方程、代數方程等，通常分別用粒子的種群密度分布函數、增長率或破損率表示種群平衡、粒子質量。群體平衡方程應用領域廣泛，但鑒于在實際工程領域中缺乏解析解，其研究途徑幾乎只能借助于數值技術［1-4］。粒子可用尺寸、形狀、液體和氣體的空隙、成分、年齡、質量和體積等表征，其尺寸、質量、體積是研究粒子密度分布基本的內部變量坐標［1-4］。礦石或其他固體材料的破碎、粉碎、尺寸減縮等是粒子的破損過程；細菌種群的繁殖、生長、死亡、分裂等為粒子的生長過程。在描述化學過程、微粒系統時，可將既有生長過程又有破損過程的連續型群體平衡方程［3］寫為

其中，t表示時間；x表示粒子的尺寸（質量、體積），f(x，t)表示尺寸（質量、體積）為x的粒子在t時刻的種群密度分布函數；G(x，t)表示尺寸（質量、體積）為x的粒子在t時刻的增長率；v(x，t)表示尺寸（質量、體積）為x的粒子的破損平均數；假設粒子的破損是相互獨立的，b(x，t)表示尺寸（質量、體積）為x的粒子在t時刻的破損率，即單位時間內正在破損的粒子數，一般情況下，破損率系數b(x，t)隨x的增大而增大，例 如，冪 函 數 型 破 損 率b(x，t)=kxγ，k＞0，γ＞0；p(x|y)表示尺寸（質量、體積）為y的粒子分解或破損為尺寸（質量、體積）為x的粒子的概率，與時間相互獨立，概率函數p(x|y)滿足規范性條件：

假設f(x，t)是積分-偏微分方程（1）的任意解，則該精確解滿足尺寸（質量、體積）足夠大的粒子，相應種群密度分布函數f(x，t)必然為零［1-3］，特別地，當滿足性質f(∞，t)=f(x→∞，t)=0時，正則性條件為G(∞，t)f(∞，t)=0，對應的邊界條件和柯西問題的初始條件分別為

在工程應用領域，常用平均數或總數研究粒子的行為分布及相關性質。其中，總體平衡（TB）、零階矩M0(t)和一階矩M1(t)的定義分別為

其中，零階矩M0(t)表示單位體積粒子的平均質量，一階矩M1(t)表示單位體積粒子的總質量。

齊次增長率函數和破損率函數相對容易處理，即對任意的λ存在冪指數p≥0，γ≥0，使得增長率系 數G(x，t)和 破 損 率 系 數b(x，t)分 別 滿 足 齊 次方程

假設粒子破損的平均數是雙重的，增長率函數和破損率函數均不依賴于時間而僅取決于粒子的尺寸（質量、體積），注意到假設條件概率函數與時間的相互獨立性和規范性，進一步選取

于是，冪函數型增長率和破損率的群體平衡方程（1）在約束條件（2）下可簡化為

在日常生活和工業生產中，最大的困難不是如何建立一個實體微粒過程模型，而是除數值技術［1-4］外無其他精確求解滿足實際問題的群體平衡方程的途徑。因此，為精確描述、解釋、理解和應用這些實體模型，探求滿足邊界條件和初值條件的精確解是有實際價值和意義的。

群體平衡方程的主要求解方法可粗略地分為數值方法和矩方法［1-4］。而經典的李群分析法［5］無法直接用于求解積分-偏微分方程（1）。改進的李群分析法［6-7］在許多交叉學科領域已有應用，特別是已用于求解積分-偏微分方程、時滯微分方程和隨機微分方程［8-15］，其最大困難是求解積分-偏微分方程的決定方程，由于決定方程仍為積分-偏微分方程，其解法依賴于原積分-偏微分方程的結構、性質和特征等［8-15］。采用改進的李群分析法求解式（3），最大困難是決定方程及其求解方法，因式（3）中，局部強非線性項為變下限積分類型。相反，采用尺度變換群分析法［6，8］因不需要求解復雜的積分-偏微分方程的決定方程，求解新的積分-偏微分方程的部分對稱、群不變解和顯式精確解常常是簡潔且行之有效的。

本文采用尺度變換群分析法、觀察法和試探函數法求式（3）的精確解。重點求滿足實際問題的有意義的真實顯式精確解，分析和探討這些顯式精確解所滿足的邊界條件和柯西問題的初始條件，以及解的動力學特性，并能驗證數值解的正確性和精度，為工程應用領域提供理論參考，豐富群體平衡方程的理論內容。

1 尺度變換群分析法

采用尺度變換群分析法［6，8］求式（3）所接受的李群，考慮尺度變換群

其中，a為群參數，及式（3）的相應變換方程

由尺度變換群分析法的理論算法和式（4），可假設式（3）所接受的無窮小李對稱算子為

其中，λ1，λ2，μ均為實參數。為分析和研究式（4）如何將式（5）的解變換為式（3）的解f=f(x，t)，進一步將式（4）的逆變換群改寫為

將式（4）和式（7）代入式（5），化簡得

注意到f(x，t)是式（3）的任意解，尺度變換群作用式（3）不變，由式（8），實參數λ1，λ2滿足的不變量約束條件為

由式（2）和式（9），得到增長率和破損率函數分別為

于是，式（3）變為

考慮單參數平移變換李群

其中，τ0為群實參數。類似于上述分析和計算，可證明平移變換李群Tτ0作用式（3）不變，因此，式（3）接受平移變換李群Tτ0，其對應的無窮小李對稱平移算子為

鑒于實參數λ1，λ2，μ的任意性，結合式（9）和平移變換李群Tτ0以及無窮小算子式（6），得到式（10）所接受的無窮小李對稱算子為

定理1設由式（10）接受的所有無窮小李對稱算子構成的李代數為L，則L3=span{X，Y，Z}構成實數域上L的3維子李代數。

由文獻［16］，得到3維子李代數L3的換位子運算結果，見表1。

表1 子李代數L3的換位子運算結果Table 1 Commutator table of Lie subalgebra L3

由表1可得，內自同構

求解相應的李方程，得

由內自同構Ai(i=1，2)對應的李變換群和理論算法［6-7］，可得3維子李代數L3的最優化系統，見表2，其中，α為任意實數。

表2 子李代數L3的最優化系統Table 2 Optimal system of Lie subalgebra L3

2 群不變解和顯式精確解

情形1span{Y+αZ}，p≠1，α∈R。

無窮 小 李 對 稱 算 子Y+αZ，p≠1，α∈R的群不變量為由平移算子X，可假設式（10）的顯式精確解為

其中，函數φ(z)滿足約化積分-常微分方程

情形2span{Y+αZ}，p=1，α∈R。

無窮 小 李 對 稱 算 子Y+αZ，p=1，α∈R的群不變量為t，x-α f。于是，假設式（10）的顯式精確解為f(x，t)=xαφ(t)，α＜0，其中，函數φ(t)滿足約化可分離變量的常微分方程φ′=-βφ，其通解為φ(t)=cexp(-βt)。由平移算子X，可得式（10）的顯式精確解為

注意到當x→∞時，此精確解滿足f(x，t)→0，即滿足條件f(∞，t)=0。在破損系數為常數的粒子系統中，當線性增長的粒子尺寸（質量、體積）足夠大時，種群密度分布函數f(x，t)必然為零。邊界條件和柯西問題的初始條件分別為

情形3

用試探函數法，可得式（13）的顯式精確解

結合平移算子X和式（12），得式（10）的顯式精確解

若p＞1，當粒子尺寸x→∞時，精確解滿足f(x，t)→0，即滿足條件f(∞，t)=0。表明既存在增長又存在破損的粒子過程，當粒子尺寸（質量、體積）足夠大時，種群密度分布函數f(x，t)必然為零。當系統中無粒子時，增長率滿足G(0，t)=0。顯式精確解f(x，t)對應的邊界條件、柯西問題的初始條件、總體平衡（TB）分別為

在破損過程中，粒子的平均質量和總質量依賴參數n，p的選取和零階矩M0(t)及一階矩M1(t)。若p=2，則零階矩M0(t)和一階矩M1(t)分別為

為行文簡潔，以下情形不再討論和分析精確解所對應的邊界條件和初值條件以及零階矩M0(t)和一階矩M1(t)。

情形4n＞1，p≠1，α=n(1-p)，

用試探函數法，可得式（13）的顯式精確解為

由式（12）和平移算子X，得式（10）的顯式精確解為

情形5p=3，k=6g。

用試探函數法，可得式（13）的顯式精確解為

由平移算子X和式（12），得式（10）的顯式精確解為

情形6

類似地，用試探函數法探究式（13）的顯式精確解，由式（12）和平移算子X，可得式（10）的顯式精確解為

函數φ(z)為式（13）的解。

情形7G(x，t)=gxp，b(x，t)=kxp-1。

用觀察法和試探函數法，得式（10）的顯式精確解為

情形8

用試探函數法，得式（13）的顯式精確解為

由式（12）和平移算子X，得式（10）的顯式精確解為

情形9span{X+Z}。

無窮小李對稱算子X+Z的群不變量為x，exp(-t)f。由平移算子X，可假設式（10）的顯式精確解為

其中，函數φ(x)滿足約化積分-常微分方程：

情形10span{X-Z}。

無窮小李對稱算子X-Z的群不變量為x，exp(t)f。由平移算子X，可假設式（10）的顯式精確解為

其中，函數φ(x)滿足約化積分-常微分方程：

情形11span{X}。

無窮小李對稱算子X的群不變量為x，f，可假設式（10）的顯式精確解為

其中，函數φ(x)滿足約化積分-常微分方程：

3 結論

將尺度變換群分析法成功地應用于帶有變下限強非線性積分項的群體平衡方程。結合觀察法和試探函數法，得到了存在齊次增長率和破損率的群體平衡方程的部分對稱、群不變解和顯式精確解。分析了部分顯式精確解對應的邊界條件、柯西問題的初值條件以及零階矩和一階矩。所得顯式精確解可驗證數值解的正確性和精確度。