基于動(dòng)態(tài)模態(tài)分解的長(zhǎng)江口海表溫度時(shí)空分布特征重構(gòu)研究

陳嘉星，江迪，張霄宇，3，4*

（1.浙江大學(xué)地球科學(xué)學(xué)院，浙江 杭州 310027；2.浙江大學(xué)信息與電子工程學(xué)院，浙江 杭州 310027；3.浙江大學(xué)海南研究院，海南 三亞 572000；4.浙江大學(xué)海洋研究院，浙江 舟山 316000）

海洋表面溫度（sea surface temperature，SST）是海洋-大氣系統(tǒng)物質(zhì)和能量交換過(guò)程的重要參數(shù)之一，是海水熱量傳遞的直接表現(xiàn)形式，SST的變化可影響海洋-大氣系統(tǒng)之間的熱量交換，進(jìn)而影響區(qū)域氣候［1-2］。

長(zhǎng)江口海域陸地、海洋、大氣及人類活動(dòng)等過(guò)程的相互作用強(qiáng)烈，水動(dòng)力過(guò)程復(fù)雜，長(zhǎng)江口海洋表面溫度的分布特征與變化趨勢(shì)影響并指示海水運(yùn)動(dòng)，是該海域海洋復(fù)雜內(nèi)在動(dòng)力機(jī)制的綜合表現(xiàn)。此外，SST與表層葉綠素a濃度分布、海洋養(yǎng)殖、海洋生物的分布等密切相關(guān)［3］。研究長(zhǎng)江口海洋表面溫度的時(shí)空演變規(guī)律對(duì)于理解時(shí)空耦合系統(tǒng)的深層動(dòng)力機(jī)制、淺海環(huán)流及物質(zhì)輸運(yùn)等過(guò)程極為重要。

關(guān)于長(zhǎng)江口海洋表面溫度的時(shí)空分布特征，前人已有不少研究。周曉英等［4］利用功率譜分析、MK突變檢驗(yàn)分析了水文站的月均海溫?cái)?shù)據(jù)和徑流量數(shù)據(jù)，研究發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)江口海溫的最高值出現(xiàn)在8月，最低值出現(xiàn)在2月，季風(fēng)和長(zhǎng)江徑流對(duì)其有顯著影響。孫凡等［5］基于1982—2016年的OISST數(shù)據(jù)及其他氣象數(shù)據(jù)，采用回歸分析和滯后相關(guān)系數(shù)法進(jìn)行了研究，結(jié)果表明，長(zhǎng)江口海域海表溫度的長(zhǎng)期升溫趨勢(shì)主要受該區(qū)域徑向熱輸送及長(zhǎng)江平流熱輸送增強(qiáng)的影響。買佳陽(yáng)等［6］基于2000—2012年的中等分辨率成像光譜儀（moderate-resolution imaging spectroradiometer，MODIS-Terra）LIB數(shù) 據(jù)，通 過(guò)優(yōu)化劈窗算法，建立了適合長(zhǎng)江口水域的海表溫度反演模型，并進(jìn)行了海表溫度反演，分析發(fā)現(xiàn)，長(zhǎng)江口海表溫度主要受太陽(yáng)輻射影響，且口內(nèi)口外的海表溫度具有不同的季節(jié)性差異。何全軍等［7］基于2015—2017年我國(guó)周邊海域的衛(wèi)星數(shù)據(jù)和現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)，采用多元回歸模型，開發(fā)了適用于FY-3C/VIRR數(shù)據(jù)的區(qū)域SST反演算法。AI等［8］利用渤海地區(qū)的晴天紅外遙感數(shù)據(jù)和浮標(biāo)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，構(gòu)建了一種適用于渤海地區(qū)的SST神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反演模型，并將反演結(jié)果與MODIS的SST產(chǎn)品進(jìn)行了精度評(píng)估，結(jié)果表明，深度學(xué)習(xí)可應(yīng)用于SST反演。以上研究或偏向于水文資料分析，受水文站分布限制，分析僅局限于某幾個(gè)固定點(diǎn)位，無(wú)法擴(kuò)展至整個(gè)海域；或注重海溫反演模型的建立，其反演模型是基于實(shí)測(cè)站位建立的，但研究選取的實(shí)測(cè)站位是否可代表整個(gè)海域有待商榷，同時(shí)也缺乏對(duì)長(zhǎng)江口海溫時(shí)空演變模式的模態(tài)分析。

20世紀(jì)以來(lái)，遙感技術(shù)迅速發(fā)展，借助遙感手段可獲得長(zhǎng)時(shí)序、全覆蓋的SST數(shù)據(jù)。但因云層、霧、霾等影響，常常出現(xiàn)數(shù)據(jù)缺失問(wèn)題，為獲得具有連續(xù)時(shí)間序列的全覆蓋衛(wèi)星遙感資料，國(guó)內(nèi)外已有多種數(shù)據(jù)插值方法，如克里金插值法、最優(yōu)插值法、期望最大化法、奇異譜方法、本征模態(tài)分解法、卡爾曼濾波法等。其中大多受限于數(shù)據(jù)的原始狀況，或依賴相關(guān)的參數(shù)和先驗(yàn)值等信息，在適用性以及計(jì)算效率上均受限制。經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)分解法（data interpolating empirical orthogonal functions，DINEOF）是目前較為有效的遙感數(shù)據(jù)重構(gòu)方法，具有無(wú)需先驗(yàn)值、自適應(yīng)、時(shí)空相關(guān)，以及適用于大面積缺測(cè)數(shù)據(jù)重構(gòu)等傳統(tǒng)重構(gòu)方法不具備的優(yōu)勢(shì)［9-10］。

動(dòng)態(tài)模態(tài)分解（dynamic mode decomposition，DMD）是Schmid于2008年提出的一種數(shù)據(jù)分析方法，其本質(zhì)是將高維非線性系統(tǒng)矩陣轉(zhuǎn)化為低維線性系統(tǒng)的過(guò)程，已被廣泛應(yīng)用于股票價(jià)格預(yù)測(cè)、圖像壓縮處理、物理流場(chǎng)分析等數(shù)據(jù)處理研究［11-13］。當(dāng)數(shù)據(jù)的缺失率過(guò)高時(shí)，DINEOF具有很好的重構(gòu)效果，在能夠獲得足夠時(shí)序數(shù)據(jù)的情況下，數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的算法能夠更好地解決動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的采樣問(wèn)題。海洋是一個(gè)典型的高維動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，尤其在近岸區(qū)域，受潮汐、風(fēng)浪等因素影響，數(shù)據(jù)隨時(shí)間動(dòng)態(tài)變化劇烈。因此，可將其視為由許多不同頻率的組分組成，DMD算法求得的模態(tài)和特征值分別描述了系統(tǒng)的空間特性和時(shí)間特性，符合相關(guān)海洋表面溫度研究的要求。DMD按照頻率對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行排序，提取系統(tǒng)特征頻率，觀察不同頻率的流場(chǎng)結(jié)構(gòu)對(duì)流場(chǎng)的貢獻(xiàn)，同時(shí)DMD模態(tài)特征值可預(yù)測(cè)流場(chǎng)［14］。在能夠獲取足夠時(shí)序數(shù)據(jù)的情況下，DMD算法可以更好地解決動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的采樣問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)海洋表面溫度的預(yù)測(cè)。

在實(shí)際應(yīng)用中，由于數(shù)據(jù)維度高、樣本數(shù)量大、數(shù)據(jù)本身存在噪聲等問(wèn)題，DMD算法需針對(duì)具體應(yīng)用場(chǎng)景做相應(yīng)改進(jìn)。考慮海洋學(xué)的研究特性，為節(jié)約成本、提高效率并為實(shí)際站位布設(shè)提供參考，本文擬結(jié)合正交三角（orthogonal right triangular，QR）分解算法［15］通過(guò)典型觀測(cè)站位還原SST時(shí)空分布情況，進(jìn)行精度校驗(yàn)，并與單一DMD算法進(jìn)行比較。

本文采用2003年1月至2019年12月MODIS L3級(jí)月平均SST遙感數(shù)據(jù)，主要開展兩方面工作：（1）用DMD算法獲得SST基本模態(tài)，并結(jié)合QR分解算法獲得典型觀測(cè)站位；（2）分別利用DMD算法、DMD結(jié)合QR分解算法對(duì)SST數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)，并評(píng)價(jià)2種算法的重構(gòu)精度，對(duì)誤差原因進(jìn)行初步分析。

1 研究區(qū)域概況

如圖1所示，研究區(qū)域位于118°E～128°E，26°N～34°N，為長(zhǎng)江口及其鄰近海域，區(qū)域內(nèi)主要入海河流為長(zhǎng)江和錢塘江等。長(zhǎng)江口區(qū)域位于東亞季風(fēng)區(qū)，夏季盛行西南風(fēng)，冬季盛行東北風(fēng)。水文結(jié)構(gòu)一方面受近岸的長(zhǎng)江沖淡水和沿岸流影響：北有低溫、低鹽、高沙的黃海沿岸流沿蘇北南下，西有低鹽、中沙的長(zhǎng)江沖淡水輸入，其影響范圍存在季節(jié)性差異；另一方面受外海的臺(tái)灣暖流和黑潮次表層水的相互作用，兩者從臺(tái)灣島附近侵入，沿約200 m等深線北上，控制陸架外緣地區(qū)，但存在明顯的季節(jié)性差異［16-17］。此外，長(zhǎng)江沖淡水與臺(tái)灣暖流混合水團(tuán)的鹽度梯度明顯，主要影響長(zhǎng)江口外羽狀鋒區(qū)域［18-19］。除季風(fēng)與環(huán)流相互作用外，長(zhǎng)江口區(qū)域還受潮汐、風(fēng)浪等因素影響，導(dǎo)致長(zhǎng)江口區(qū)域的水動(dòng)力環(huán)境較為復(fù)雜，進(jìn)而影響SST的時(shí)空分布。

圖1 研究區(qū)域地理位置示意［16-17］Fig.1 Geographical map of the study area［16-17］

2 數(shù)據(jù)和方法

2.1 MODIS/SST

MODIS中分辨率成像光譜儀是一種“圖譜合一”的光學(xué)儀器，可獲取從可見(jiàn)光到紅外共36個(gè)波段的觀測(cè)數(shù)據(jù)，其最大空間分辨率為250 m。MODIS可提供包含陸地、海洋、云、大氣、溫度等特征信息的數(shù)據(jù)產(chǎn)品，廣泛用于陸地、海洋及大氣環(huán)境監(jiān)測(cè)等領(lǐng)域［20］。

考慮數(shù)據(jù)的時(shí)間連續(xù)性、適中的空間分辨率以及獲取數(shù)據(jù)的便捷性，選用2003—2019年MODISAqua遙感器的L3級(jí)月平均SST產(chǎn)品，數(shù)據(jù)從https：//oceandata.sci.gsfc.nasa.gov/獲取。空 間分辨率為4.6 km×4.6 km，每幀影像大小均為240×192，時(shí)間幀為204幀，各參數(shù)的觀測(cè)像元總數(shù)均為9 400 320個(gè)，且均采用NetCDF4格式。NetCDF4是一種科學(xué)數(shù)據(jù)存儲(chǔ)格式文件，能分層存儲(chǔ)數(shù)據(jù)，且可用C、Fortran和MATLAB等語(yǔ)言進(jìn)行操作。

前處理主要包括掩膜制作、數(shù)據(jù)缺失率統(tǒng)計(jì)及空白數(shù)據(jù)填補(bǔ)、去噪處理等。

首先，獲取全球海岸線shp文件（網(wǎng)址：https：//www.ngdc.noaa.gov/mgg/shorelines/data/gshhs），導(dǎo)出研究區(qū)域的shp文件，并將導(dǎo)出的shp文件在ARCMAP中進(jìn)行完善。然后，在MATLAB中將shp文件轉(zhuǎn)化為矩陣格式掩膜，令陸地部分為0，海洋部分為1，為方便處理，將陸地中的湖泊和河流賦值為0。掩膜處理完成后，統(tǒng)計(jì)海洋數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)缺失率為1.57%。因數(shù)據(jù)缺失率較低，考慮程序的運(yùn)行效率，用每幀的平均值填補(bǔ)空白數(shù)據(jù)。最后，對(duì)填補(bǔ)完成的數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪處理。

2.2 DMD算法原理

將海洋視為由不同頻率的組分組成的高維非線性系統(tǒng)，由DMD算法得到的模態(tài)描述其空間特性。下面介紹DMD算法的原理。

首先，從數(shù)值仿真或?qū)嶒?yàn)中收集N個(gè)時(shí)刻的快照，形成數(shù)據(jù)矩陣{ψ0，ψ1，…，ψN}，第i個(gè)時(shí)刻的快照為第i列，假設(shè)上述數(shù)據(jù)矩陣在時(shí)間上是等距的，時(shí)間步長(zhǎng)為Δt。利用快照序列構(gòu)建2個(gè)時(shí)間相鄰數(shù)據(jù)矩陣：

利用連續(xù)快照之間的線性關(guān)系，通過(guò)矩陣A將式（1）中的2個(gè)快照矩陣相連接。矩陣A為高維系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣，包含大量動(dòng)態(tài)關(guān)系，反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特征。由于矩陣A的維數(shù)高，需要對(duì)其進(jìn)行降階處理。動(dòng)態(tài)模態(tài)分解提供了矩陣A的低階表示方法：

DMD通過(guò)對(duì)上述快照矩陣進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，提取主導(dǎo)特征值及主要模態(tài)。本征正交分解（proper orthogonal decomposition，POD）又稱主成分分析，將高維系統(tǒng)表示為少量POD模與其對(duì)應(yīng)系數(shù)的線性組合，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)高維系統(tǒng)降維。本文擬采用奇異值分解與POD相結(jié)合的方法，通過(guò)奇異值分解對(duì)高階算子進(jìn)行相似變換，此方法具有較好的數(shù)值穩(wěn)定性。

利用X的POD模，尋找秩為r的矩陣F，近似表示高維矩陣A：

其中，U為通過(guò)對(duì)X進(jìn)行奇異值分解所獲得的POD模，U*為酉矩陣，有

其中，Σ為對(duì)角矩陣，對(duì)角線元素為r個(gè)奇異值，對(duì)應(yīng)特征值σ1，σ1，…，σr，同時(shí)奇異值分解得到的酉矩陣U和V滿 足：

F的求解過(guò)程可看作將X和Y之間的Frobenius范數(shù)最小化，將式（3）和（4）代入，得到

求解式（6），得到

可用F近似表示A，記F的第i個(gè)特征值為μi，特征向量為ωi，則第i個(gè)DMD模態(tài)為

由以上定義可知，模態(tài)是所研究的系統(tǒng)中具有某種全局特征的結(jié)構(gòu)，本文研究的全局特征是SST的“頻率”，即SST的變化率。另外，若特征向量為實(shí)數(shù)，則對(duì)應(yīng)的特征向量隨特征值的正負(fù)變化分別呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)或衰退。

2.3 DMD結(jié)合QR分解算法確定典型觀測(cè)站位

DMD算法僅能解決理想情況下流場(chǎng)基本模態(tài)的獲得及預(yù)測(cè)問(wèn)題。在實(shí)際應(yīng)用中，由于數(shù)據(jù)維度高、樣本數(shù)量大、數(shù)據(jù)本身存在噪聲等，需根據(jù)具體應(yīng)用場(chǎng)景對(duì)DMD算法做相應(yīng)改進(jìn)。QR分解算法用以求解矩陣特征值，可提高求解速度。用QR分解算法選擇典型觀測(cè)站位的思路是，對(duì)于給定的典型觀測(cè)站位數(shù)k，通過(guò)尋找最佳置換矩陣最大化|detAk|（det為矩陣的行列式值，Ak為QR分解算法中的上三角矩陣），尋找穩(wěn)定、準(zhǔn)確的典型觀測(cè)站位［21］。考慮海洋學(xué)的研究特性，本文擬結(jié)合QR分解算法計(jì)算最佳模態(tài)數(shù)和典型觀測(cè)站位數(shù)，利用典型觀測(cè)站位還原海溫?cái)?shù)據(jù)。

2.4 數(shù)據(jù)處理流程

數(shù)據(jù)處理流程如下：

（1）下載原始數(shù)據(jù)，構(gòu)造矩陣。用制作好的掩膜，剔除每個(gè)時(shí)間幀原始數(shù)據(jù)中的陸地和島嶼，只保留海洋部分的數(shù)據(jù)，計(jì)算平均值，用平均值替代其中的NaN（not a number），最后展開為列向量，有效數(shù)據(jù)共n個(gè)。對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪處理，同時(shí)以p次間隔（p=204，時(shí)間間隔設(shè)為一個(gè)月）的觀測(cè)數(shù)據(jù)構(gòu)建矩陣Xp×n，時(shí)間設(shè)定為起始時(shí)間t1到結(jié)束時(shí)間tq，且滿足tq=tq-1+Δt。

（2）抽取前80%的連續(xù)數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)量為m（m=163，時(shí)間間隔為一個(gè)月），其余的20%作為預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)量為q（q=41，時(shí)間間隔為一個(gè)月）。

（3）由上述訓(xùn)練數(shù)據(jù)矩陣Xm×n構(gòu)造子矩陣。令子矩陣的時(shí)間間隔為Δt，得到Xm-11，Xm2：

（4）求特征值和特征向量。經(jīng)步驟（3）后得到2個(gè)子矩陣，對(duì)X1m-1進(jìn)行奇異值分解，Σ、U、V*分別為奇異值、左奇異向量、右奇異向量，同時(shí)結(jié)合矩陣計(jì)算低階矩陣F的特征值及其特征向量。

（5）將得到的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量組成矩陣，根據(jù)QR分解算法，確定最佳模態(tài)數(shù)和最佳典型觀測(cè)站位數(shù)，并將其代入FDMD中，重構(gòu)歷史數(shù)據(jù)。

3 結(jié)果與討論

3.1 長(zhǎng)江口長(zhǎng)時(shí)序SST的DMD模態(tài)分解

利 用2003—2019年 的MODIS L3級(jí) 月 平 均SST產(chǎn)品，由DMD得到SST的主要時(shí)空演變模態(tài)，用這一典型非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象說(shuō)明DMD在海洋系統(tǒng)中的應(yīng)用過(guò)程。訓(xùn)練數(shù)據(jù)的時(shí)間段為2003年1月至2016年7月，預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的時(shí)間段為2016年8月至2019年12月。

將DMD結(jié)合QR分解算法尋找典型觀測(cè)站位的方法（以下簡(jiǎn)稱典型觀測(cè)站位還原法）應(yīng)用于上述訓(xùn)練數(shù)據(jù)，得到的重構(gòu)誤差與典型觀測(cè)站位數(shù)的關(guān)系如圖2所示。

圖2 典型觀測(cè)站位效果對(duì)比Fig.2 Comparison of effect of typical observation stations

其中，重構(gòu)誤差用均方根誤差（root mean square error，RMSE）表征，p表示典型觀測(cè)站位數(shù)，r表示DMD模態(tài)數(shù)。由圖2可知，均方根誤差隨DMD模態(tài)數(shù)的增加而降低，且若DMD模態(tài)數(shù)不變，通過(guò)增加典型觀測(cè)站位數(shù)能有效降低重構(gòu)誤差。DMD算法得到的主要模態(tài)如圖3所示（因篇幅所限，此處只給出前4個(gè)模態(tài)）。

圖3 用DMD算法分解長(zhǎng)江口海域SST數(shù)據(jù)得到的前4個(gè)主要模態(tài)Fig.3 The first four main modes decomposed by DMD algorithm of SST data in the Yangtze River Estuary

由圖3可知，模態(tài)1在整個(gè)海域表現(xiàn)為負(fù)相關(guān)，從空間分布看，蘇北沿岸、長(zhǎng)江口及杭州灣和浙閩沿岸區(qū)域是SST變化率絕對(duì)值較大的區(qū)域，變小很快，且隨著長(zhǎng)江沖淡水的外推呈舌狀遞增狀態(tài)，而SST變化率絕對(duì)值較小值出現(xiàn)在沖繩島西北海域的大洋區(qū)域，變小很慢。推測(cè)出現(xiàn)這種分布的原因可能由近岸區(qū)域受陸地徑流輸入的淡水與海水混合所致，而低值區(qū)受黑潮和臺(tái)灣暖流影響，海水性質(zhì)比較均一。季節(jié)特征表現(xiàn)為由秋入冬。

模態(tài)2中SST變化率與近岸區(qū)域及南側(cè)海域呈正相關(guān)、與中北側(cè)海域呈負(fù)相關(guān)，表明2個(gè)區(qū)域呈現(xiàn)相反的變化趨勢(shì)。這可能反映地形對(duì)SST的影響，蘇北沿岸、長(zhǎng)江口及杭州灣、浙閩沿岸區(qū)域水淺、比熱容小，易受大陸氣溫和沿岸流的影響，SST變化率最大值高于0.02℃，呈現(xiàn)SST變大、變快的特征；南側(cè)海域受黑潮和臺(tái)灣暖流的影響，表層SST變化不大；中北側(cè)由于遠(yuǎn)離陸地，受環(huán)流影響小，SST變化率呈負(fù)值。季節(jié)特征表現(xiàn)為由春入夏。

模態(tài)3中SST變化率呈正、負(fù)2種分布情況，蘇北沿岸、長(zhǎng)江口及杭州灣、浙閩沿岸區(qū)域及北側(cè)海域?yàn)檎祬^(qū)域，南側(cè)海域?yàn)樨?fù)值區(qū)域。這與第1模態(tài)所反映的受沖淡水、環(huán)流的影響相同。但季節(jié)特征表現(xiàn)為由春入夏。

模態(tài)4則表現(xiàn)為近岸部分和150 m等深線以外的大洋區(qū)域?yàn)镾ST變化率正值區(qū)，大致為被30 m和150 m等深線所夾區(qū)域?yàn)镾ST變化率負(fù)值區(qū)。這與第2模態(tài)反映的地形影響一致。但季節(jié)特征表現(xiàn)為由秋入冬。

3.2 DMD結(jié)合QR分解算法獲取典型觀測(cè)站位

上述結(jié)果表明，當(dāng)DMD模態(tài)為25、典型觀測(cè)站位為25時(shí)，重構(gòu)誤差已經(jīng)相當(dāng)小。因此，考慮運(yùn)行速度和重構(gòu)精度，本文選取25個(gè)DMD模態(tài)、25個(gè)典型觀測(cè)站位對(duì)長(zhǎng)江口海域的海表溫度進(jìn)行稀疏還原，結(jié)果如圖4所示。

圖4 2016年8月長(zhǎng)江口海域SST數(shù)據(jù)稀疏還原結(jié)果Fig.4 The results of sparse restoration of SST data in Yangtze River Estuary in August 2016

由圖4可知，相比單純采用DMD算法，DMD結(jié)合QR分解算法的還原結(jié)果能很好地代表整個(gè)海域，海溫分布與真值更接近。因此，若不考慮成本和運(yùn)行速度，單一追求重構(gòu)精度，用DMD算法能得到更高精度的還原結(jié)果。若綜合考慮成本、運(yùn)行速度、重構(gòu)精度，則DMD結(jié)合QR分解算法的重構(gòu)表現(xiàn)更佳。

3.3 精度分析

選取2016年8月相同區(qū)域的原始數(shù)據(jù)與重構(gòu)數(shù)據(jù)的像元值進(jìn)行精度評(píng)價(jià)，評(píng)價(jià)結(jié)果如圖5所示。從圖5（a）和（b）的對(duì)比中可知，2種方法的原始值與重構(gòu)值集中分布在直線y=x附近，精度指標(biāo)均較理想。其中，DMD結(jié)合QR分解算法的RMSE為0.005 0。據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，測(cè)試數(shù)據(jù)集的歷史數(shù)據(jù)與DMD結(jié)合QR分解算法重構(gòu)數(shù)據(jù)之間的RMSE在0.005 0～0.011 2，平均值為0.007 6。因此，雖然在精度上DMD算法的最佳還原結(jié)果比DMD結(jié)合QR分解算法的還原結(jié)果表現(xiàn)更佳，但考慮運(yùn)行速度和成本，仍可認(rèn)為DMD結(jié)合QR分解算法的結(jié)果較好。

另外，由圖5可知，無(wú)論是DMD算法還是DMD結(jié)合QR分解算法重構(gòu)得到的結(jié)果均具有相當(dāng)高的精度。為進(jìn)一步分析重構(gòu)效果，隨機(jī)選取2個(gè)典型觀測(cè)站位，對(duì)其原始值、DMD最佳還原值、典型觀測(cè)站位還原值做對(duì)比分析。

由圖6可知，DMD最佳還原值和典型觀測(cè)站位還原值與原始值耦合良好，說(shuō)明DMD算法和DMD結(jié)合QR分解算法均較合理可靠。因此，可以認(rèn)為選取的25個(gè)典型觀測(cè)站位能較好地代表整個(gè)研究海域海洋表面溫度的分布特征。這與圖5的DMD算法和DMD結(jié)合QR分解算法的結(jié)果高度吻合。

為更好地評(píng)價(jià)2種方法的重構(gòu)效果，選擇預(yù)測(cè)數(shù) 據(jù) 集 中 的2017年4月、2017年7月、2017年10月及2018年1月（分別代表春、夏、秋、冬4個(gè)季節(jié)）進(jìn)行重構(gòu)，得到的結(jié)果如圖7所示。

由圖7可知，從空間分布上看，2種方法的重構(gòu)結(jié)果均與原始值的趨勢(shì)保持一致，誤差較小，這與圖5和圖6得到的結(jié)論一致。

圖5 2016年8月的SST重構(gòu)精度Fig.5 The accuracy of SST reconstruction in August 2016

圖6 某2個(gè)典型觀測(cè)站位重構(gòu)前后對(duì)比Fig.6 Comparison of reconstruction of two typical observation stations

圖7 長(zhǎng)江口海域典型年份四季SST數(shù)據(jù)稀疏還原結(jié)果Fig.7 Sparse restoration results of SST data in four seasons of a particular year in the Yangtze River Estuary

4 結(jié)論

基于DMD算法的基本理論，將QR分解算法應(yīng)用于海洋學(xué)觀測(cè)，分析了長(zhǎng)江口海域的海溫?cái)?shù)據(jù)。結(jié)果表明，DMD結(jié)合QR分解算法對(duì)長(zhǎng)江口海溫?cái)?shù)據(jù)進(jìn)行稀疏還原，能有效去除噪聲，填補(bǔ)缺失數(shù)據(jù)。增加DMD模態(tài)數(shù)能有效降低重構(gòu)誤差，當(dāng)模態(tài)數(shù)一定時(shí)，可通過(guò)增加典型觀測(cè)站位數(shù)降低重構(gòu)誤差。當(dāng)采用25個(gè)模態(tài)、25個(gè)典型觀測(cè)站位時(shí)，重構(gòu)數(shù)據(jù)的RMSE為0.005 0。

DMD算法分解得到的前4個(gè)模態(tài)中，模態(tài)1和模態(tài)3可能反映了長(zhǎng)江沖淡水及環(huán)流的影響，模態(tài)1的季節(jié)特征為由秋入冬，模態(tài)3則為由春入夏；模態(tài)2和模態(tài)4可能代表海底地形的影響，模態(tài)2季節(jié)特征為由春入夏，模態(tài)4則為由秋入冬。

在數(shù)據(jù)充足的情況下，DMD算法能很好地解決動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的采樣問(wèn)題，對(duì)時(shí)序數(shù)據(jù)的重構(gòu)和分析具有應(yīng)用價(jià)值。單純采用DMD算法重構(gòu)，精度相對(duì)較高，但采用DMD結(jié)合QR分解算法重構(gòu)效率較高，并且可在稀疏站位條件下重構(gòu)海洋溫度場(chǎng)，這對(duì)海洋學(xué)調(diào)查尤為重要。