具正負系數和多變時滯的高階非線性中立型差分方程非振動解的存在性

張萍，覃桂茳，楊甲山*

（1.邵陽學院 理學院,湖南 邵陽 422004；2.梧州學院 大數據與軟件工程學院,廣西 梧州 543002）

0 引言

近年來，隨著社會的進步和科學技術的迅猛發展，在數學物理、生物醫藥、機械工程、自動控制、航天工程及金融等領域提出了大量由差分方程描述的數學模型。因此，學者們對差分方程定性理論（如振動性，非振動解的存在性等）的研究［1-21］興趣與日俱增，但大多工作集中在方程解的振動性研究［1-5］，對方程非振動解的存在性研究較少。本文考慮以下具有正負系數和多變時滯的高階非線性中立型差分方程：

其 中，n≥n0；n0≥0，m≥1，l≥1為 給 定 的 整 數，d≥2為 偶 數；Δ為 向 前 差 分：Δx(n)=x(n+1)-x(n)，Δk x(n)=Δ[Δk-1x(n)]。考慮以下條件：

（H1）時滯τ(n)，σi(n)，λj(n)∈N且均為有界序列（i=1，2，…，m；j=1，2，…，l。下同，略）。

（H2）A(n)，P(n)，Qi(n)，qj(n)均為實數序列，且A(n)≠0，Qi(n)≥0，qj(n)≥0。

（H3）fi(u)，gj(u)∈C(R，R)，且當u≠0時ufi(u)＞0，ugj(u)＞0。

（H4）函數fi，gj滿足fi(0)=0，gj(0)=0及 局部利普希茨（Lipschitz）條件，即存在常數α＞0和Lfi＞0，Lgj＞0，使得對?0≤x≤α，0≤y≤α，有

（H5）存在正整數n1≥n0，使得

式（1）包含了許多典型的差分方程，如

對于這些典型方程非振動解的存在性，已有一些研究成果。文獻［6］研究了具正負系數的常時滯二階差分方程（E1）非振動解的存在性，在p≥0時，對任意n≥n1及任意常數α＞0，均在條件

下得到該方程“一定存在有界的最終正解”的結論；文獻［7］研究了具正負系數的常時滯高階差分方程（E2）非振動解的存在性，但也要求條件（C1）成立；文獻［8］雖然改進了文獻［7］的條件，未要求條件（C1）成立，但要求中立項系數恒為常數，即P(n)≡p0。

對中立項系數不是常數且方程為多變時滯的情形，文獻［9-10］研究了具正負系數的一類二階差分方程（E3）非振動解的存在性，遺憾的是，其要求“σi≥λj≡λ且至少有一個i使得σi＞λ，且 最 終 不 恒為0”，而且沒有給出當中立項系數P(n)≤-1時方程（E3）存在有界最終正解的條件；文獻［11-12］進一步研究了具正負系數的高階差分方程（E4）及（E5）的非振動解的存在性，放棄了較為苛刻的條件（C1），得到式（E4）及式（E5）存在有界最終正解的條件，遺憾的是條件

也較強，且式（E4）是單時滯的，而式（E5）又是常時滯的。

綜上可知，已有文獻對具有正負系數的差分方程正解的存在性研究成果是不完善的。

本文利用Banach空間的不動點原理并結合分析技巧，得到了具正負系數和多變時滯的高階差分方程（式（1））存在有界最終正解的條件，放棄了以上文獻普遍用到的較為苛刻的條件（如條件（C1）或（C2）和（C3）），旨在彌補上述研究的不足，使這些研究結果成為了本文的特例。

1 主要結果及證明

定理1若條件（H1）～（H5）滿足，且下列條件之一成立：

（A1）存在正常數p，使得0≤P(n)≤p＜1；

（A2）存在常數p0，使得|P(n)|≤p0≤1/3；

（A3）存在負常數p，使得-1＜p≤P(n)＜0；

（A4）存 在 負 常 數p1，p2，使 得-∞＜p1≤P(n)≤p2＜-1；

（A5）存在正常數p1，p2，使得1＜p1≤P(n)≤p2＜+∞；

則式（1）一定存在一個有界的最終正解。

證明為方便，記由于τ(n)，σi(n)，λj(n)均為有界序列，故記

情形A1由式（2）和式（3），可選取充分大的正整 數N1，N1≥max{n1，μ}，使 得 當n≥N1時 條 件（A1）成立，并且以下兩式也同時成立：

由此可得

設集合B由所有有界實數序列x=構成，即

B={x=x(n)|x(n)是有界實數，n≥N1-μ}，并在B上定義范數：

顯 然B為Banach空 間。再 記 集 合B1=顯然，B1是B的有界閉凸子集。在B1上定義映照T1：B1→B：

易知T1為連續映照。現任取x∈B1，利用條件（H4）及式（4），由式（7）可推得

利用條件（H4）及式（5），由式（7）同樣可推得

另任取x(1)，x(2)∈B1，由式（7）并分別利用條件（H4）及式（6），可推得

即

于是由0＜p＜1可知，T1為 壓 縮映照。因 此T1一定有唯一的不動點x∈B1，使得T1x=x。再由B1的定義及式（7），知此不動點是有界的，并且最終滿足

移項，然后求一次差分，可得

式（8）兩邊同乘A(n)后再求一次差分，并由式（9）可得

一般地，有

這 里N(0)=1，k=2，3，…，d-1。注 意 到d是 偶數，所以有

對上式再求一次差分，得

即

說明該不動點{x(n)}是式（1）的一個有界的最終正解。

情形A2存在常數p0，使得|P(n)|≤p0≤1/3。由式（2）和式（3），可選取充分大的正整數N2，N2≥max{n1，μ}，使得下列兩式同時成立：

于是有

令B={x=x(n)|x(n)是有界的實數，n≥N2-μ}，

定義映照T2：B2→B：

類似于情形A1，分別有

其余證明類似于情形A1，所以在情形A2下，式（1）也有一個有界的最終正解。

情 形A3存在 負 常數p，使 得-1＜p≤P(n)＜0。由式（2）和式（3），可選取充分大的正整數N3，N3＞max{n1，μ}，使得下列兩式同時成立：

于是有

令B={x=x(n)|x(n)是有界的實數，n≥N3-μ}，

定義映照T3：B3→B：

其余證明完全類似于情形A1，此證略。

情形A4存在負常數p1，p2，使得-∞＜p1≤P(n)≤p2＜-1。由式（2）和式（3），選取充分大的正 整 數N4，N4＞max{n1，μ}，使 得 下 列 兩 式 同 時成立：

于是有

令B={x=x(n)|x(n)是有界的實數，n≥N4-μ}，

定義映照T4：B4→B：

其余證明完全類似于情形A1，此證略。

情 形A5存 在 正 常 數p1，p2，，使 得1＜p1≤P(n)≤p2＜+∞。由式（2）和式（3），可選取充分大的正整數N5，N5＞max{n1，μ}，使得下列兩式同時成立：

于是有

令B={x=x(n)|x(n)是有界的實數，n≥N5-μ}，

定義映照T5：B5→B：

其余證明完全類似于情形A1，此證略。

定理1證畢。

注1當d≥2且為奇數時，用完全類似的方法可以證明定理1的結論也成立。如對情形A1，只需將映照T1：B1→B修改為

其余部分證明完全相同。

注2對 二 階 方 程，若 式（1）中，d=2，A(n)≡1，P(n)≡p0，m=1，l=1，f(x)=x，g(x)=x，并且τ(n)≡τ0，σ(n)≡σ0，λ(n)≡λ0，則由定理1的情形A1、情形A5，便可得到文獻［6］中的所有定理，但本文放棄了文獻［6］中對任意n≥n1均有αQ（n）-R（n）≥0的條件，而且還給出了其他情形的結果。此外，文獻［9-10］的結果顯然也是本文的特例，但本文的條件更為寬松，并且給出了P(n)≤-1的結果。

注3對高階方程，若式（1）中，A(n)≡1，m=1，l=1，f(x)=x，g(x)=x，并且τ(n)≡τ0，σ(n)≡σ0，λ(n)≡λ0，則由定理1便可得到文獻［7］中的所有結果，但本文放棄了文獻［7］中對任意n≥n1均 有αQ（n）-R（n）≥0的 條 件。進 一 步，若P(n)≡p0，則由定理1便可得到文獻［8］的定理6～定理9，但本文增加了中立項系數P(n)在0附近振蕩的情形，即|P(n)|≤1/3時的結果。此外，文獻［11-12］的結果顯然也是本文的特例，但本文定理中的條件較文獻［11-12］的條件（C2）和（C3）更寬松。因此，本文定理推廣并改進了已有文獻的相關結論。

注4當中立項系數P(n)在±1附近振蕩時，情況較為復雜，此時式（1）是否存在有界的最終正解，有待進一步研究。