涉及擬反向強(qiáng)單調(diào)算子零點(diǎn)的一個弱收斂結(jié)果及其應(yīng)用

楊延濤，陳晶晶，周海云

（1.延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000；2.河北師范大學(xué)數(shù)信學(xué)院，河北 石家莊 050024）

0 引言

設(shè)H為 實(shí) 的Hilbert空 間，·，·和‖·‖分別表示H中的內(nèi)積和范數(shù)，A：H→H為算子。

零點(diǎn)問題（zero point，ZP）是非線性算子理論的重要研究方向之一，即尋求一點(diǎn)x*∈H，滿足

各類算子的零點(diǎn)問題在諸如控制論、最優(yōu)化理論、信號處理、圖像恢復(fù)、機(jī)器學(xué)習(xí)和交通運(yùn)輸?shù)阮I(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用，是求解許多應(yīng)用科學(xué)實(shí)際問題的有力工具［1-8］。

求解零點(diǎn)問題的經(jīng)典方法是最速下降法（steepest descent method，SDM）：

其中，{tn}?(0，1)是滿足某種條件的數(shù)列。

如果算子A：H→H是L-Lipschitz連續(xù)且強(qiáng)單調(diào)的，{tn}滿足：

則由SDM產(chǎn)生的序列{xn}依范數(shù)收斂于A的唯一零點(diǎn)［9］。那么當(dāng)A是L-Lipschitz連續(xù)的擬反向強(qiáng)單調(diào)算子時，由SDM產(chǎn)生的序列{xn}是否收斂于A的某個零點(diǎn)？

為此，本文采用新的分析技巧，首先證明弱收斂定理，然后運(yùn)用所建立的弱收斂定理求解一類分裂公共不動點(diǎn)問題（SCFPP）。所得結(jié)果改進(jìn)了文獻(xiàn)［10-11］的相關(guān)結(jié)果。

1 預(yù)備知識

設(shè)H為 實(shí)Hilbert空 間，A：H→H為 算 子。N(A)：={x∈H：Ax=0}表示A的核。

定義1如果存在ν＞0和N(A)≠?，滿足

則稱A：H→H為擬ν-反向強(qiáng)單調(diào)的。

定義2如果存在L≥1，使得

則稱A：H→H為L-Lipschitz連續(xù)的。

定 義3如 果 對 任 意 的{xn}?H，xn?x和Axn→0(n→∞)，有x∈N(A)，則稱A：H→H在原點(diǎn)為次閉的。

定義4如果對任意的x*∈C，恒有

則稱序列{xn}?H關(guān)于C?H為Fejér單調(diào)的。

定義5設(shè)C為H中的非空閉凸子集，x∈C，定義 算 子PC：H→C為PC x=x0，其 中x0∈C滿 足稱PC為從H到C上的距離投影算子。

引理1［9］設(shè)H為實(shí)Hilbert空間，則

引理2設(shè)算子A：H→H為擬ν-反向強(qiáng)單調(diào)的，則N(A)≠?閉凸。

證明首先，由定義1知，N(A)≠?。

然后，證明N(A)是閉的。

任取{xn}?N(A)，xn→x(n→∞)，則

由定義1知，

因xn→x(n→∞)，故

從而Ax=0，即x∈N(A)，因此，N(A)是閉的。

最后，證明N(A)是凸的。

任取xi∈N(A)(i=1，2)，t∈(0，1)，記

由定義1知，

用(1-t)與t分別乘以式（6）和（7）兩側(cè)，然后兩式相加，可得

故

即xt∈N(A)，因此N()A是凸的。

引理3［9］設(shè){an}和{bn}為2個正實(shí)數(shù)列，滿足an+1≤an+bn，n≥1，如 果存在。

引 理4［9］設(shè)C為H中 的 非 空 閉 凸 子 集，{xn}?H關(guān) 于C為Fejér單 調(diào) 序 列。如 果ω(xn)?C，則xn?x(n→∞)，且其中存在{xnj}?{xn}，使得xnj?x}，稱為{xn}的w-極限集。

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)H為實(shí)Hilbert空間，算子A：H→H為L-Lipschitz連續(xù)擬ν-反向強(qiáng)單調(diào)的。假設(shè)A在原點(diǎn)是次閉的，如果{tn}滿足條件(C1)和（C2），則由SDM產(chǎn)生的序列{xn}弱收斂于

證明由引理2知，N(A)≠?閉凸；由定義5知，PN()A唯一確定。對任意的x∈N(A)，由引理1、SDM及定義1，有

其中，對充分大的n，tn＜ν。可得

因此，{xn}關(guān)于N(A)是Fejér單調(diào)的，且對充分大的n0，有

由條件(C2)知，

為 保 證Axn→0(n→∞)，只 需 證存在即可。

事實(shí)上，由于算子A是L-Lipschitz連續(xù)的，由SDM，可得

由條件(C1)知，對n≥1，可得

由式（8）和式（9），對n≥n1，有

由 于3L故由引理3知，存在，所以

由于算子A在原點(diǎn)是次閉的，故

再由引理4，可知

3 應(yīng)用

將定理1應(yīng)用于求解一類分裂公共不動點(diǎn)問題。設(shè)H1和H2為2個實(shí)Hilbert空間，S：H1→H1和T：H2→H2為2個 映 像，分 別 滿 足Fix(S)≠?和Fix(T)≠?，A：H1→H2為有界線性算子。尋找一點(diǎn)p∈Fix(S)，滿足

用Ω表示式（10）的解集，即

定 義6設(shè)H為 實(shí)Hilbert空 間，如 果Fix(T)≠?且存在k＜1，使得

稱T：H→H為k-半壓縮映像。

注1當(dāng)k=-1時，稱T為定向的或擬firmly-非擴(kuò)張的；當(dāng)k=0時，稱T為擬非擴(kuò)張的；當(dāng)k=1時，稱T為擬偽壓縮的。因此，k-半壓縮映像是一類十分豐富的映像，具有重要的學(xué)術(shù)價(jià)值與廣泛的應(yīng)用前景。

定理2設(shè)S：H1→H1為k1-半 壓 縮 映 像，T：H2→H2為k2-半 壓 縮 映 像，S和T均L-Lipschitz連續(xù)。I-S和I-T均在原點(diǎn)次閉。假設(shè){tn}滿足條件(C1)和(C2)，定義序列{xn}：

如果Ω≠?，則由式（12）產(chǎn)生的序列{xn}弱收斂于x*∈Ω，且

證明定義算子B：H1→H1為

則式（12）可轉(zhuǎn)化為

要證明定理2成立，只需證明算子B滿足定理1中的全部條件。

首先，證明算子B是Lipschitz連續(xù)的擬ν-反向強(qiáng)單調(diào)的。

由于S和T均L-Lipschitz連續(xù)的，故對任意的x，y∈H1，有

其中，L1=(1+L)（1+‖A‖2）＞1，因此，算子B是L1-Lipschitz連續(xù)的。

下面證明Ω=N(B)。

一方面，對任意的p∈Ω，有p=Sp，Ap=TAp，從而

因此

反 之，對 任 意 的p∈N(B)，有Bp=0。因 為Ω≠?，故取x*∈Ω，由式（11）和引理1，得

從而p∈Ω，即N(B)?Ω，因此N(B)=Ω≠?。

然后，證明算子B是擬ν-反向強(qiáng)單調(diào)的。

對于任意p∈N(B)=Ω和x∈H1，由 引理2和式（11），得

因此，算子B：H1→H1是擬ν-反向強(qiáng)單調(diào)的。

最后，證明算子B：H1→H1在原點(diǎn)是次閉的。

對 任 意 的{xn}?H1，有xn?x(n→∞)，Bxn→0(n→∞)。由式（14）知，

由于I-S和I-T在原點(diǎn)是次閉的，故

從而Bx=0。

至此，滿足定理1的全部條件。

由定理1知，{xn}弱收斂于x*∈N(B)=Ω，且

證畢！

注2一方面，將步長序列減弱為tn→0(n→∞)；另一方面，將映像推廣為k-半壓縮映像，其中k＜1，而在文獻(xiàn)［11］中，k∈[0，1)。如果取k=-1，便可推得文獻(xiàn)［10］的主要結(jié)論。