隨機環境中受傳染性疾病影響的分枝過程的極限性質

任敏

（宿州學院 數學與統計學院，安徽 宿州 234000）

0 引言

隨機環境中的分枝過程（branching process，BPRE）最早由WILKINSON［1］于1967年提出，隨后諸多學者對其進行了研究，并取得了豐碩成果。SMITH［2］給出了隨機環境中的分枝過程幾乎必然滅絕的條件，SMITH等［3-4］研究了隨機環境和馬氏環境中的分枝過程，李應求等［5］研究了隨機環境中受控分枝過程的極限性質，任敏等［6］研究了隨機環境中具有遷移的分枝過程的極限性質，譚珂等［7］、王玉萍等［8］研究了隨機環境中受控分枝過程的極限性質和收斂速度等。關于隨機環境中的分枝過程已有諸多研究成果，而關于隨機環境中受傳染性疾病影響的分枝過程研究較少，本文主要研究隨機環境中受傳染性疾病影響的分枝過程經適當規范化后{Wn，n∈N}和{，n∈N}幾乎處處收斂和L1收斂的充分條件，{Wn，n∈N}L2收斂的充分條件，以及{Wn，n∈N}極限非退化到0的充分條件和必要條件等。

設(Ω，F，P)為一概率空間，(Θ，Σ)為可測空間，N為非負數集，N+為正整數集，ξ={ξn，n∈N}為(Ω，F，P)上 取 值 于(Θ，Σ)的 隨 機 變 量 序 列。{Pi(θ)；θ∈Θ，i∈N}和 {(θ)[1-αi，j(θ)]1-x；θ∈Θ，x=0或1，i，j∈N}為2個 概 率 分 布 列，記Pξ(?)=P(?|ξ)，Eξ(?)=E(?|ξ)。

定義1若{Zn，n≥0}滿足條件：

（iv）給 定ξ，{Xn，j，n∈N，j∈N+}為 獨 立 同 分布隨機變量序列，{In，j，n∈N，j∈N+}為獨立隨機變量序 列，{Xn，j，n∈N，j∈N+}和{In，j，n∈N，j∈N+}條件獨立。

則稱{Zn，n≥0}為獨立隨機環境ξ中受傳染性疾病影響的分枝過程。其中，Zn表示第n代粒子總和，Xn，j表 示第n代第j個粒 子產生 的后代數；當第n代第j個粒子感染傳染病毒未治愈時，In，j=0，當第n代第j個粒子未感染傳染病毒或感染病毒已治愈時，In，j=1。

為方便討論，引入記號：

并 約 定0＜P0(ξn)+P1(ξn)＜1，0＜αn，j(ξn)＜1，i∈N，j∈N+，a.s.。

1 馬氏性

引理1{Zn，n≥0}為隨機環境ξ中的馬氏鏈，其一步轉移概率為

證 明由 于Z0=N0，易 知P{Z0=N0|ξ}=P{Z0=N0|ξ0}。

下證對任意的i1，i2，…，in-1，i，j∈N+，有

由{Zn，n≥0}的定義可得

引理1得證。

引理2對任意的n∈N，存在：

（i）E(Zn+1|Fn)=Znm(ξn)g(ξn，Zn)，a.s.，特別地，有

證明（i）由引理1，可得

進而可得

（ii）由引理1，可得

從而可得

由于無法精確計算{Zn，n∈N}的條件均值，因此在取規范化因子時，考慮序列{Sn，n∈N}和{Un，n∈N}，其中，

在適當條件下，利用{Sn，n∈N}和{Un，n∈N}規范化{Zn，n∈N}，得 到 規 范 化 過 程{，n∈N}和{，n∈N}，其中=Zn/Sn，=Zn/Un。

2 {n∈N}的極限性質

首先，給出{，n∈N}a.s.的收斂性。

定理1存在非負有限隨機變量，使得

證明由引理2，可得

則{，Fn，n∈N}為非負上鞅。由上鞅收斂定理，可知存在非負有限隨機變量，有

對式（1）兩邊關于Pξ(?)求期望，可得

由Fatou引理可得

定理1得證。

其次，給出在一定條件下，{Wn，n∈N}L1收斂到幾乎處處收斂的極限，即此時兩種收斂是等價的，而通常兩種收斂無必然關系。

定理2若則{W2n，n∈N}L2有界，且{Wn，n∈N}L1收斂于W。

證明由引理2可得

對式（2）兩邊關于Pξ(?)取期望，可得

對式（3）兩邊取期望，可得

由 題 設 條 件 可 知，{W2n，n∈N}L2有 界，可 得{Wn，n∈N}一致可積。結合定理1，有Wn依概率收斂于W，從而可得{Wn，n∈N}L1收斂于W。

最后，討論{Wn，n∈N}極限非退化的充分條件和必要條件。

引理3［10］設R+=(0，+∞)，給定ξ，若對任意給定的n∈N，有

（i）{λj(ξn)，j≥1}是非 減序列，則在R+上存在 一 個 非 減 函 數φξn(?)，使 得φξn(x)≥λ1(ξn)，x＞0；φξn(j)≤λj(ξn)，j∈N+，且函數φ*ξn(x)≡xφξn(x)，x＞0為凸函數。

（ii）{λj(ξn)，j≥1}是非增序列，則在R+上存在一 個 非 增 函 數ψξn(?)，使 得ψξn(x)≤λ1(ξn)，x＞0；ψξn(j)≥λj(ξn)，j∈N+，且 函 數ψ*ξn(x)≡xψξn(x)，x＞0為 凹 函 數。

定理3若對任意的n∈N，{g(ξn，k)}k≥1為非減序列，且有

則E{W}＞0，即P{W＞0}＞0。

證 明由 引 理2和 引 理3，結 合{g(ξn，k)}k≥1，?n∈N的非減性，可知在R+上存在非 減 函 數φξn(?)，n∈N和 凸 函 數(x)≡xφξn(x)，x＞0，n∈N，使得

因為對任意的n∈N，φξn(?)為非減函數，且φ*ξn(?)為凸函數，所以結合Jensen不等式，可得

對式（5）關于n遞推，可得

由題設條件和Fatou引理可得

于是可得P(W＞0)＞0。

證畢。

定理4若P{W＞0}＞0，則在{W＞0}上，有

證明對任意的n∈N，由引理2，可得

因此，有

由E(W0)=N0和式（6），可得

其中，令n→∞，有

于是有

對幾乎處處w∈{W＞0}，則有

定理5若

則{Wn，n∈N}L2收斂于W。

證 明因 為{Wn，Fn，n∈N}為 非 負 上 鞅，由Doob分解定理可知，對任意的n∈N，有

其中，{Yn，Fn，n∈N}為鞅，{Tn，n∈N}為增過程，且滿足

由于

由式（3），可得

對式（10）兩邊取期望，可得

由式（9）和式（11），可得

由題設條件，知{Tn，n∈N}L2有界。因為{Tn，n∈N}為非負增過程，從而可得{Tn，n∈N}L2收斂于某非負 隨 機 變 量T。又 因 為{Wn，n∈N}L2有 界，故{Yn，n∈N}L2有界，且{Yn，Fn，n∈N}為鞅，則由鞅收斂定理，知{Yn，n∈N}L2收斂于某隨機變量Y，從而可得{Wn，n∈N}L2收斂于隨機變量W。

3 {，n∈N}的極限性質

定理6若則存在期望有限的非負隨機變量，使得

證明由引理2，可知

則{，Fn，n≥0}為非負下鞅。由引理2，可得

對式（12）兩邊取期望，得

下面給出{，n∈N}L1收斂的充分條件。給定ξ，對任意的n∈N，記

定理7若

且{rk(ξn)，k≥1}為非 增序列，則{，n≥0}L1收斂于某非負有限隨機變量。

證明由引理3結合{rk(ξn)，k≥1}，對?n∈N的非增性，知在R+上存在非增函數ψξn(?)，n∈N和凹函數ψ*ξn(x)≡xψξn(x)，x＞0，n∈N，使得

因為ψξn(?)為非增序列，ψ*ξn(?)為凹函數，由Jensen不等式，可得

由引理2，可知

對式（13）兩邊取期望，可得

對式（14）兩邊求和，由題設條件，可得

所 以{，n≥0}為L1柯西序列，從而{，n≥0}L1收斂于某非負有限隨機變量。