高階對流Cahn-Hilliard型方程的二階線性化差分方法

李娟

（南京審計大學金審學院基礎部，江蘇 南京 210023）

0 引言

SEVINA等［1］在描述具有小斜面生長中的晶體表面時提出了一類高階對流Cahn-Hilliad型方程?？紤]高階對流Cahn-Hilliard型方程的周期初邊值問題：

其中，x、t分別為空間和時間，u為界面斜率，ε與原子通量的沉積強度成正比，整體對流項εuux來自于堆積原子的法向沖擊，uxxxxxx來自于曲率微分正則化，其他項表示表面擴散作用下表面能的各向異性。

高階對流Cahn-Hilliard型方程在材料模擬中具有重要作用。KORZEC等［2］研究了該方程的穩態解；KORZEC等［3］利用Galerkin方法研究了方程弱解的存在性。由于高階非線性發展方程較難求解析解，故研究數值算法具有一定意義。

因對高階對流Cahn-Hilliard方程的相關數值研究較少，故本文先探究六階非線性發展方程相場模型的數值方法。WISE等［4］和HU等［5］分別基于凸分解方法討論了晶體相場模型的時間方向一階、空間方向二階的穩定數值格式和二階非線性三層差分格式；GOMEZ等［6］和ZHANG等［7］分別討論了能量穩定的數值格式和二階差分格式；由于非線性格式迭代運算耗費時間較多，YANG等［8］、CAO等［9］和李娟［10］分別討論了晶體相場模型的線性化數值算法。高階對流Cahn-Hilliard型方程較之于晶體相場模型，前者具有非線性對流項和擴散項，且導數達到四階，這對模型數值算法的建立及理論分析均帶來了實際困難。為解決這些問題，需改寫方程中的非線性項。本文利用中心差商對其進行離散，一方面方便差分格式線性化，另一方面，在差分格式的理論分析中避免對非線性項差商的估計，這在一定程度上降低了分析難度。

為豐富高階非線性發展方程的數值算法，研究了高階對流Cahn-Hilliard型方程的線性化差分方法。首先，建立二階收斂的線性化差分格式；其次，利用能量分析方法和數學歸納法對差分格式進行理論分析，證明差分格式解的唯一性和L2范數下的收斂性。再次，利用數值算例驗證差分格式的有效性。最后，給出了小結和展望。

1 差分格式的建立

為建立二階線性化差分格式，引入以下記號：正整數M，N，時間區間[0，T]。記xi=ih，tk=kτ，Ωh={xi|0≤i≤M}，Ωτ={tk|0≤k≤N}，Uh={v|v={vi}，vi=vi+M}。對任意網格函數v∈Uh，記

對定義在Ωτ上的網格函數w=(w0，w1，w2，…，wN)，記

對式（1）和式（2）在周期[0，L]上建立差分格式。用網格函數Uki表示問題的精確解在點(xi，tk)處的值。由泰勒公式，有

其中，ut(xi，0)由式（1）和式（2）確定，并記

因uux=3u2)ux]xxx，故式（1）等價于

其中，f(u)=1-3u2。分別在點和(xi，tk)處對式（5）應用帶積分型余項的泰勒公式，可得

假設式（1）和式（2）的精確解適當光滑，則存在正常數c0，使得

在式（6）～式（8）中，用數值解代替精確解，并略去小量項，可得以下線性化隱式差分格式：

綜上，對式（1）和式（2）建立了線性化隱式差分格式，即式（10）～式（12）。第0層的數值解由初值條件式（12）給出；式（10）為關于第1層數值解u1的變 系 數 線 性 方 程 組；當uk-1，uk（k≥1）已 知 時，式（11）為關于第k+1層數值解uk+1的變系數非齊次線性方程組，利用線性方程組理論可求得該時間層的數值解。

2 差分格式的理論分析

利用能量分析法討論差分格式的唯一可解性和收斂性。為便于分析，定義內積和范數，并給出一些引理。

對任意的u，v∈Uh，定義

引理1［11］對任意的u，v∈Uh，存在

由引理1和內積定義，可知

從而有

引理2對任意的u，v∈Uh，有

引理3［4］設v，∈Uh，對任意的正數α＞0，有

記

定理1假設式（1）和式（2）的解適當光滑，則式（10）～式（12）是唯一可解的，且按L2-范數收斂于問題的精確解，收斂階為O(τ2+h2)。即存在正常數c，當時，有

證明數學歸納法。

第1步u1的唯一性。

由式（12）知，第0層的數值解u0已唯一確定，此時，式（10）為關于u1的線性方程組，欲證其唯一可解性，僅需證其對應的齊次線性方程組

僅有零解。

用u1與式（18）作內積，可得

由柯西不等式、引理1、引理2及式（19），知

在引理3中，取α=3，可得

從而有

將式（22）代入式（20），可得

第2步u1的收斂性。

由引理1、引理2及當α=3時的引理3，并將式（17）代入式（24），可得

從而有

當τ≤時，由 式（26）可得

假設對第0，1，2，…，l層數值解，定理結論均成立，則當時，有

從而有

第3步ul+1的唯一性。

當uk、uk-1已知時，式（11）為關于uk+1的線性方程組。欲證其唯一可解性，僅需證其對應的齊次線性方程組

僅有零解。

用uk+1與式（29）作內積，可得

由引理1、引理2及式（30），可得

由當α=3時的引理3及式（31），可得

從 而，當τ時，有||ul+1||2=0，即第l+1層數值解是唯一的。

第4步ul+1的收斂性。

用e-k與式（14）作內積，可得

由引理1和式（33），可得

先估計非線性項：

由引理2和柯西不等式，可得

由

及引理1和柯西不等式，可知

將式（36）、式（38）代入式（34），可得

在引理3中，取α=，有

將其代入式（39），整理后可得

記Ek=||ek||2+||ek+1||2，由式（40），有

由Gronwall不等式、式（9）、式（27）及式（42），可得

即

從而有

即對第l+1層數值解，定理成立。

證畢。

3 數值算例

式（10）～式（12）在時間和空間上均為二階收斂。每個時間層僅需解一個線性方程組。設{uki(h，τ)|1≤i≤M，0≤k≤N}為式（10）～式（12）的數值解，為驗證數值誤差和收斂精度，分別定義L2-范數和L∞-范數下的誤差：

對于充分小的空間步長h，定義時間收斂階：

對于充分小的時間步長τ，定義空間收斂階：

KORZEC等［3］分 別 研 究 了 參 數ε=0.01，0.5，0.7，1，2，3，5時式（1）和式（2）解的演化情況。對參數ε=0.5，初 值u0(x)=sin(2πx/64)，在 周 期 區 間［0，64］，時間區間［0，T］內，利用Matlab編程驗證數值解的收斂性。

首先，固定空間步長h，驗證時間收斂階。取空間網格點數M=2 000，時間網格點數N=20，40，80，160，分別計算時刻T=5的誤差H2（h，τ），H∞（h，τ）和時間收斂階order1，order2，數值結果見表1。其次，固定時間步長τ，驗證空間收斂階。取時間網格點數N=2 000，空間網格點數M=10，20，40，80，分別計算時刻T=5時的誤差H2（h，τ），H∞（h，τ）和空間收斂階order3，order4，數值結果見表2。由表1和表2可知，差分格式是二階收斂的，驗證了差分格式的有效性。

表1 當T=5，M=2 000，ε=0.5時，差分格式在L2-范數和L∞-范數下的誤差和時間收斂階Table 1 The errors and temporal convergence orders of the difference scheme in L2-norm and L∞-norm when T=5，M=2 000，ε=0.5

表2 當T=5，N=2 000，ε=0.5時，差分格式在L2-范數和L∞-范數下的誤差和空間收斂階Table 2 The errors and spatial convergence orders of the difference scheme in L2-norm and L∞-norm when T=5，N=2 000，ε=0.5

4 結論

研究了高階對流Cahn-Hilliard型方程的數值方法。建立了二階收斂的線性化差分格式，利用能量分析方法證明了差分格式的唯一可解性和L2范數下的收斂性，由數值算例可知，數值解在最大模意義下亦是二階收斂的。差分格式的研究方法可推廣至二維情形。對于高階對流Cahn-Hilliard型方程的差分格式算法僅研究至二階，為提高計算精度，后續將研究該問題的高階線性化數值格式。