具有非線性時間依賴持有及缺貨成本的變質品庫存控制研究*

□ 李書慧，羅治洪

(昆明理工大學 管理與經濟學院，云南 昆明 650000)

1 引言

變質型產品如蔬菜鮮果的腐爛和液體的揮發并不是勻速發生的，通常是隨著持有時間的增加而加快的。在存儲過程中，零售商為了防止蔬菜鮮果等產品的腐爛和液體的揮發會根據持有時間的增加而花費更多的成本以保持產品的新鮮程度。另外，對于變質型產品通常需要進行積壓以避免因變質產生更大的成本。當缺貨發生時，消費者被認為是沒有耐心的且下一次補貨的等待時間成為消費者是否接受積壓的決定性因素。

庫存控制中的時間依賴成本主要體現在持有成本的變動、缺貨時滯后供給成本、機會成本和采購價格的變動。時間依賴在庫存控制方面的研究主要集中在時變需求，具有時間依賴特征的成本和價格的變動。Kucuk[1]對土耳其不同規模的零售店進行調查后發現，缺貨成本是由消費者對于缺貨的反應所決定的，且消費者的反應主要是由于對品牌或商店忠誠度和缺貨等待時間所刺激的。Tsao和Sheen[2]開發了一個考慮批量大小、時間依賴的采購成本和信用期可變的變質物品庫存模型，其中單位采購成本是關于補貨周期的線性函數。Mishra等[3]考慮了一個需求、持有成本和變質率均為時間依賴的庫存模型，其中持有成本是關于存儲時間的線性增函數。Alfares[4]認為在庫存系統中，需長期儲存的物品通常需要更先進或昂貴的設施來維持，因此，提出了一個適用于不同存儲時間范圍的持有成本遞增階躍函數和采購成本是訂單批量的遞減階躍函數的庫存控制模型。

變質品庫存研究已經成為庫存控制中的熱門領域。目前，對于變質品的變質過程描述主要有以下三種。

①目前大部分研究認為庫存隨著時間以不同的方式衰減且單位時間的持有成本是固定的，累積持有成本是關于時間的線性增函數。

②不單獨體現變質品的變質率，而是將變質放在持有成本中一同考慮。Weiss[5]首次提出非線性持有成本庫存系統，其中非線性增加的持有成本是隨著物品老化而產生的銷售損失。Ferguson等[6]在Weiss的基礎上提出有兩種情形造成凸持有成本：a.非線性持有成本的增加是由于用變質或老化的產品來滿足需求可能需要進行降價或丟棄處理而造成銷售損失；b.變質性產品每天損壞的單個產品百分比隨著變質而增加，變質或老化也可看作是非線性持有成本。Sazvar等[7]考慮了一個具有可變提前期且非線性持有成本依賴于儲存時間、短缺完全延期的庫存模型，以確定最優價格及補貨周期。Edalatpour和Al-e-Hashem[8]建立了一個持有成本依賴儲存時間的變質性產品的互補和替代的定價庫存模型，試圖獲得最優價格和補貨周期。Pando等[9]假設持有成本是與儲存時間和庫存數量相關的非線性函數，目標是盈利能力比率最大化。

③同時考慮庫存隨著時間衰減和非線性持有成本函數。Giri等[10]提出了一個變質性物品庫存模型，其中變質率是恒定不變的，持有成本被視為與儲存時間和庫存數量相關的非線性函數。

在現有的延期交貨及其損失的庫存文獻中，缺貨成本可概括為三種類型[11]。第一種，每單位積壓需求的成本都是不變的(不受等待時間的影響)；第二種，每單位積壓需求的成本與等待時間呈正相關(不考慮缺貨的數量)；第三種，缺貨成本受缺貨數量和等待時間的共同影響，以恒定的比例增加。Montgomery和Johnson[12]是第一個提出部分延期交貨概念的，并且認為每單位缺貨的成本是固定的，總缺貨成本隨缺貨時間線性增加。Abad[13]考慮了具有部分延遲訂購的易腐品庫存模型，其中滯后供給率是以顧客沒有耐心的方法表示的，并且根據顧客對等待時間的敏感程度分別采用線性函數倒數和負指數函數。San Jose等[14]在Montgomery的基礎上，提出缺貨時需求是等待時間的負指數函數，其中缺貨成本包括一個固定成本和一個與缺貨時長成比例的成本。Sicilia等[15]考慮缺貨時需求率是關于等待時間的線性函數且缺貨成本是缺貨時間的二次函數。羅兵等[16]在特價商品的研究中提出，在缺貨時特價商品的價格和等待時間共同決定了滯后供給率。羅兵等[17]以連鎖商店為對象，研究顧客等待時需求轉移的情況，其中滯后供給率是關于等待時間的負指數函數，缺貨成本依賴等待時間的成比例增長。

本文與過去文獻的主要區別在于：①對變質品的研究中，絕大多數的學者采用庫存以一定的速率衰減，單位時間的持有成本是固定的。本文用非線性持有成本來考慮變質品的變質或揮發特征，累積持有成本呈指數函數增加。②對于將變質率放在持有成本中考慮的文章，極少有研究涉及滯后供給情況。Sazvar等[7]考慮了一個完全延期供給的庫存模型，本文在其基礎上建立了一個部分滯后供給的庫存模型。③本文與大部分固定的單位缺貨成本不同，采用依賴于等待時間的非線性缺貨成本。基于以上三點區別，建立一個具有時間依賴特征的非線性持有及缺貨成本的庫存控制模型。

2 具有時間依賴成本的庫存控制模型

當零售商銷售變質品時，通常會面臨變質品的變質率隨存儲時間呈指數型增長，且為了降低產品變質帶來的損失，一般會允許產品部分積壓的問題。為了解決變質所帶來的問題，需要對具有時間依賴特征的變質品進行庫存控制研究。本文以單位時間總利潤最大化為目標，通過構建庫存控制模型，得到庫存決策中有現貨時間、缺貨時間和回補訂購數量等最優解。

2.1 符號定義和假設條件

為了描述問題和建立模型，令市場需求率D是確定且已知的；Ps、Pb分別為每單位商品的銷售價格和采購價格(Ps>Pb)；單周期長度為T=t1+t2，其中t1、t2分別為有現貨時間和缺貨時間長度；最大庫存水平為S；最大滯后供給量為B；A為固定的訂貨成本/次；w、π分別為滯后供給成本和機會成本(w<π)；h為單位商品持有成本。為了簡化問題，假設瞬時補貨；提前期為零。

變質品因腐爛而質量下降，無形變質產品因放射、蒸發等問題需要更好的存儲設施，因此變質品的每單位時間持有成本不是固定的。參照文獻[7]，令單位商品t時間內的累積持有成本H(t)=htγ,其中γ為持有成本彈性(γ>1)。γ表示零售商為了維持產品的新鮮程度每單位時間所花費的保鮮費用。

2.2 庫存控制模型

圖1 單周期內商品庫存水平

商品在單周期內的庫存變化可用如下微分方程表示：

(1)

由邊界條件I(t1)=0，可得庫存水平為

(2)

(3)

商品單周期內的總利潤TR由總銷售收入SR、總回補成本AC、累計持有成本HC、滯后供給成本BC和機會成本LC構成，具體如下：

可得商品單周期內的單位時間總利潤ATR(t1,t2)：

ATR=(t1+t2)-1TR=(t1+t2)-1

(4)

在t1>0、t2≥0的條件下，庫存控制模型的優化目標是：

(5)

2.3 模型的最優解分析

ATR=(t1+t2)-1

(6)

對式(6)關于t1、t2求偏導數，并根據最優解存在條件令其為零。可得：

(7)

(8)

聯立式(7)和式(8)可得：

(9)

令上式右邊為f(t2),即

(10)

對f(t2)關于t2求導可得：

(11)

由式(9)可得t1關于t2的表達式，記為t1(t2)：

(12)

對t1(t2)關于t2求導可得：

(13)

令式(8)左邊為F(t2)，并將式(6)代入可得：

(14)

可根據F(t2)的性質分析該商品的庫存問題。

當t2趨于0時，得：

當t2趨于∞時，得：

3 數值分析

以下對持有成本彈性、等待時間敏感因子、等待時間的短缺滯后量供給敏感因子參數進行靈敏度分析，其它參數取值同上。

3.1 持有成本彈性對最優決策的影響

表1 持有成本彈性靈敏度分析

從表1可知，隨著γ的增大，最優缺貨時間隨之增加；最優有現貨時間、回補數量及單位時間總利潤隨之減少。γ是非線性持有成本彈性，當γ增加時，也可理解為該產品的變質或揮發速度加快，同時意味著為了維持每單位產品的新鮮程度，延遲其腐爛或揮發的速度需要增加更多的保鮮儲存成本。因此，在其他條件不變的情況下，特別是當滯后供給成本在一定范圍內時，傾向于保持較少的庫存水平，避免較高的持有成本。

3.2 等待時間敏感因子對最優決策的影響

表2 等待時間敏感因子靈敏度分析

從表2可知，隨著等待時間敏感因子k1的增加，最優有現貨時間、最優回補訂購量均隨之增加；最優缺貨時間和單位時間總利潤均隨之減少。這是因為等待時間敏感因子k1的增加意味著消費者對于等待的不耐煩程度越高，即對待等待時間更加敏感。當k1增加時，有更多的消費者放棄等待選擇購買替代品或轉向其它零售店。因此，在這種情況下，應增加回補訂購量以保證滿足更多的需求，減少缺貨需求。

3.3 等待時間的短缺滯后供給量敏感因子對最優決策的影響

表3 等待時間的短缺滯后供給量敏感因子靈敏度分析

從表3可知，隨著等待時間的短缺滯后供給量敏感因子k0的增加，最優有現貨時間減少；最優缺貨時間、最優回補訂購量和單位時間總利潤都隨之增加。k0的增加意味著消費者對于等待滯后供給的意愿提高，對等待時間并不十分敏感，因而消費者不會產生放棄購買、選擇其它零售商購買或者購買替代品的行為。所以，在等待時間的短缺滯后量供給敏感因子k0增加，其它條件不變的情況下，零售商可以選擇饑餓營銷的手段，縮短有現貨時間以減少持有成本，適當延長缺貨時間，以達到更高的利潤。

4 結論

本文使用非線性成本體現變質品的腐爛和非變質品的揮發，當進入缺貨期后，用顧客不耐煩函數表示滯后供給率體現等待時間對消費者等待意愿的影響，產生的缺貨成本包括滯后供給成本和機會成本。以單位時間總利潤最大化為目標，建立相應庫存模型。通過對模型的證明和數值仿真分析，得出以下主要結論：①隨著γ、k1、w和π的增加，最優單位時間總利潤逐漸下降；隨著k0的增加，最優單位時間總利潤逐漸上漲，其中對單位時間總利潤影響重要程度因子分別為：k0、γ、k1、π、w。因此，零售商應更加注重等待時間的短缺滯后供給量敏感因子和持有成本彈性對單位時間總利潤的影響，對于高度腐爛的商品應盡可能地縮短其持有時間，以避免過高的持有成本。②隨著γ、w、k1和π的增加，最優回補周期T*呈現下降趨勢，其含義是非線性持有成本、滯后供給成本、等待時間敏感因子和機會成本均對該產品的回補訂貨周期產生負影響。因此，零售商應通過縮短補貨周期，增加補貨頻率來滿足需求以減少過高的持有成本和缺貨成本。③當商品的售價、采購價、等待時間的短缺滯后量供給敏感因子、機會供給成、訂貨成本和持有成本彈性的比例失衡時，應不允許缺貨以達到最高的單位時間總利潤。

未來還可以進行后續的深入研究，如考慮短缺發生時滯后供給率是等待時間的其它形式(如：指數、線性等形式)、缺貨時提供依賴于等待時間的不同價格折扣策略、訂貨周期可變等情況。