以平均數的教學為例談“變教為學”

山東菏澤市定陶區張灣鎮沙山寺小學（274104）董金憲

平均數屬于統計與概率這一大分支，如果教學時教師拘泥于平均數的計算公式，只追求順利計算出平均數，忽視對平均數本源和用途的考究，那么學生在計算平均數時就會犯下各種低級的錯誤，即使他們明明對平均數的計算公式爛熟于心，但是由于弄不清算理，還是會錯誤頻出，有時錯了還不知道自己錯在哪里。能熟練運用平均數的計算公式，并不代表對平均數的算理融會貫通了，也不意味著對平均數的概念心領神會。下面筆者以教學“平均數”為例，來說明如何設計活動記錄單。

一、追溯歷史，正視平均數

通過對平均數起源的考證，可以發現，平均數是用來估計大數的。在一個印度神話故事中，有一棵參天大樹長有茂盛的枝葉，樹枝粗細各異。故事的主人公出于好奇，想計算出每根樹枝上的葉片數，他想了想，先數出靠近樹根的一根纖細樹枝上的葉片數，再乘以大樹樹枝的數量，得結果為2095，第二天人們齊心協力數了一下，得出的結果和這個主人公估算的結果差不多。盡管這個神話故事中沒有交代清楚主人公如何選擇的樹枝，但是，可以肯定的是，他必須選擇一根中等粗細的樹枝，這樣估算的結果才不離譜。這選擇樹枝的過程和標準就代表著平均數的思想，因為所選的樹枝必須具有代表性，既不能過于粗大，又不能過于纖細，這樣，在求總數的過程中，它才能有效平衡各種樹枝，起到一個調劑中和的作用，移多補少。

這個與平均數有關的神話給我們帶來啟發，平均數的學習應該從估算大數起步，因此，筆者設計了活動一，通過活動一讓學生理解平均數可以代表一組數據的整體水平。

【活動一】某手機代工企業總共有30間廠房，每間廠房的員工人數分別為42，35，36，43，40，58，

47，34，39，50，37，42，47，34，39，45，50，48，52，49，47，32，36，45，35，46，47，38，51，46，你能算出該企業一共有多少員工嗎？和同學交流一下你的想法。

活動一要求學生算出代工企業共有多少員工，也就是讓學生對這組數據進行求和，這種操作和數樹葉有著異曲同工之處。由于估算方法本身就是多樣的，再加上學生的個體差異和創新力，因此，學生會冒出許多不同的解法。

方法一：將這組數據中的兩個最值（最大值和最小值）相加，再平均分成2份，求出兩個數的“中間值”，然后用這個“中間值”代替組內每個數據，用這個數乘以30。

方法二：將這組數據重新排列，按照從大到小的順序排列，然后找到處于正中間位置的那個數，再假設每個數都是這個中位數，用這個數乘以30。

方法三：一一查點，看哪個數出現的頻次最高，也就是找出重復出現次數最多的那個數，假設每個數都是這個數，再用這個數乘以30。

方法四：運用“四舍五入”法將每個數據看成整十數，如將“42”看作“40”，將“47”看作“50”，將“34”看作“30”……再求出總和。

前三種方法都是選取一個代表整體水平的數值再算總數，這樣能較為科學準確地算出總數，才能有效地估算大數。雖然有的廠房的員工人數會多于或少于這個選定的數，但是在求和的時候，會互相抵消。活動中，學生通過自行摸索和創新也生成了統計與概率中的中位數、眾數的前概念。通過這個活動可以發現，平均數和估算有著千絲萬縷的關系，并且學生通過獨立思考后提出的平均數、中位數和眾數等形式很有說服力，將學習內容與數學知識緊緊捆綁在一起。教師不妨在開展完活動一后趁熱打鐵講述這個印度神話故事，讓學生深思平均數的內涵。

任何數學概念的產生都有原因，平均數也不例外。其實計算平均數是簡單的，只需要將各個數據相加，然后除以數據個數即可，一旦數據較多，這樣計算就非常煩瑣，而且在學生眼里，平均數又沒有什么實際用處，因此不愿意學。小學低年級階段，學生接觸的都是具體運算，沒有接觸過抽象的統計，平均數其實是一個統計數據，為了讓學生更好地接受平均數，并且自覺運用，介紹平均數的來由就顯得十分重要。平均數的功能就蘊含在平均數的來歷中，因此，要實現“變教為學”，就要學生自主探究，自己去發現平均數的用途和優勢，例如，讓學生計算工廠員工總數，如果估算好平均數，那么計算就會十分方便，學生在多方探究中自己發現平均數的優勢。

二、學會計算，領悟功能

【活動二】（1）人們可以在甲、乙兩個鄉鎮衛生院接種新冠疫苗，表1列出了甲鄉鎮衛生院四周接種新冠疫苗的人次，表2列出了乙鄉鎮衛生院三周接種新冠疫苗的人次，你知道哪個鄉鎮衛生院的周業務量較高嗎？（2）乙鄉鎮衛生院在第四周接種新冠疫苗的人次是多少，才能使該衛生院平均每周接種新冠疫苗是70人次？和同伴交流一下你是怎么計算的。

本次親土狀元選拔賽，是今年該系列大賽的收官之作，吸引了300多名來自洛川各鄉鎮的蘋果種植能手。他們當中，既有像楊華鵬一樣子承父業的“果二代”，也有自費到日本學習果樹管理的“技術控”，以及在電商平臺逐漸做強品牌的“網紅果王”。大家一早便帶著自己的得意之作來到大賽現場，個個摩拳擦掌，對親土狀元志在必得。

表1 甲鄉鎮衛生院四周接種新冠疫苗的人次

表2 乙鄉鎮衛生院三周接種新冠疫苗的人次

活動二的第（1）問，第一個目的在于讓學生學習并掌握平均數的兩種基本算法，一種是先將所有數據加起來，再除以數據個數，另一種則是移多補少；第二個目的在于向學生傳遞信號——平均數可以代表一組數的整體水平和另一組數做比較，讓學生體會到平均數的對比功能。學生經過研究和思考就會發現，此時用接種新冠疫苗的總人次比較兩個衛生院的業務量不公平，也不科學，因此會想出如下方法。

方法一：分別算出甲、乙兩個鄉鎮衛生院接種新冠疫苗的總人次，再除以對應的周數，就可以得出每個衛生院每周接種人次，也就是周業務量。

方法二：把甲鄉鎮衛生院第一周的10人次轉移到第二周，把第四周的20人次轉移到第三周，此時每周接種人次相等。把乙鄉鎮衛生院第一周的30人次轉移到第二周，此時每周的接種人次也會相等。最后用兩個數進行比較。

活動二的第（2）問是這樣設計的，已知四個數據的平均數和它們中的三個數據，據此推算第四個數據。這是通過已知平均數逆向求解未知數據，這種逆向出題思路，考查的就是學生對平均數的通盤考慮能力。學生可能會想出如下方法。

方法一：四周平均每周接種新冠疫苗70人次，據此就可以逆向求出四周接種新冠疫苗的總人次，再減去前三周接種新冠疫苗的人次。

方法二：第一周接種新冠疫苗的較多，把其中30人次轉移到第二周，則前三周都接種新冠疫苗60人次，要使平均每周接種新冠疫苗70人次，這樣就還差30人次，再加上第四周接種新冠疫苗的70人次，得出第四周接種新冠疫苗的人次要達到100才可以。

方法三：把第一周中的10人次轉移到第二周，再把第一周的10人次轉移到第三周，這樣前三周接種新冠疫苗的人次分別是70，40，70，那么，用第二周差的30人次再加上第四周需要達到的70人次，答案是100人次。

方法四：第一周保留30人次，把60人次都轉移到第四周，這樣，這四周距離要求的70人次，分別差了40人次、40人次、10人次、10人次，40+40+10+10=100，答案同樣是100人次。

平均數算法的逆向倒推和移多補少的基本思想方法均可以破解這道題。方法二、三、四都是運用的移多補少的方法，區別是基準不同，它們分別以60，70，30為基準。當然，方法還有很多，但是都要經過深入思考才能得出。

設計的活動二并未直接要求學生計算平均數，而是通過現實情境告訴學生，平均數可以反映兩組數據的整體水平，要想比較出兩組數據的高低，就必須用平均數加以確認。求平均數的本質實際上是移多補少，實際計算時，也可以運用移多補少的辦法，而且怎么“移”、怎么“補”也存在方法的多樣性，學生在經歷活動二各種各樣的“移花接木”后，就能掌握計算平均數的表象，這些寶貴的經歷會促使學生在每次計算平均數時，都能熟練運用平均數的內在規律。

三、聯系舊知，對比辨析

完成上述兩個學習活動后，學生對平均數有了細致的了解，此時，受知識遷移的影響，學生極有可能將“平均數”和“平均分”混淆。

“除法的初步認識”對平均分有著明確的定義，將總數分成每份一樣多的若干份，平均分是一種結果一定的分配方案，而不是方法，無論采用哪種分法，最終的結果是一樣的，而且無論初次分配如何混亂，通過移多補少都可以達成平均分的目的，計算出的結果是實際操作后的客觀事實，或者說是可以預見的事實。

而平均數則是一個統計概念，它在現實生活中未必對應著分配的結果和操作，甚至不具備可操作性。學生學習平均數之前已經學過平均分，平均分是“物品總數÷分的份數=每份數”，例如，甲有某上市公司3萬股股票，乙有該上市公司5萬股股票，一共有8萬股股票，如果平均分，則甲、乙各得到4萬股。而平均數的計算公式為“數據總和÷個數=平均數”。

活動三可以進一步深化平均數的統計概念。

【活動三】有調查報告稱：“放開三胎后，甲市每對夫妻平均生育2.5個子女；同期的國外某城市則是平均2.5人生育1個子女。”請你想一想，其中的“2.5人”是什么意思？

通過學生的回答可知，在他們心目中，“0.5”是未成年人，“2.5人”表示兩個成人和一個未成年人。出現這樣令人啼笑皆非的答案，表明學生還沒有對平均數的統計概念有深刻印象。半個人是不存在的，當A對夫妻育有2個子女，B對夫妻育有3個子女，平均每對夫妻就育有“2.5個子女”。以上報道可以理解為“甲市每兩對夫妻加起來育有5個子女”和“同時期國外某城市平均5人就育有2個子女”。教師可以繼續問“每名學生平均每天閱讀1.5小時”中的“1.5小時”作何解，此處的“1.5小時”則是一個具體量。教師要引導學生理解平均數的統計意義與實際意義的聯系與區別。

平均數是一個統計概念，其數值在具體情境中也沒有正式的“身份”，因此，要將其與平均分概念徹底區分開，平均分中的每個數字都是實指，而平均數則是虛構的，如生育率統計中的“2.5人”就是虛指，因為不存在半個人這一說，而到了統計中，它又是合理的，此處的0.5是移多補少造成的結果，只要將所有“0.5”合起來，會得到一個整數。平均數的虛擬性還體現在不可操作性，如7天的平均氣溫可以進行理論計算，但是人們無法將7天的氣溫疊加到一塊，然后平均分成7份，也不可能將今天的氣溫轉移3℃到昨天。但是，如果換成是7個人摘蘋果，平均每人摘得的蘋果數卻可以“操作”出來——先將所有蘋果收集起來，然后平均分給7個人。

“變教為學”中強調學習內容要“實現關聯”，指的是課程既要體現知識，又要反映生活，因此，最后設計活動四，讓學生在生活中處處看到平均數的身影。

【活動四】說說你在生活中的哪些地方見過平均數？

活動四的問題很開放，待學生舉例后，教師可以繼續補充完善相關知識。

“變教為學”要求學習內容凸顯數學本質、滲透數學文化、實現知識間的關聯。因此，對“平均數”的教學設計首先要突出平均數的本質——選擇中間值估計大數；其次，需要滲透平均數的文化，回顧平均數的發展史；最后，把平均數與學生已經學過、學會的平均分聯系起來，對照辨析，弄清平均數的統計功能與統計特性。