從二次根式的性質教學淺談初高數學教學銜接

劉克華

中圖分類號：A 文獻標識碼：A

一、案例背景

浙教版數學七上第1章《有理數》的學習，完成了數的第一次拓展——負數的產生。再到第3章《實數》的學習，完成了數的第二次拓展——無理數的產生。至此初中階段數的拓展已全部完成。其中，平方根和立方根的學習在完成這個拓展中起到了至關重要的作用。然而，初中階段對于根式的研究僅停留在根指數為2次和3次的階段，高中提出了更高的要求——n（n為正整數）次方根。這個內容的學習又將初中階段的整數次冪拓展到分數乃至實數次冪，學生在學習中經歷數的拓展過程，完善了對數的認識（圖1-1）。

數系雖然拓展了，但是數的運算法則和運算律卻沒有發生變化。數學的發展過程就是數學家研究和發展數學的過程，每步研究都吸取了前人的成果和經驗。因此，數學的教學也應體現知識的生長和數學的發展過程，用已解決的問題作為解決新問題的支點。從數學素養的角度來看，初中階段根式的學習應當是高中根式學習的重要基礎，這是從能力立意走向素養立意，關注學生可長遠發展的高階思維。

二、初高階段方根 和根式教學內容對比和教學銜接分析

（一）從“二次根式”到“根式”

下面從根式的概念和根式的性質兩個角度對初高中根式的學習內容進行比較。

1.根式的概念

[銜接分析]二次根式的概念源自平方根的概念（算數平方根），同樣根式的概念源于方根的概念。不同的是，高中將根式拓展到n次之后，表示n為奇數時的n次方根和n為偶數時的非負n次方根。

2.根式的性質

[銜接分析]如上文所說，表示n為奇數時的n次方根和n為偶數時的非負n次方根。因此高中根式的性質1：中不再要求被開方數（圖2-12）。考慮到學生思維水平的差異，《新浙教版》教材中二次根式性質1的得出并不是像高中那樣根據n次方根的概念直接給出，而是通過歸納、類比得到。為做好初高教學銜接，教師在經歷了二次根式性質1的發現過程之后，應適時指出：實際上這個性質的依據是平方根的概念，并在教學伊始對平方根的概念進行回顧。

[銜接分析]對于性質2初中階段的二次根式僅是n為偶數2的情況，高中還需對n的奇偶性進行分類討論（圖2-14）。因此，為了避免產生負遷移，在初中階段學習二次根式的性質2（圖2-13）的時候不能一味強調的非負性，更要讓學生體會到數學的本質，為做好初高教學銜接打下基礎。因此，教師在經歷了歸納、類比得到性質2的過程之后，根據學生情況可適當介紹演繹推理的方法：是的算術平方根，即。同時，在課上或單元復習課上，讓學生思考與有哪些區別和聯系。

總結

從數學的發展角度來看，數學知識的形成是連續銜接的，而不是間隔跳躍的。因此在進行初中數學教學的過程中，不能完全以應試為主導，強制地將初中數學的學習和高中數學的學習分割開來。這對初中數學老師如何做到知識的螺旋上升提出了更高的要求。數學核心素養包含數學抽象、邏輯推理、數學建模等，其中數學抽象要求學生能夠更好地理解數學概念、命題、方法和體系。縱觀初中到高中的數學學習，就是數學概念和數學思想方法不斷完善的過程。因此，不妨站在學生長遠發展的角度來審視初中的數學教學，在教學過程中適當融入一些高中的數學思想方法，學生才能逐步具備所需的數學素養。

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.1.

[2]金才華.數學教學參考書.七年級.上冊[M].杭州：浙江教育出版社， 2012.8.