白光干涉測量法中蝠翼效應的模擬分析

李 萍，閆 英，周 平

(大連理工大學 精密與特種加工教育部重點實驗室，遼寧 大連 116024)

0 引 言

隨著超精密加工技術的發展，表面三維輪廓形貌的準確表征與評價的需求與日俱增[1]。其中，白光干涉儀因測量速度快、范圍大并且具有亞納米級精度，在超精密加工表面的形貌測量中應用廣泛[2-3]。白光干涉測量法是通過對光學干涉條紋圖像進行解析，并從中得到表面形貌信息。在測量過程中由干涉圖像引入的一系列誤差，如瑞利衍射極限、漫反射造成的光強損失、背景光噪聲等，會引起各類測量誤差如蝠翼、2π 誤差、“鬼步”等[4]。目前，對白光干涉儀測量誤差的分析和補償研究受到國內外學者以及相關企業的關注。

利用白光干涉儀測量臺階時，出現的形如“蝙蝠翼”的形貌誤差，即為蝠翼效應。究其原因為：入射光在經過陡峭臺階邊緣時發生衍射，衍射光入射到臺階底部，衍射光強信息與頂部的光強信息同時返回干涉物鏡中，使得在對應位置處的成像平面上至少有3個分量對干涉信號產生作用，即待測對象的反射光、參考光和臨近高（或低）平面上衍射光[5]。Harasaki等[6]建立了簡單的衍射模型并解釋了當臺階高度小于光源相干長度時，包絡線在臺階不連續點附近的蝠翼現象。Niehues等[7]針對曲面尤其是側面出現的蝠翼效應現象，提出了雙波長相位展開法，在傳統的白光干涉儀上安裝兩個光源，在高度掃描時交替驅動，通過評估差異來求解臺階邊緣高度形貌。Lehmann等[8]在研究白光干涉儀的儀器傳輸特性時考慮點光源的影響建立了基于點擴展函數的衍射模型，并提出可以通過調整波長以適應表面臺階高度來避免或減少蝠翼效應。Xie和Lehmann等[9-12]在低相干干涉測量中，考慮了有效波長、數值孔徑（numerical aperture, NA）因子對蝠翼效應進行數值模擬，陸續提出基于基爾霍夫的衍射模型和理查德沃夫的衍射模型，進一步揭示了蝠翼效應的影響機制。

國內自主研發設計的白光干涉儀大多通過避免使用邊緣處信息來減小蝠翼效應的影響[13-14]，對標準單刻線樣板測量得到的標準差可達6.2 nm。為解決上述問題，本文考慮白光光源帶寬、干涉物鏡數值孔徑以及待測工件表面形貌的綜合影響，提出蝠翼效應的圓孔衍射模型，分析蝠翼效應的產生機理以及其與真實形貌之間的關系，最后比較中值濾波和均值濾波兩種濾波方法在消除蝠翼誤差方面的優劣性，為提高白光干涉儀的測量精度奠定基礎。

1 白光干涉儀測量模型

1.1 干涉儀系統測量原理

白光干涉儀的基本測量原理如圖1所示，圖中顯微干涉物鏡的結構為Mirau型。光源發出的光由第一分光板改變光路方向，到達第二分光板時被分成兩束，一束經待測表面反射回光路系統中，另一束光經參考鏡反射，兩束反射光匯聚并干涉，形成的干涉光成像到CCD中。測量時采用微位移機構改變測量光和參考光的光程差。利用表面形貌恢復算法得到各點的相對高度，實現對被測物體的非接觸測量。

圖1 Mirau型白光干涉儀測量原理圖

1.2 不考慮衍射時的虛擬測量模型

假設待測表面形貌為h(x,y)，考慮白光光源帶寬和干涉物鏡數值孔徑對光強度分布的綜合影響，假設光源在不同波長帶寬上均勻分布，并且忽略材料表面反射引起的相位變化，同時不考慮色散問題，白光干涉光強分布受辛格（sinc）函數調制，忽略干涉光強的直流分量，并將交流分量做歸一化處理，得[15]：

式中：λ0、λmin、λmax——光源的中心波長、最短波長及最長波長；

z0——h=0時測量光路與參考光路長度之差為零的位置；

φ0——干涉信號在等光程差的相位角；

Δz——連續兩幀干涉圖之間的掃描距離；

θmax——干涉物鏡的截止角，θmax=arcsin(NA)。

其中，NA為干涉物鏡數值孔徑，與干涉物鏡的放大倍數和物鏡的種類有關，商用干涉物鏡的數值孔徑可參考表1查出。

表1 商用干涉物鏡相關參數

由式（1）可得被測表面不同掃描位置z=?n·Δz到z=n·Δz（n=0,1,2 , ···,150，單向掃描）在白光照射下的干涉強度I(x,y)。利用表面形貌恢復算法，從離散干涉信號中計算調制度和相位信息，最終可得到表面形貌。常用的表面形貌恢復算法大致分為兩類：第一類采用相干峰檢測算法求取調制度值來直接恢復形貌，如極值法、重心法[16]、小波變換法等；第二類是在獲得調制度的基礎上，通過結合相位信息來恢復形貌，如相移法、空間頻域法[17]等。

根據白光干涉儀的測量原理來構建白光干涉虛擬測量模型，各項仿真參數如表2所示，本實驗用到的物鏡為Mirau 50。為與實際白光干涉測量結果做比較，仿真時直接取儀器的相關參數，如表2所示，z0、φ0一般為常數，為簡化計算仿真時設為0。由于位移驅動器帶動干涉鏡頭沿z軸方向逐幀掃描，所以實際在CCD中得到的干涉信號均為離散干涉信號，單一像素點的干涉信號仿真如圖2所示。

表2 仿真測量參數

圖2 單一像素點不同掃描位置的光強度信號

假設待測對象高度h=150 nm，x方向上周期T=20 μm。則利用式（1）可得到初始模擬光強圖。分別運用包絡曲線擬合法和相移法對模擬的掃描干涉圖進行分析處理，可得到表面形貌。采用不同算法得到的矩形光柵虛擬測量響應結果如圖3所示，兩種不同的形貌恢復算法得到的矩形光柵形貌和周期，均具有一致性。

圖3 矩形光柵形貌圖（不考慮衍射）

為做進一步比較，分別取不同的待測光柵高度（150，200，300，450 nm），根據 ISO 5436—1:2000 標準臺階評定方法評定矩形光柵的高度。整理其經虛擬測量得到的形貌的高度值繪制成表3。 由表3可以得出：由不同的形貌恢復算法得到矩形光柵的高度保持一致，表明在考慮白光光源帶寬和干涉物鏡數值孔徑對光強度分布的綜合影響時，其虛擬測量方法具有可行性。

表3 不同算法得到的光柵高度值nm

2 蝠翼效應誤差的機理分析

在實際測量中，使用白光干涉儀（New View 5000，垂直分辨率0.1 nm，橫向分辨率640 nm）測量矩形光柵標準樣件（高度 200 nm，寬度 100 μm）。

輪廓測量結果如圖4所示。圖4(a)為白光干涉儀測量得到的三維形貌圖，圖4(b)為矩形光柵實物圖，圖4(c)為圖4(a)所截取輪廓線的部分二維形貌。由圖4 (c)中標注的邊緣高度值看出，白光干涉儀實測結果中蝠翼效應高度不是一成不變的，其原因在于存在測量環境等不確定因素的影響：如干涉光強容易受到外界的環境光、外界的振動和光源光強不穩定等因素的干擾，這些不確定因素會引起干涉光強的強度和相位發生變化，使得恢復的形貌中蝠翼高度不一致。但含有蝠翼效應的誤差高度總體較為接近 20 nm。

圖4 矩形光柵形貌圖

在白光干涉儀中考慮衍射的影響，干涉物鏡相當于障礙物，如果光源、觀察屏與障礙物之間的距離都是無限遠的，此時的衍射認為是圓孔衍射。圓孔衍射在顯微鏡成像中不可避免，它對顯微鏡的分辨率有著重大影響。為了能夠對實際光學干涉系統的性質做出更加正確的描述，將一個直徑為無限小的理論點光源通過光學系統后的成像性質用點擴散（point spread function，PSF）表示[18]。由此，本研究考慮圓孔衍射的影響，得到非相干成像艾里斑的二維點擴散函數：

將顯微鏡中光強信號圖像的形成看作是一個線性過程，在這個過程中樣品上每一個采樣點光強信息都與干涉物鏡的點擴散函數進行卷積，從而獲得考慮了衍射的干涉光強度圖像：

式中：ICCD（x, y）——考慮了衍射效應的，實際在CCD上可觀測到的干涉光強度信號；

I(x,y)——考慮白光光源帶寬和干涉物鏡數值孔徑對光強度分布的綜合影響得到的理論干涉光強度信號；

psf——白光干涉儀圓孔衍射點擴散函數。

利用卷積定理，對上式可以變換為下式，同時為了減少計算量，下式中將對于二維待測形貌進行分析，并假設y=0，所得到的干涉光強信息可以表示為：

式中：F–1——傅里葉逆變換的過程；

F——傅里葉變換的過程；

ζ、η?在x、y方向上的空間頻率，PSF(ζ,η)=F{psf (x,y)}。

3 考慮衍射時干涉儀的虛擬測量模型

接下來，利用表面形貌恢復算法從式（4）得到的干涉光強圖中提取出形貌信息，通過與理論形貌進行對比，分析衍射效應對白光干涉儀測量結果的影響。

基于以上的分析討論，本節考慮衍射對白光干涉儀測量結果的影響，提出了基于衍射的白光干涉儀虛擬測量模型。該模型主要分為3部分：理想干涉光強信號生成、受衍射影響的干涉光強信號生成、干涉信號經形貌恢復算法后提取出高度信息，具體模擬分析流程如圖5所示。

圖5 模擬分析流程圖

3.1 矩形光柵的虛擬測量分析

由衍射原理可以看出，在白光干涉儀的實際測量中，待測點的光強信息不僅包括干涉光路的參考光和反射光，還有待測點周圍的衍射光的疊加。本研究仍以矩形光柵為例對形貌進行測量，依次選擇四個采樣點位置，如圖6（a）所示，即：臺階頂部點（點A）、臺階頂部的邊緣點（點B）、臺階底部的邊緣點（點C）、臺階底部點（點D），分別繪制出四個位置的光強圖，如圖6（b）和（c）所示。對矩形光柵進行虛擬測量過程中，臺階頂部和底部中間點的光強信號與單一采樣點干涉光強信號區別不明顯，依舊與衍射前的信號保持一致；而受到衍射效應影響的臺階邊緣位置處的光強的包絡形狀發生明顯變化。由圖中也可以看出邊緣位置的干涉光強信號不僅強度明顯降低，且信號出現次級包絡峰，次級包絡峰會影響峰值提取的正確性，因此，依據峰值位置進行形貌恢復的算法，結果必然會出現偏差。

圖6 某四點光強信息

同時，模擬計算了周期均為20 μm，5種不同高度（h= 100 nm、h= 150 nm、h= 200 nm、h= 300 nm、h= 450 nm）的矩形光柵虛擬測量形貌，結果如圖7所示（為直觀對比，高度偏移量依次遞增500 nm）。

圖7 不同表面形貌的模擬測量形貌

測量點光強信息受相鄰點光強度衍射的影響，干涉光強大小發生改變。根據雙光束干涉理論，一般認為相位差與波數滿足：Δφ=2k0h（k0為光波矢量，且k0=2π/λ0），所以相位每相差π時高度相差為λ0/4。當待測臺階高度為λ0/4和3λ0/4時（圖中h=150 nm和h=450 nm），臺階邊緣干涉光強信號受相鄰點光強的影響，干涉光強信號發生如圖6所示的幅值明顯變小的現象，不同的形貌恢復算法均得到明顯的蝠翼誤差（圖7（a）和圖7（b）），且蝠翼高度超過50 nm，不可忽略。當待測對象高度遠離 λ0/4時（圖中h=100 nm 和h=200 nm），以 200 nm 為例，臺階邊緣干涉光強信號受相鄰點光強的影響變小，蝠翼高度降低，且形貌周期仍保持不變。當形貌高度為λ0/2時（圖中h=300 nm），臺階邊緣干涉光強信號與相鄰點光強相位相差2π，此時衍射效應相當于濾波，即臺階高度邊緣被濾波平滑處理；此時，結合相干信息和相位信息的相移法能更好地得到矩形光柵形貌。

3.2 測量結果驗證

利用上述衍射模型對待測表面（高度為200 nm，寬度為50 μm）進行虛擬測量并采用相移法恢復表面形貌，得到如圖8（相移法偏移量為300 nm）所示的虛擬測量結果。在考慮衍射對白光干涉儀的影響時，虛擬測量結果顯示出蝠翼效應，且蝠翼效應誤差高度為20.0 nm，與圖4（c）實際測量結果具有一致性。

圖8 矩形光柵樣件的測量和仿真形貌

圖9為白光干涉儀測量硅晶圓片（高度為335 nm，寬度為 20 μm）時所獲得的圖像。結合圖9（a）、（b）可以看出，其邊緣的測量結果出現蝠翼誤差。輸入相應的高度寬度參數進行虛擬測量，仿真結果如圖9（c）所示。其中相移法（y偏移 500 nm）仿真結果的蝠翼高度為16.9 nm，實驗測量結果的蝠翼高度為23.2 nm，蝠翼高度仿真誤差為27.16%。

圖9 硅晶圓片形貌分析圖

同樣的，圖10待測樣件高度為835 nm，寬度為100 μm。虛擬測量仿真結果如圖黑實線所示。相移法仿真結果的臺階高度為834.1 nm，實驗測量結果的臺階高度為835.0 nm。由圖中可以看出，實測和仿真形貌邊緣均未出現蝠翼效應。

圖10 硅晶圓片樣件的測量和仿真形貌

3.3 蝠翼效應的補償

以目前的手段而言，還無法從原理上完全克服蝠翼效應對白光干涉儀的測量性能限制，但是直接對測量結果進行補償處理，不必考慮測量過程中影響蝠翼的各種因素，這種補償方式簡單直接，不需要過多的計算量，并且也能達到令人滿意的蝠翼補償效果。

采用濾波的方法對測量結果進行后處理，對矩形光柵實測形貌和矩形光柵虛擬測量形貌分別進行均值濾波和中值濾波，結果如圖11所示，兩種處理方式均能過濾掉尖峰的“蝠翼”，但中值濾波對蝠翼處理結果優于均值濾波的處理結果，因均值濾波的處理使矩形光柵的邊緣出現“塌邊”和矮“凸峰”，而中值濾波能夠保護邊緣和輪廓信息。

圖11 矩形光柵模擬和實測補償結果圖

為進一步對比兩種濾波方法處理效果，使用臺階高度、臺階與輪廓中線圍成的面積兩種評價參數對實測形貌和濾波補償形貌進行評價。

1）臺階高度：根據 ISO 5436—1:2000(E)[19]標準臺階評定方法，使用白光干涉儀對樣塊進行測量，取互相平行的輪廓線10條；對應的中值濾波和均值濾波結果如圖12（a）所示，實測輪廓的臺階高度為199.1 nm，中值濾波處理的臺階高度為199.1 nm，均值濾波處理的臺階高度為199.1 nm，兩種濾波處理后的臺階高度與實測臺階高度在數值上相等。

圖12 兩種評價參數對濾波方法的評價

2）臺階與輪廓中線圍成的面積：為直觀對比兩種濾波處理結果的“塌邊”程度，計算出單個臺階與輪廓中線所圍成的面積，結果如圖12（b）所示。從圖中得出：均值濾波對邊緣和輪廓保護程度差，單個臺階被濾掉的面積相比中值濾波的差值大于0.1 μm2。

4 結束語

在考慮干涉系統衍射的基礎上，模擬了白光掃描干涉測量過程，并對百納米高度的臺階進行白光干涉儀的虛擬測量，對測量結果產生的蝠翼效應進行分析得到，蝠翼誤差的出現受待測形貌的影響，當臺階高度接近λ0/4的奇數倍時蝠翼誤差明顯，此種情況下利用中值濾波處理蝠翼誤差的效果優于均值濾波的處理效果。

文中所提出的白光掃描干涉虛擬測量算法是對白光掃描干涉測量過程進行模擬，通過在模擬測量中考慮白光光源帶寬、干涉物鏡數值孔徑以及待測工件表面形貌等因素，可以進一步分析這些因素對蝠翼誤差形狀和大小的影響機理、影響方式以及影響的權重，為從根本上消除蝠翼誤差做基礎。采用虛擬測量方法，可以對具有邊緣結構或陡峭側翼的形貌進行高精度的模擬預測，這在微電子機械制造與微機械制造等領域，可以應用于對矩形階梯狀結構和光柵狀結構的測量結果的處理中。