單擺球在橫向有心力作用下的穩(wěn)定條件分析
——兼談2021年上海市高考選擇性考試物理卷第17題成立的條件

張懷華

（焦作市第十一中學(xué)，河南 焦作 454000）

1 引言

共點(diǎn)力作用下物體的平衡條件、萬有引力定律、單擺振動(dòng)規(guī)律、數(shù)學(xué)近似運(yùn)算和物理學(xué)史均為高中物理教學(xué)的重要內(nèi)容，亦是高考命題的熱點(diǎn).2021年上海市高考選擇性考試物理卷第17題就是一道將上述知識(shí)點(diǎn)相互滲透、有機(jī)融合的創(chuàng)新型試題.

例題.（2021年上海市高考選擇性考試物理卷第17題）測量引力常量G的實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示，小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）處于靜止?fàn)顟B(tài)，擺線偏離豎直方向一個(gè)小角度θ0，兩球心之間的距離為r.當(dāng)質(zhì)量為M的均勻圓球突然快速移開后，小球的運(yùn)動(dòng)________（填寫“可以”或“不可以”）視為簡諧運(yùn)動(dòng).若測出兩球心距r0、圓球質(zhì)量M、小球偏離豎直方向的水平距離d和小球擺動(dòng)的周期T，則引力常量G可以表示為________.（當(dāng)θ0很小時(shí)，sinθ0≈tanθ0）

圖1

該題的物理情景十分新穎，考查的范圍也比較全面，側(cè)重于對(duì)學(xué)生模型建構(gòu)和推理分析等高階思維品質(zhì)的考查，綜合性較強(qiáng)，難度偏大.

筆者帶領(lǐng)學(xué)生們對(duì)該題進(jìn)行深入分析和研究后發(fā)現(xiàn)，單擺球在如圖1所示的位置有可能處于不穩(wěn)平衡狀態(tài)，從而在微擾作用下失去穩(wěn)定.為了確保試題命制的科學(xué)性，必須附加r0＞2d的限制條件.

2 單擺球在橫向有心力作用下的穩(wěn)定條件分析

大量的文獻(xiàn)資料顯示，物體在遵循平方反比規(guī)律的有心引力和線性彈簧的共同作用下，物體處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)的條件十分苛刻，稍有不慎，物體就會(huì)失去平衡.［1-6］因此，很多相似的實(shí)際問題都是建立在單擺球在橫向有心斥力作用下保持穩(wěn)定的情形下的.［7-8］

鑒于2021年上海高考選擇性考試物理卷第17題的物理情景是單擺球在橫向萬有引力作用下的平衡，而單擺球在小擺角條件下的擺線拉力的水平分力與偏移量成正比，則單擺球在橫向有心引力作用下處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)的條件十分苛刻，極易在微擾作用下失去平衡.

2.1 單擺球在橫向引力作用下的穩(wěn)定條件分析

如圖2所示，如果單擺球在大質(zhì)量球M的引力作用下向左偏θ0角后保持靜止?fàn)顟B(tài)，則由能量最低原理可知，單擺球在左偏角θ0位置的總勢能Ep必須具有極小值.［10，11］

圖2

為了確保單擺球在左偏角θ0位置處的總勢能具有最小值，就必須尋找總勢能Ep與左偏角θ的函數(shù)關(guān)系.

2.1.1 單擺球總勢能與左偏角的關(guān)系式

由力的平衡條件可得

由三角知識(shí)可知，單擺球的擺線長度為

若設(shè)單擺球向左偏離豎直方向的角度為θ，則單擺球與大質(zhì)量球M的距離為

由萬有引力勢能公式可知［12，13］

這里以無窮遠(yuǎn)處為引力勢能零點(diǎn).

由（1）-（4）式可得

單擺球具有的引力勢能為

以擺球最低點(diǎn)為重力勢能零點(diǎn).

由（2）、（6）式可得

由（5）、（7）式可得，單擺球具有的總勢能為

2.1.2 單擺球在左偏角θ0位置處的平衡類型分析

若單擺球在左偏角θ0位置處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，其總勢能Ep對(duì)左偏角θ在左偏角θ0位置的一階導(dǎo)數(shù)必須等于0，同時(shí)二階導(dǎo)數(shù)必須大于0.

對(duì)（8）式在左偏角θ0位置求一階導(dǎo)數(shù)，可得

對(duì)（8）式在左偏角θ0位置求二階導(dǎo)數(shù)，可得

令（10）式大于0，可得單擺球在左偏角θ0位置處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)的條件為

若令左偏角θ0→0，則（11）式可簡化為

在幾何畫板軟件中分別繪制（8）式在r0＞2d和r0＜2d條件下的函數(shù)圖像如圖3和圖4所示.

圖3 r0＞2d

圖4 r0＜2d

對(duì)比圖3和（9）、（11）、（12）式可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)單擺球與大質(zhì)量球之間的距離r0＞2d時(shí)，單擺球在θ0位置的總勢能存在如圖3所示的極小值，可以在如圖1所示的左偏角θ0位置處于穩(wěn)定平衡狀態(tài).

對(duì)比圖4和（9）、（11）、（12）式可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)單擺球與大質(zhì)量球之間的距離r0＜2d時(shí)，單擺球在θ0位置的總勢能存在如圖4所示的極大值，無法在如圖1所示的左偏角θ0位置處于穩(wěn)定平衡狀態(tài).

2.2 單擺球在橫向引力作用下的穩(wěn)定條件分析

既然單擺球在如圖1所示的有心引力作用下在左偏角θ0處可能失穩(wěn)，那么單擺球能否在如圖5所示的有心斥力作用下在右偏角θ0處保持穩(wěn)定呢？

圖5

為了分析單擺球在右偏角θ0處的平衡類型，不妨設(shè)單擺球向右偏離最低點(diǎn)的角度為θ，則由勾股定理可得，單擺球與點(diǎn)電荷M的距離為

由同種電荷的電勢能公式可知［12，13］

由于單擺球在右偏角θ0處合力為0，則有

由（7）、（13）-（15）式可得，單擺球在斥力作用下右偏θ角時(shí)的總勢能為

若單擺球在右偏角θ0位置處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，單擺球的總勢能Ep在θ0位置的一階導(dǎo)數(shù)必須等于0，同時(shí)二階導(dǎo)數(shù)必須大于0.

對(duì)（16）式在右偏角θ0位置求一階導(dǎo)數(shù)，可得

對(duì)（16）式在右偏角θ0位置求二階導(dǎo)數(shù)，可得

由圖5可知，r0＞d，則由（18）式可知

由（17）、（19）式可知，單擺球在右偏角θ0位置處于穩(wěn)定平衡狀態(tài).

在幾何畫板軟件中繪制（16）式的函數(shù)圖像如圖6所示.由圖6可知，在點(diǎn)電荷的靜電斥力作用下，單擺球的總勢能Ep在右偏角θ0處存在極小值，也說明單擺球在右偏角θ0位置處的平衡類型屬于穩(wěn)定平衡.

圖6

3 結(jié)論

綜上所述，豎直懸掛的單擺球在大質(zhì)量球的萬有引力作用下偏離平衡位置時(shí)，只有當(dāng)單擺球與大質(zhì)量球的距離大于單擺球偏離豎直線的距離的2倍時(shí)，單擺球才能在與大質(zhì)量球的引力作用下保持穩(wěn)定；當(dāng)單擺球與大質(zhì)量球的距離不大于單擺球偏離豎直線的距離的2倍時(shí)，單擺球無法在大質(zhì)量球的引力作用下保持穩(wěn)定.

在以橫向庫侖力（或萬有引力）作用下的單擺球?yàn)楸尘懊苿?chuàng)新型試題時(shí)，建議選擇斥力類型；若要選擇引力類型，則應(yīng)該添加“單擺球與引力源的距離大于單擺球偏離豎直線的距離的2倍”的限制條件，保證單擺球能處于穩(wěn)定平衡狀態(tài).

由上述分析可知，2021年上海市高考選擇性考試物理卷第17題應(yīng)該追加r0＞2d的限制條件.