利用徑向有效勢能的性質巧解競賽題

鄭 金

（凌源市職教中心，遼寧 凌源 122500）

1 歸納徑向有效勢能的性質

對于質點在有心力作用下的曲線運動，在極坐標系中的總能量為，由于質點的角動量守恒，則J=mvθr保持不變，因此總能量為

因此可把第2項與第3項之和稱為徑向運動的“有效勢能”，即為

當徑向動能為0時，有效勢能取最大值，即Ueff=E.此時質點徑向速度為0，恰好到達徑向運動的轉折點，那么質點到力心的距離為最大值或最小值.當質點到達徑向運動的平衡點時，有效勢能取最小值.

有效勢能的公式、有效勢能的取值范圍、有效勢能的極值條件以及有效勢能在平衡點關于矢徑的二階導數的物理含義，實際都物理學中的二級結論，在用來解答有關的物理問題時無形地省略了某些推導過程，由此可起到化繁為簡的作用.

2 利用有效勢能的性質解題

對于質點在有心力作用下的某些物理問題，可利用有效勢能的表達式把復雜的二維運動問題轉化為一維運動問題來解決，這種方法獨特新穎，簡便快捷.下面以3道物理競賽題為例進行分析.

例1.（第26屆決賽題第3題）如圖1所示，在水平面上有兩根垂直相交的內壁光滑的連通細管，管內放置兩個質量均為m、電荷量均為q的同號帶電質點A和B.開始時，質點A至兩管交點O的距離為d，質點B位于交點O處，速度相互垂直，方向如圖1所示，大小均為，k為靜電力常量.求在以后的運動過程中，它們之間的最小距離.

圖1

解法1：利用機械能守恒定律和角動量守恒定律.

首先分析某時刻質點A和B在平面內的受力情況如圖2所示，利用正交分解法可知，對于質點A有Fsinθ=NA，對于質點B有Fsinθ=maB.

圖2

若以質點B為參考系，則質點A受到的慣性力大小為F′=maB，其方向與NA方向相反.由此可知，此慣性力恰好與軌道彈力NA相互抵消，那么質點A的運動相當于在有心場中的運動，則相對于質點B既有縱向運動，又有橫向運動即轉動.

質點A相對于B的初速度大小為，方向斜向下，沿第4象限的角平分線方向.在有心力的作用下，角動量保持不變，可知質點A相對于B的角動量大小為

質點A相對于B的總能量保持不變，即為

有心力為庫侖斥力，相對初速度方向與斥力方向夾角為鈍角，瞄準距離大于0，類似于α粒子散射，因此質點A相對于B的運動軌跡為雙曲線，質點B位于焦點，可知當質點A運動到軌跡的頂點時二者之間的距離最小，且相對速度方向與矢徑垂直，設此時相對速度大小為v，兩個質點之間的距離為r，由角動量守恒定律有

聯立方程可得4r2-2dr-d2=0，

點評：解題關鍵是選擇其中一個質點為參考系，對另一個質點考慮慣性力，使其只受到有心力的作用，并且需計算初始角動量和總能量.在應用角動量守恒定律列方程時，需首先判斷運動軌跡為雙曲線，以便確定質點運動至軌跡頂點時到力心的距離最小；在列角動量守恒方程以及能量守恒方程時，需選擇兩個特殊點，而且涉及到的速度都用相對于參考點的速度，通過聯立兩個方程來求出距離的最小值.

解法2：利用徑向有效勢能的取值范圍.

設某時刻質點A到B的距離為r，在轉動參考系中，質點A的有效勢能為

點評：除了選擇質點B為平動參考系外，還需選擇極徑為轉動參考系，以便寫出質點的有效勢能，并且根據“有效勢能不大于總能量”求出距離的最小值.若不用拋物線分析距離的最小值，則可對不等式進行觀察，可知r存在最小值，當Ueff=E時r取最小值，則有方程

例2.在真空中有兩個質點的質量分別為m和M，帶電荷量分別為+q1和-q2，開始相距為l，其中質點M的初速度為0，質點m的初速度大小為v，方向垂直于二者的連線，已知兩個質點的距離存在最小值，不計萬有引力，求它們在以后運動過程中距離的最小值.

解法1：利用等效勢能和機械能守恒定律.

開始時質點M的加速度大小為，

方向由質點M指向m.

若以質點M為參考系，則質點m受到慣性力的大小為F′=maM，方向由質點m指向M.設距離變量為r，則質點m受到的合力的大小為

方向由質點m指向M.

由此可見，質點m受到有心力的作用，由于初速度方向與作用力方向垂直，而且兩個質點的距離存在最小值，因此質點m相對于質點M做橢圓運動.取無窮遠處的電勢能為零，設橢圓軌道的半長軸為a，與衛星的機械能總量表達式進行類比，可知質點m在橢圓軌道上運動的總能量為

點評：之所以沒有利用角動量守恒定律列方程，是因為在應用機械能守恒定律列方程時，利用了橢圓運動的總能量公式.但衛星做橢圓運動的機械能總量公式成立的條件是中心天體的質量比環繞天體的質量大得多，即在衛星的質量比地球的質量小得多的條件下，方可認為地球固定不動.對于題中的兩個帶電質點而言，沒有給出質量相差懸殊這個條件，若認為其中一個質點固定不動，則需對另一個質點添加慣性力，或者認為其折合質量為，那么系統的能量守恒方程應為

解法2：利用徑向有效勢能的取值范圍.

當徑向動能為0時，有效勢能等于總能量，即

剛開始運動時，質點的相對初速度方向與矢徑垂直，由于質點相對運動的角動量守恒，可知J=m′vl.

考慮到橢圓運動的總能量小于0，可得關于r的一元二次方程

方程的兩個根分別為距離的最大值和最小值，可知二者之和等于橢圓的長軸，即

利用求根公式可知

由此可得距離的最大值為r1=l，最小值為

點評：解題關鍵是利用徑向運動轉折點的特點列方程，即當徑向動能為零時，有效勢能等于總能量，通過解方程可求得質點到力心距離的最大值或最小值.要特別注意有關方程中的質量是指折合質量.

例3.如圖3所示，兩個同軸帶電無限長半圓柱面，內外圓柱面半徑分別為a、b，設在a＜r＜b區域內只有徑向電場，已知場強分布為，電勢分布為，其中k和b為常量.現有質量為m、帶電荷量為-q（q＞0）的粒子組成的粒子束以大小相同的初速度v0從左方射入，不計電荷間的相互作用，其中初速度的方向既與圓柱面軸線垂直又與入射處直徑垂直的粒子剛好沿半徑為R（a＜R＜b）的半圓軌道運動.（1）試求v0的值；（2）若其他粒子的入射方向與半圓軌道的切線偏離一個很小的角度β，粒子將偏離半圓軌道，設新軌道與半圓軌道相交于圖中的P點.試證明：對于很小的β角，粒子束可以在P點準確聚焦，其位置與β無關，并求出P點的方位角∠AOP的數值.

圖3

（2）粒子只受徑向電場力的作用，對O點的力矩為0，因此粒子在運動過程中角動量守恒，即

J=mv0R=mr2ω，

在非勻速轉動參考系中，以無窮遠處為勢能零點，可知有效勢能為

有效勢能關于矢徑的一階導數為

在r=R處，關于矢徑的二階導數為

表明帶電粒子在r=R處時處于穩定平衡狀態.由于β很小，則粒子偏離平衡位置的距離很小，因此徑向運動是簡諧運動.可知等效勁度系數為，所以徑向運動周期為

利用簡諧運動的對稱性可知，粒子從初始位置運動到交點P經歷的時間為半個周期，即

所以P點的方位角即粒子橫向轉過的角度為

點評：由于其他粒子的入射方向與半圓軌道的切線偏離一個很小的角度β，則粒子運動軌跡將偏離半圓軌道，那么曲線運動不是勻速轉動，角速度將發生變化，但由于粒子只受到有心力的作用，則角動量守恒，因此可利用有效勢能公式進行解答.徑向運動具有對稱性，由于是小振動，則屬于簡諧運動的一部分，相繼兩次經過徑向運動平衡位置的時間恰好等于半個周期.

綜上可見，對于質點在有心力作用下的曲線運動問題，除了一般解法外，有時還可利用有效勢能的性質進行解答，不僅拓展了解題思路和方法，還可化繁為簡，顯得巧妙快捷.