空間自回歸固定效應面板數據模型的經驗似然

陶 陽，何幫強

(安徽工程大學 數理與金融學院，安徽 蕪湖 241000)

空間自回歸模型通過假設空間相互作用將時間序列中的自相關擴展到空間維度，解決有關領域數據存在空間相依性問題，是空間計量經濟學或統計學中捕捉空間相關性的最流行方法之一。Cliff等[1]在普通線性回歸模型的基礎上增加了對空間效應的考慮。Anselin[2]考慮空間相依變量給出空間自回歸模型的一般形式。在日常經濟活動和社會活動中，由于地理分布與時間上的變化，因而產生大量的空間面板數據。空間面板數據模型在反應空間相關性的空間權重矩陣的基礎上，還可以考慮因變量和誤差項的空間滯后，由此，空間相關性和空間異質性得以考慮,從而保證參數估計更接近實際。Elhorst[3]綜述了空間面板數據模型的分類和估計，討論了估計量的漸近性質；Baltagi[4]研究了有隨機效應誤差項空間面板數據模型的參數估計。

張志強[5]通過模擬比較選擇的統計方法對固定效應空間面板數據模型參數估計優劣和模型功效。Kapoor等[6]研究了誤差成分是空間相關的面板數據模型。Lee等[7]將線性面板回歸模型推廣到空間面板數據模型，并建立了該模型的擬極大似然估計的漸近性質。

自從Owen[8]提出經驗似然法進行檢驗和構造置信區間以來，該方法受到了廣泛的關注。Owen[9]將該方法應用到線性回歸模型。Shi等[10]將經驗似然方法引入部分線性模型中，并提出用模型殘差來近似估計非參數部分。Wang等[11]將經驗似然擴展到具有固定設計的部分線性模型，導出了威爾克斯定理的非參數形式。He等[12]在α-混合條件下，提出具有固定效應的半變系數面板數據模型中回歸參數的經驗對數似然比函數。Qin[13]用經驗似然方法對具有空間自回歸擾動時的空間自回歸模型中的參數進行處理。周婷等[14]研究了空間面板數據模型中僅有空間誤差沒有空間自回歸擾動時的經驗似然。本文在此基礎上，研究空間自回歸帶固定效應的面板數據模型既有空間誤差又有空間自回歸干擾時的經驗似然，構造了參數的經驗似然比統計量，同時證明了該經驗似然比統計量是漸近卡方分布的。

1 空間自回歸帶固定效應的面板數據模型

空間自回歸帶固定效應的面板數據模型為

(1)

首先，用ρ、α表示空間相關系數且滿足|ρ|<1,|α|<1；用Wn和Mn代表n×n維的空間權重矩陣，wij則為矩陣Wn的(i,j)元素，wii=0；mij為矩陣Mn的(i,j)元素，mii=0；Xnt表示nT×k維自變量向量；Ynt=(y1t,…,ynt)T表示n×1維因變量向量；unt表示nT×1維的固定效應向量；vnt表示自相關誤差項，而β則表示k×1維系數向量。εnt=(ε1t,…,εnt)T為nT×1維隨機擾動項，滿足獨立同分布且R(εnT)=0V,aεrn=σ2InT。式(1)可寫成如下的形式：

(2)

2 空間自回歸帶固定效應的面板數據模型經驗似然

(3)

基于響應向量的對數似然函數得到

式中，ε=BnT(α)[AnT(ρ)Y-Xβ-u]。

令以上偏導數等于0，我們可以得到

(4)

(5)

(6)

在此基礎上，我們可以提出θ=(βT,uT,ρ,α,σ2)?Rk+nT+3的經驗似然比統計量

其中，pi滿足

令

(7)

其中λ(θ)∈Rk+nT+3是式(8)的解。

(8)

(A2)n→∞,T為有限常數。

(A4)AnT(ρ)、BnT(α)為非奇異矩陣。

(A5)矩陣Wn、Mn、unT、AnT(ρ)、BnT(α)元素行和列的和在絕對值上一致有界。

其中，

Σ11=σ2{BnT(α)}TBnT(α)X,

Σ12=σ2{BnT(α)}TBnT(α),

Σ15=?3{BnT(α)X}T1nT,

Σ22=σ2{BnT(α)}TBnT(α),

Σ25=?3{BnT(α)}T1nT,

Σ55=nT(?4-σ4)。

定理1在(A1)～(A6)假設條件下,當n→∞時,有

(9)

3 引理與證明

我們需要用到Kelejian[15]中的定理1，令

假設

證明見參考文獻[15]中的定理1。

引理2若假設條件滿足(A1)～(A6)，那么當n→∞時,

(10)

(11)

(12)

(13)

證明

由條件(A1)～(A5)及引理1，有

類似的

因此,

接下來檢驗QnT是否滿足條件(C2)，由假設條件(A5)，有

故QnT滿足條件(C2)。然后我們求QnT的方差，根據uij和vi的表達式，我們得到：

其中,式中1nT代表元素均為1的nT維列向量，則QnT的方差為

根據假設條件(A6),

再根據引理1，有

令E(QnT)=0，得到式(11)。

式(12)的證明，類似文獻[9]中引理3中式(13)的證明。

式(13)的證明：由ηi(θ)的表達式

得到

運用上面的假設條件(A1)～(A5)，有

同理可得

即

則有

根據式(10)有

(14)

(15)

而

(16)

令φi=λTηi(θ),由此及式(8)可得

(17)

由式(8)

(18)

利用泰勒展開式，有

(19)

由式(17)及引理2，當0→∞時,有

(20)

(21)

根據式(18)、(19)可以得到

由假設條件(A6)及引理2，得

(22)

依據式(20)～(22),完成了定理1的證明。