一類分?jǐn)?shù)階捕食-食餌模型的Hopf分岔分析

江 位，周 文

(1.安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,安徽 蕪湖 241000;2.安徽大學(xué) 大數(shù)據(jù)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 蕪湖 230000)

分?jǐn)?shù)階微分方程模型非常重要,受到諸多學(xué)者的青睞,已經(jīng)取得了一系列研究成果[1]。宋萍等[2]探索和討論了一類具有捕獲的分?jǐn)?shù)階種群捕食模型,并明確地指出分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)階數(shù)不但直接影響到該系統(tǒng)收斂到平衡點(diǎn)的速度,而且還影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。黃承代[3]研究了一類分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,并且以分?jǐn)?shù)階階數(shù)α和系統(tǒng)參數(shù)A作為分岔參數(shù),分別考察了分?jǐn)?shù)階網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性和Hopf分岔的影響機(jī)制,并且給出了相應(yīng)的發(fā)生分岔的條件。田晶磊[4]通過深入細(xì)致地研究4個分?jǐn)?shù)階群捕食者-食餌模型,給出了兩類系統(tǒng)的平衡點(diǎn)穩(wěn)定性和分岔性質(zhì)的一系列結(jié)論。其他學(xué)者[5-11]也深入地探討了各種分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)模型,并得出了一系列具有重要意義的結(jié)論。

在真實的生態(tài)種群系統(tǒng)中,時滯效應(yīng)常常影響種群的密度分布,如妊娠。而具有時滯效應(yīng)的分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)穩(wěn)定性的理論分析和數(shù)值模擬的研究較少。因此,本文將討論一類分?jǐn)?shù)階捕食-食餌模型的正平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定的條件,以及發(fā)生Hopf分岔時的條件,最后通過數(shù)值模擬來驗證討論的結(jié)果。

1 模型的建立和Hopf分岔分析

本文研究以下具有時滯的分?jǐn)?shù)階捕食系統(tǒng):

(1)

式中，u(t)、v(t)分別表示在t時刻食餌和捕食者的密度。s、β、h、ρ、α、γ、m均為正常數(shù)；s為捕食者對食餌的捕食率；β為捕食者對食餌的最大攝入比率；h為對食餌的非線性捕獲系數(shù)；ρ為半飽和系數(shù)；α為捕食者的增長率；γ為在浮游生物死亡的背景下,由于自我保護(hù)而導(dǎo)致的光衰減系數(shù)；m為對捕食者的捕獲系數(shù)。初始條件u(s)=μ(s)>0,s∈[-τ,0],v(0)=v0>0,且μ(s)是光滑函數(shù),q1、q2是分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。

定義1[12]函數(shù)f(t)的q階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

(2)

式中，m=[q]是一個整數(shù),Γ(·)是Gamma函數(shù)。

引理1[12]考慮以下n維分?jǐn)?shù)階系統(tǒng):

(3)

式中，0

在生態(tài)意義上,我們只考慮系統(tǒng)的正平衡點(diǎn)E(u*,v*),下面我們對正平衡點(diǎn)的存在性進(jìn)行討論，首先假定ρ>h，

令Dq1u(t)=0,Dq2v(t)=0,可得：

(4)

(5)

su*(αu*-mβ-mu*)·(ρ+u*)=0。

整理后可以得出u*是四次方程f(u)=A0·u4+A1·u3+A2·u2+A3·u+A4=0(*)的根(舍去u*=0)，其中,系數(shù)A0、A1、A2、A3、A4如下所示：

A0=-mγ,

A1=(1-ρ)mγ-(α+2m)βγ,

A2=(α+2m)(1-ρ)βγ+(ρ-h)mγ-(α+m)β2γ+(m-α)s,

A3=(α+m)(1-ρ)β2γ+(α+2m)βργ+(ρ+β)sm-(2m+αh)βγ-αsρ,

A4=smρβ+(α+m)(ρ-h)β2γ。

又因為當(dāng)ρ>h時,f(0)=smρβ+(α+m)(ρ-h)β2γ>0。則由介值定理便可得,至少存在一點(diǎn)u*∈(0,+∞)使得f(u*)=0。

下面給出正平衡點(diǎn)的存在性定理,我們提出假設(shè)：

(H1)αu*-mβ-mu*>0,ρ>h。

定理1若(H1)成立,系統(tǒng)至少有一個正平衡點(diǎn)E(u*,v*)。

綜上,至少有一個正平衡點(diǎn)E(u*,v*)存在。

在正平衡點(diǎn)E(u*,v*)處式(1)相對應(yīng)的線性化系統(tǒng)定義為

Dq1u(t)=a11u(t)+a12v(t)

Dq2v(t)=a21u(t)+a22v(t)+b21u(t-τ)，

(6)

為了討論式(1)局部穩(wěn)定性的情況,對式(6)的兩端進(jìn)行拉普拉斯變換：

(7)

這里,U(s)、V(s)是u(t)、v(t)在經(jīng)過U(s)=L(u(t)),V(s)=L(v(t))后的拉普拉斯變換。因此,式(7)的特征矩陣為

(8)

令|Δ(s)|=0,可得式(1)的特征方程為

p1(s)+p2(s)e-sτ=0,

(9)

其中p2(s),p1(s)如下所示:

p2(s)=-a12b21,p1(s)=sq1+q2-a22sq1-a11sq2+a11a22。

(iw)q1+q2-a22(iw)q1-a11(iw)q2+a11a22-a12b21e-iwτ=0

分離實部和虛部得:

(10)

式中，參數(shù)F1、E1、F2、E2如下所示:

F1=0,E1=-a12b21,

由式(10)我們可以得到:

(11)

顯然有sin2wτ+cos2wτ=1,因此可以得到:

(12)

再根據(jù)coswτ=f1(w)求得:

(13)

為了分析當(dāng)τ=0時式(1)的穩(wěn)定性,提出假設(shè)：

(H2)a11≤0。

定理2當(dāng)τ=0時,若(H2)成立,則式(1)的正平衡點(diǎn)E(u*,v*)是漸近穩(wěn)定的。

證明當(dāng)時滯τ=0時,可以得到式(1)的特征方程為

λ2-(a11+a22)λ+a11a22-a12b21=0,

(14)

假設(shè)式(12)至少具有一個正實根w0,定義分岔點(diǎn)為τ0=min{τ(k)},k=0,1,2,…。同時為了得到本文的重要結(jié)論,提出如下的假設(shè)：

其中，

證明為了驗證Hopf分岔橫截性條件,對特征式(9)的兩端關(guān)于時滯τ進(jìn)行求導(dǎo)可得：

化簡得：

再由前面假設(shè)的

可以得到:

因此,(H3)表明橫截性條件是滿足的。

定理4若(H1)～(H3)成立,則對于式(1),可以得出如下結(jié)論:

①正平衡點(diǎn)E(u*,v*)在τ∈[0,τ0)時漸近穩(wěn)定;②當(dāng)τ=τ0時,式(1)在正平衡點(diǎn)E(u*,v*)處會發(fā)生Hopf分岔。

2 數(shù)值模擬

使用Matlab對系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬,驗證時滯對正平衡點(diǎn)E(u*,v*)的影響。選取參數(shù)值如下:

β=0.45,ρ=1,γ=1.05,s=0.85,h=0.15,α=1.25,m=0.05,q1=0.9,q2=0.76。

計算得正平衡點(diǎn)E(u*,v*)=(0.289 9,0.516 9),τ=4.084 8。我們分別取τ=2.5<τ0和τ=4.1>τ0進(jìn)行數(shù)值模擬。

系統(tǒng)在τ=2.5<τ0時,食餌u(t)、捕食者v(t)的密度隨時間變化的演變圖分別如圖1、2所示。從圖1、2中可以看出,u(t)和v(t)最終趨于正平衡點(diǎn)。τ=2.5<τ0時的穩(wěn)定相圖如圖3所示。從圖3可以看出,正平衡點(diǎn)E(u*,v*)是局部漸近穩(wěn)定的。

系統(tǒng)在τ=4.1>τ0時,食餌u(t)、捕食者v(t)的密度隨時間變化的演變圖如圖4、5所示。由圖4、5可以看出，隨著時間的演化其密度是振蕩的,因此正平衡點(diǎn)E(u*,v*)不是穩(wěn)定點(diǎn)。對應(yīng)的相圖如圖6所示。從圖6也可以看出，正平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的，在其外部存在一個極限環(huán)。

圖1 食餌密度隨時間變化的演變圖 圖2 捕食者密度隨時間變化的演變圖

圖3 τ=2.5<τ0時穩(wěn)定相圖 圖4 食餌密度隨時間變化的演變圖

圖5 捕食者密度隨時間變化的演變圖 圖6 τ=4.1>τ0時不穩(wěn)定相圖

3 結(jié)論

本文研究了一類分?jǐn)?shù)階捕食-食餌模型。首先給出了系統(tǒng)的正平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定的條件,然后討論了發(fā)生Hopf分岔的條件,通過數(shù)值模擬驗證了理論結(jié)果。研究結(jié)果表明，時滯的加入會影響到正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。