幾道高考題背后的破解秘密
——同構(gòu)

巨小鵬

(陜西省漢中市龍崗學(xué)校 723102)

1 真題呈現(xiàn)

例1(2020年新課標(biāo)Ⅱ卷文數(shù)·12)若2x-2y<3-x-3-y，則( ).

A．ln(y-x+1)>0 B．ln(y-x+1)<0

C．ln|x-y|>0 D．ln|x-y|<0

解析由2x-2y<3-x-3-y移項變形為2x-3-x<2y-3-y，設(shè)f(x)=2x-3-x，根據(jù)分析法可知f(x)是定義在R上的增函數(shù).

故由2x-3-x<2y-3-y，可得x

所以y-x>0，即y-x+1>1.

從而ln(y-x+1)>0，故選A．

評注將已知2x-2y<3-x-3-y按照“左右形式相當(dāng)，一邊一個變量”的目的變形，然后逆用函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是構(gòu)造出新函數(shù).

例2(2020年新課標(biāo)Ⅰ卷理數(shù)·12)若2a+log2a=4b+2log4b，則( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

解法1 因為4b+2log4b=22b+log4b2

=22b+log2b

=22b+log22b-1,

所以2a+log2a=22b+log22b-1.

故設(shè)f(x)=2x+log2x，則f(x)為增函數(shù).

所以f(a)

所以f(a)-f(b2)=2a+log2a-(2b2+log2b2)

=22b+log2b-(2b2+log2b2)

=22b-2b2-log2b.

當(dāng)b=1時，f(a)-f(b2)=2>0，

此時f(a)>f(b2)，有a>b2;

當(dāng)b=2時，f(a)-f(b2)=-1<0，

此時f(a)

故選B.

評注若F(x)=0能等價變形為f(g(x))=f(h(x))，然后利用y=f(x)的單調(diào)性，再去掉外殼轉(zhuǎn)化為g(x)=h(x)(或者確定大小關(guān)系)，從而化繁為簡，解決問題.

例3(2020年山東新高考卷21題第(2)問)已知f(x)=aex-1-lnx+lna．若f(x)≥1，求a的取值范圍．

解法1f(x)=aex-1-lnx+lna

=elna+x-1-lnx+lna≥1

?elna+x-1+lna+x-1

≥lnx+x

=elnx+lnx(x>0).

令g(x)=ex+x,上述不等式等價于g(lna+x-1)≥g(lnx),可知g(x)單調(diào)遞增.

上式又等價于lna+x-1≥lnx.

即lna≥lnx-x+1.

則函數(shù)h(x)=lnx-x+1在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

即h(x)max=h(1)=0,lna≥0，即a≥1，即a的取值范圍是[1,+∞).

解法2aex-1-lnx+lna≥1

令g(x)=xlnx(x>1),

易知g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

所以h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

所以h(x)max=h(1)=1.

即a的取值范圍是[1,+∞).

評注本題用分類討論也可以完成，放縮法也可以，利用同構(gòu)等價轉(zhuǎn)化思想，稍顯簡單，但是對綜合分析能力要求更高一些.

例4(2018年全國新課標(biāo)Ⅰ卷文科第21題)已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1．

(1)設(shè)x=2是f(x)的極值點,求a，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

f(x)在(0，2)上單調(diào)遞減，在(2，+∞)上單調(diào)遞增.

可設(shè)F(x)=xlnx或F(x)=xex在(0,+∞)上單調(diào)遞增.只需要證x≥lnex=lnx+1即可.

評注此題是典型的同構(gòu)問題，開始做了一個簡單的放縮，然后變形，屬于變式3的類型.放縮在函數(shù)中應(yīng)用比較廣泛，特別是數(shù)列中的放縮，游刃有余地放縮可以達(dá)到事半功倍的效果.

(1)求a,b;

(2)證明:f(x)>1.

解析(1)a=1,b=2；

又因為F(e-x)=0時，x=1，此時取等條件不一致，所以F(x)+F(e-x)=0不存在.

即f(x)>1得證.

評注此題同構(gòu)法稍微有點難度，不僅觀察變形有點難，最后取等討論也麻煩，但是同構(gòu)的方向沒有問題，需要很強(qiáng)的思維能力，方法也不唯一，可以構(gòu)造不同的函數(shù)來解決，也可以利用ex≥x+1來解決較為方便.

2 變式訓(xùn)練總結(jié)

解析由題意可得：

所以x2lnx1-x1lnx2

所以0

變式2已知不等式ax>logax(a>0,a≠1)對于所有的x∈(0,+∞)恒成立，求a的取值范圍.

解法1 由ax>logax

?lnaexlna>lnx

?xlnaexlna>xlnx

?(xlna)exlna>(lnx)elnx,

又F(x)=xex在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

所以F(xlna)>F(lnx).

解法2 由ax>logax?xlnaexlna>xlnx

?exlnalnexlna>xlnx，

又F(x)=xlnx在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

所以F(exlna)>F(x).

所以exlna>x.

解法3ax>logax?xlnaexlna>xlnx.

當(dāng)x>1時，xlna+ln(xlna)>lnx+ln(lnx).

可設(shè)F(x)=x+lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞增，同思路1.

評注此題三種同構(gòu)方式很常見，比較常見的還有指對同構(gòu)：

(1)積型：aea≤blnb，有三種同構(gòu)方式；

(3)和差型：ea±a>b±lnb，有兩種同構(gòu)方式.

變式3 已知實數(shù)α,β，且αeα=e3,β(lnβ-1)=e4，求αβ的值.

又函數(shù)F(x)=xex在 (0,+∞)上單調(diào)遞增，

解法2αeα+1=β(lnβ-1)

?[(α+1)-1]eα+1=β(lnβ-1)

?(α+1)eα+1-eα+1=elnβlnβ-elnβ.

可設(shè)F(x)=xex-ex=(x-1)ex在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

即F(α+1)=F(lnβ).

所以α+1=lnβ，可得αβ=e4.

評注這里用了兩種同構(gòu)，利用變形找到同構(gòu)函數(shù)的關(guān)鍵還是找到同構(gòu)外殼，比如解法2做了小小的變形，讓同構(gòu)看起來更加方便，但這也是難點.