初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

劉芳娣

為了幫助學(xué)生更好地理解復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)知識，加深對數(shù)學(xué)概念、原理、內(nèi)涵的印象，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法，可將抽象的知識直觀化、構(gòu)建形象數(shù)學(xué)知識體系，促使學(xué)生對數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)一目了然。開展數(shù)形結(jié)合教學(xué)，還能夠有效攻克重點難點問題，利用“形象分析”的方法分解抽象復(fù)雜的問題，幫助學(xué)生更深入地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，促使學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用能力、問題解決能力。

進(jìn)入初中階段學(xué)習(xí)之后，學(xué)生需要面對更多的數(shù)學(xué)知識和概念。教師可以借助數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)具體的課程知識點，適當(dāng)引入知識點相關(guān)的實例，利用多媒體教學(xué)工具或者黑板，將實例以圖示、圖形、圖像等方法直觀展現(xiàn)出來，讓學(xué)生能夠通過“觀看”發(fā)現(xiàn)自己即將學(xué)習(xí)的知識內(nèi)容，認(rèn)識“數(shù)在形中的體現(xiàn)”，在加深對數(shù)學(xué)概念理解的同時初步認(rèn)識到“數(shù)形結(jié)合”，形成數(shù)形結(jié)合認(rèn)知。

結(jié)合《正數(shù)與負(fù)數(shù)》一課的教學(xué)，教師為了讓學(xué)生更好地理解“正數(shù)”“負(fù)數(shù)”與“0”之間的關(guān)系，形成對“負(fù)數(shù)”“非負(fù)數(shù)”這一概念的理解，可以利用多媒體視頻工具展示一條“數(shù)軸”，以具體的“圖形”為學(xué)生展示“不同數(shù)之間的關(guān)系”，初步啟發(fā)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思維。

師：觀看圖形，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：數(shù)軸上分別存在“1，-1，2，-2，2，3，-4，5”等數(shù)字，“0”在最中間。

（設(shè)計目的：教師在數(shù)軸上分別設(shè)置若干個點，利用這些點表示正數(shù)、負(fù)數(shù)與零，將正數(shù)與負(fù)數(shù)的關(guān)系以“形”的方式呈現(xiàn)出來，有助于學(xué)生以形理解數(shù)，同時認(rèn)識到數(shù)與形之間是可以互相轉(zhuǎn)化的。）

師：思考“為什么‘0’右邊的就沒有‘-’這個符號，左邊的數(shù)字就有這種符號呢？”這一問題，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：“0”貌似是一個分界線。在坐標(biāo)軸的圖示中，“0”左邊的數(shù)字均為“-”標(biāo)志的數(shù)字，右邊的則是我們常見的數(shù)字。

生2：那帶有“-”標(biāo)志的數(shù)字與正常的數(shù)字是什么關(guān)系呢？

師：你們單獨(dú)觀察右邊，發(fā)現(xiàn)了什么？

生：越靠近“0”的數(shù)字越小。

師：那單獨(dú)觀察左邊呢？

生：表面上是相同的，但是由于增加了“-”的標(biāo)記，所以越靠近“0”的數(shù)字越大。

（設(shè)計目的：學(xué)生能夠通過觀察“有形”的數(shù)軸及其數(shù)字分布情況，更好地理解“有理數(shù)的大小”這一知識點，以便于學(xué)生理解“‘0’右邊的數(shù)字為正數(shù)，左邊的數(shù)字為負(fù)數(shù)”這一概念，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想強(qiáng)化概念教學(xué)的目的。）

通過這種數(shù)形結(jié)合教學(xué)方法，學(xué)生能夠在“數(shù)軸圖像”的指引下，結(jié)合教師提出的引導(dǎo)性問題，自主推理、分析出相關(guān)知識點，相較于教師以往直接灌輸知識點的方法，具有較強(qiáng)的應(yīng)用價值；且這一教學(xué)活動之后，學(xué)生感受到了利用圖形表達(dá)數(shù)學(xué)知識的樂趣，能夠初步形成這種數(shù)形結(jié)合、借“形”助“數(shù)”的思想。

初中數(shù)學(xué)知識點繁雜，知識體系較為龐大，學(xué)生面對大量各種各樣的知識點、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理，難免產(chǎn)生混淆、混亂的感覺。教師可以借助數(shù)形結(jié)合思想，在不同的知識點講解時均引入數(shù)形結(jié)合思想，借助圖像的方式，讓學(xué)生感受不同知識點對應(yīng)圖像之間的差異，這樣，既能夠幫助學(xué)生更好地記憶大量不同的數(shù)學(xué)知識，又能夠幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)效率，掌握初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。

例如，以“平面直角坐標(biāo)系”與“函數(shù)”這兩個知識點為主要講解對象，展開一系列的數(shù)形結(jié)合教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生掌握平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)之間的關(guān)系。

師：觀察這些函數(shù)圖像，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：每個圖像中都有一個平面直角坐標(biāo)系。

生2：平面直角坐標(biāo)系中應(yīng)該能夠體現(xiàn)出不同函數(shù)圖像的特點與規(guī)律。

（設(shè)計目的：展示平面直角坐標(biāo)系中的函數(shù)圖像，讓學(xué)生對坐標(biāo)系中的函數(shù)圖像差異一目了然，萌發(fā)“直角坐標(biāo)系”與“函數(shù)類型”之間是否存在關(guān)系這一想法。）

生2：y=kx+b，圖像會同時分布于三個象限，比如k>0且b>0時，圖像會分布于一三四象限，且會分別受到k、b兩個元素數(shù)值的影響。

生3：y=ax2+bx+k的圖像同時占領(lǐng)一四象限、二三象限，且受到a、b、k等數(shù)值大小的影響。

（設(shè)計目的：學(xué)生分析不同的函數(shù)圖像，在分析的同時繪制出了三個函數(shù)的圖像，能夠進(jìn)一步理解函數(shù)坐標(biāo)系圖像中的重點在于函數(shù)曲線的位置、相對位置及曲線變化，加強(qiáng)對函數(shù)及其圖形關(guān)系的認(rèn)知。）

通過上述這種對比類教學(xué)，學(xué)生不僅能夠明確同一元素在不同數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)中的作用，更能夠有效解決初中函數(shù)知識體系龐大、學(xué)生面對不同函數(shù)難度較大的問題。在教師的有意引導(dǎo)之后，班級學(xué)生已經(jīng)形成一定的數(shù)形思維，能夠認(rèn)識到不同知識對應(yīng)的圖像之間的差別，能夠在今后學(xué)習(xí)更多函數(shù)類型與知識時自覺運(yùn)用數(shù)形思維，體會不同圖像與函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系。

教師可以結(jié)合不同的章節(jié)內(nèi)容，考慮班級學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，分析其中的重點難點問題，在重點難點數(shù)學(xué)問題解決中引入數(shù)形結(jié)合思維，將復(fù)雜的問題以直觀、簡單的形式展現(xiàn)出來，讓學(xué)生體會數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，促使學(xué)生掌握問題解答方法，凸顯數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)問題解決中的有效性與完整性。

例如，在《三角函數(shù)》課程教學(xué)中，由于學(xué)生此時已經(jīng)學(xué)習(xí)了“全等三角形”“等腰三角形”“等邊三角形”的概念及知識，對“角”“邊”的關(guān)系具有一定認(rèn)知，為了避免學(xué)生發(fā)生“不同類型三角形認(rèn)知不足”的情況，教師可以引進(jìn)數(shù)形結(jié)合思維，利用“以形助數(shù)”的理念，讓學(xué)生解決實際問題。

直角三角形ABC，AB=10cm，AC=8cm，點P從點A出發(fā)沿AB方向向點B運(yùn)動，速度為1cm/s；同時點Q從B點出來，向BC方向運(yùn)動，速度為2cm/s，若其中一個點到達(dá)終點，則另一個點停止運(yùn)動，確定△PBQ面積為ycm2，問y與x的函數(shù)關(guān)系。

師：觀察這三個元素構(gòu)建形成的數(shù)學(xué)坐標(biāo)系圖像，分析坐標(biāo)系中P、B、Q構(gòu)成的圖形。

（設(shè)計目的：使用數(shù)形結(jié)合思想，分別提煉出“直角三角形”“P的運(yùn)動軌跡”“Q的運(yùn)動軌跡”，讓學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思維解決數(shù)學(xué)問題。）

生1：是三角形。

生2：可以利用三角形的特征及其坐標(biāo)中的點位數(shù)值計算△PBQ的面積，這樣就可以獲得函數(shù)關(guān)系了。

在這一過程中，學(xué)生觀看圖像形成全過程，能夠利用圖像中各點的位置找出答題線索，確定相似三角形的性質(zhì)，得到邊長，從而取得函數(shù)范圍，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合有效性。學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)，若不能夠正確繪制出圖像，則無法準(zhǔn)確判斷位置關(guān)系，更無法得到取值范圍。“以形助數(shù)”的解題思想，能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用價值。

總之，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，通過開展數(shù)形結(jié)合教學(xué)能夠啟發(fā)學(xué)生的問題分析思維；將數(shù)形結(jié)合思想貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)始終，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維；在課堂教學(xué)活動中引進(jìn)數(shù)形結(jié)合手段，能夠引導(dǎo)學(xué)生更好地分析難點問題，突破數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)屏障，有效提升數(shù)學(xué)課程教學(xué)質(zhì)量。

（作者單位：甘肅省秦安縣古城農(nóng)業(yè)中學(xué)）（責(zé)任編輯曉寒）