學(xué)程重構(gòu)：指向數(shù)學(xué)高階思維發(fā)展的有效路徑

■張衛(wèi)明

一、問題提出

數(shù)學(xué)是思維的體操。丘成桐教授指出，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是思維學(xué)習(xí)。史寧中教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是培養(yǎng)思維能力，特別是高階思維，以達(dá)到讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考、表達(dá)世界的目的。當(dāng)前數(shù)學(xué)教育中，大部分學(xué)生被動學(xué)習(xí)，思考問題拘囿于定向、正向等單一思維方式，拘囿于解決常規(guī)數(shù)學(xué)問題，卻不善于解決復(fù)雜的、開放的問題，缺乏深度探究能力，思維層次多數(shù)處于低層次或中等層次。

在“雙減”背景下，如何“減負(fù)增效”，實施因材施教，讓課堂教學(xué)轉(zhuǎn)化為學(xué)生自主學(xué)習(xí)、自我建構(gòu)、自我發(fā)展的時空領(lǐng)域，發(fā)展學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中有意識的、圍繞特定目標(biāo)不懈努力的思考力及不斷應(yīng)對現(xiàn)實世界變化的問題解決和決策創(chuàng)新能力，培育學(xué)生的核心素養(yǎng)，落實立德樹人的根本任務(wù)，是初中教師亟需解決的問題。

二、內(nèi)涵確認(rèn)

通過系統(tǒng)研究，梳理國內(nèi)外高階思維等相關(guān)文獻(xiàn)，一些學(xué)者提出，教學(xué)目標(biāo)分類中的分析、評價和創(chuàng)造就是高階思維（如圖1）。也有學(xué)者在很早就提出，高階思維包括批判性思維、問題解決、決策、創(chuàng)造性思維四種關(guān)鍵能力。提升高階思維能力需要教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中尋找有效教學(xué)途徑、方法和措施，使學(xué)生在教師、同伴、教學(xué)資源等相互影響、相互促進(jìn)下，獲得能力與素養(yǎng)，形成科學(xué)態(tài)度與數(shù)學(xué)精神。

圖1

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在目標(biāo)引領(lǐng)下通過分析、評價、創(chuàng)造等一系列高階思維活動展開，必須基于學(xué)情進(jìn)行學(xué)程設(shè)計，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重新架構(gòu)，對數(shù)學(xué)資源重新組合。顯然，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動必然要經(jīng)歷一個“建構(gòu)→解構(gòu)→再重新建構(gòu)”的過程，這就是“重構(gòu)”。此過程中，“重構(gòu)”起到起承轉(zhuǎn)合的獨(dú)特作用，也是凸顯較高認(rèn)知水平層次的高階思維的有力保障。

三、研究內(nèi)容

1.以“問”為先，研發(fā)數(shù)學(xué)高階思維知識深度等級。

數(shù)學(xué)高階思維能力一般包括：問題解決、推理、表達(dá)、構(gòu)思等能力。而問題解決能力是高階思維的核心能力。以“問”為先的學(xué)程重構(gòu)，就是教學(xué)中以主問題（核心問題）為主線，貫穿課堂的始終，激活課堂。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程本質(zhì)上是一個學(xué)習(xí)思維發(fā)展的過程，而思維發(fā)展總是伴隨著一個個活動逐步展開的。任何新知的習(xí)得都必然依賴某些相關(guān)活動經(jīng)驗方法和策略。在變化了的新問題情境中，讓學(xué)生自主、獨(dú)立地尋求問題解決的路徑，并運(yùn)用已有的知識經(jīng)驗創(chuàng)造性地完成探索數(shù)學(xué)知識的過程，可以發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、推理、建模的思想，從而促進(jìn)高階思維的發(fā)展。

美國教育學(xué)家韋伯博士提出了培養(yǎng)學(xué)生高階思維的DOK教學(xué)系統(tǒng)，巧妙解決了教材中的知識深度等級劃分問題：DOK1為“記憶與再認(rèn)”；DOK2為“概念與基本技能”；DOK3為“策略化與較復(fù)雜思維過程”；DOK4為“涉及知識的延展性與更加復(fù)雜的思維過程”。

“知識深度等級”的劃分是發(fā)展高階思維的一大創(chuàng)新，它為“分析、評價和創(chuàng)造”等高級思維活動的發(fā)展提供了目標(biāo)引領(lǐng)。

例如，圓的概念“知識深度等級”劃分。

DOK1，記憶與再認(rèn)。

描述：能理解圓的相關(guān)基本概念。

示例1：已知⊙O的半徑OA長為1，OB=2，則正確的圖形可能是（ ）。

解析：本題選B。

DOK2，概念與基本技能。

描述：通過圓的概念解決與圓有關(guān)的位置問題。

示例2：已知⊙O的半徑為m，點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，則OP的長（ ）。

A.小于mB.大于m

C.等于mD.等于m

解析：本題選A。

示例3：已知⊙O的面積為25π，若點(diǎn)P在圓上，則PO=（ ）。

A.25 B.5 C.7 D.3

解析：本題選B。

DOK3，策略化與較復(fù)雜思維過程。

描述：利用圓的軌跡形式的概念解決圖形的軌跡問題。

示例4：如圖2，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，求證：A、B、C、D四個點(diǎn)在同一個圓上。

圖2

解析：如圖3，連接BD，取BD的中點(diǎn)O，連接

圖3

OA、OC。∵∠BAD=∠BCD=90°，OB=OD，∴OA=OB=OD=OC，∴A、B、C、D四個點(diǎn)在同一個圓上。

DOK4，涉及知識的延展性與更加復(fù)雜的思維過程。

描述：利用圓的概念解決有關(guān)圓的綜合性問題。

示例5：如圖4，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，點(diǎn)D是半徑為4的⊙A上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，則BM的最大值是

圖4

解析：取AC的中點(diǎn)N，連接MN、BN，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和三角形的中位線定理，可求出BN、MN，再利用三角形的三邊關(guān)系即可解決問題。

2.以“學(xué)”為本，重構(gòu)發(fā)展數(shù)學(xué)高階思維的學(xué)程體系。

學(xué)習(xí)的過程中，通過參與、對話、分享等方式，學(xué)生主體地位凸顯，思維層次更加清晰，教學(xué)更指向最近發(fā)展區(qū)和深度學(xué)習(xí)。可以說，“學(xué)程”重構(gòu)更加促進(jìn)學(xué)生的自我建構(gòu)和共同建構(gòu)，讓學(xué)生有支架、有路徑地學(xué)，促進(jìn)高階思維的發(fā)展。數(shù)學(xué)高階思維的學(xué)程體系包括：知識深度等級劃分、結(jié)構(gòu)化單元整體課堂教學(xué)構(gòu)建、學(xué)習(xí)資源開發(fā)、科學(xué)評價等。

學(xué)程重構(gòu)體現(xiàn)重塑原有觀念、重組認(rèn)知結(jié)構(gòu)、重建概念關(guān)系、重新矯正思維，不僅體現(xiàn)實踐活動的開放性、問題材料的豐富性，更體現(xiàn)思維發(fā)展的靈活性、批判性及元認(rèn)知能力等方面。教師必須面對新時代的挑戰(zhàn)，改變原有的授課方式，致力于整體建構(gòu)知識體系，向知識深度進(jìn)軍，向高階思維發(fā)展。

初中數(shù)學(xué)知識涉及4個領(lǐng)域：數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐。蘇科版教材“數(shù)與代數(shù)”部分共15章（包括“銳角三角函數(shù)”），“圖形與幾何”部分共11章，“統(tǒng)計與概率”部分共5章。依此，我們對初中數(shù)學(xué)知識體系進(jìn)行了重新建構(gòu)（如圖5、圖6、圖7）。

圖5 初中“數(shù)與代數(shù)”知識體系結(jié)構(gòu)圖

圖6 初中“圖形與幾何”知識體系結(jié)構(gòu)圖

圖7 初中“統(tǒng)計與概率”知識體系結(jié)構(gòu)圖

由于數(shù)學(xué)知識之間有縱向、橫向結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)或縱橫融通，教學(xué)設(shè)計要體現(xiàn)單元整體結(jié)構(gòu)化的特征，體現(xiàn)思維的靈活性、深刻性、敏捷性、創(chuàng)造性、批判性和結(jié)構(gòu)性，這樣才更加有利于發(fā)展高階思維。

3.以“思”為要，探索發(fā)展數(shù)學(xué)高階思維的實施策略。

伴隨著教育改革的大力推進(jìn)，初中數(shù)學(xué)教學(xué)重點(diǎn)正在發(fā)生著根本性變化。在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練，努力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)高階思維；引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，促使高階思維在問題解決中形成邏輯性和抽象性。這是數(shù)學(xué)教學(xué)的一項重要使命。

教師可以通過創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生動手“做數(shù)學(xué)”，推進(jìn)整體單元教學(xué)；給學(xué)生提供資源包、工具箱和“腳手架”，培養(yǎng)學(xué)生自主探究和實踐的能力，發(fā)展高階思維。比如，在“二次函數(shù)”的教學(xué)過程中，教師可以利用幾何畫板讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項對拋物線圖像的影響。從學(xué)生的實際表現(xiàn)來看，一定要留給學(xué)生充分的學(xué)習(xí)時間和空間，讓學(xué)生真正經(jīng)歷知識產(chǎn)生、發(fā)展的全過程，為學(xué)生提供更多的生成、創(chuàng)新的時機(jī)。這樣，學(xué)生的思路會越來越廣，對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識也會越來越深刻，高階思維的發(fā)展才能有保障，創(chuàng)新能力才能不斷提升。

四、結(jié)語

數(shù)學(xué)教學(xué)要以學(xué)生的學(xué)習(xí)過程為中心，聚焦于學(xué)習(xí)建構(gòu)理論的提煉，構(gòu)建單元整體教學(xué)框架，探討教會學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會思考的路徑，讓學(xué)生學(xué)會動手做數(shù)學(xué)，注重操作、探究、發(fā)現(xiàn)知識的過程以及用聯(lián)系的觀點(diǎn)理解知識，理解教材，理解數(shù)學(xué)，發(fā)展學(xué)生的高階思維。教師要把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動設(shè)計作為課堂教學(xué)設(shè)計的關(guān)鍵與核心，針對目標(biāo)設(shè)定、內(nèi)容選取、方式選擇及活動評價等方面，設(shè)計出讓學(xué)生積極投入的高階學(xué)習(xí)活動，使學(xué)生在活動中經(jīng)歷高階思考過程，發(fā)展高階思維能力，從而構(gòu)建“為學(xué)生成長而教”的發(fā)展高階思維的數(shù)學(xué)課堂。