“勾股定理小結(jié)與思考”教學(xué)設(shè)計(jì)與反思

■陳冠軍

一、教學(xué)目標(biāo)

熟識勾股定理及勾股定理的逆定理，能將實(shí)際問題建模轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，能靈活應(yīng)用所學(xué)知識解決問題，同時滲透方程、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，進(jìn)一步發(fā)展“有條理地思考”和“有條理地表達(dá)”的能力，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。

二、教學(xué)重點(diǎn)

將知識點(diǎn)形成鏈，建立相互關(guān)聯(lián)的知識結(jié)構(gòu)，掌握科學(xué)的學(xué)習(xí)方法。

三、教學(xué)難點(diǎn)

構(gòu)造直角三角形并借助方程、分類等思想解決數(shù)學(xué)問題。

四、教學(xué)流程

1.情境導(dǎo)學(xué)，明晰內(nèi)容。

師：勾股定理是人類的寶貴財富，勾股定理及其逆定理在現(xiàn)實(shí)生活中有廣泛的應(yīng)用。本章我們一起研究過它——直角三角形（板書），今天我們將一起復(fù)習(xí)這一章。本章我們學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法？大家能取其要點(diǎn)，構(gòu)建框圖嗎？

生1展示構(gòu)建的知識框圖，如圖1。學(xué)生之間相互點(diǎn)評。

圖1

2.多元評學(xué)，以情勵學(xué)。

師：本章我們學(xué)習(xí)了勾股定理、勾股定理的多種證法，用不同的方法計(jì)算同一個圖形的面積，還有勾股定理的逆定理以及勾股定理、勾股定理逆定理在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用等。接下來，我們來看幾個問題。

師：例題1，（1）如圖2，已知在△ABC中，∠B=90°，一條直角邊為a，斜邊為b，則另一條直角邊c滿足c2=。

圖2

生2：根據(jù)勾股定理，可得c2=b2-a2。

師：（2）如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90°。

圖3

師：請同學(xué)們分小組合作，完成以上問題。

小組推薦代表1：已知直角三角形的兩條直角邊，求斜邊。根據(jù)勾股定理，得c2=a2+b2=32+42=9+16=25，解得c=5或-5?！遚＞0，∴c=5。

小組推薦代表2：已知直角三角形的一條直角邊，一條斜邊，求另一條直角邊。根據(jù)勾股定理，得c2=a2+b2，102=62+b2，b2=64，解得b=8或-8?！遙＞0，∴b=8。

小組推薦代表3：可設(shè)a=3k，b=4k（k＞0）。根據(jù)勾股定理，得c2=a2+b2，求得c=5k（負(fù)值舍去），則

師：通過例題1，我們初步復(fù)習(xí)了勾股定理、勾股定理的逆定理。接下來，我們繼續(xù)看例題2。

師：例題2，（1）如圖4，以Rt△ABC的三邊a、b、c為邊，向外作正方形，正方形面積分別為S1、S2、S3，則S1、S2、S3有什么關(guān)系？

圖4

生3：∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，又∵S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2，∴S1+S2=S3。

師：（2）以Rt△ABC的三邊a、b、c為邊，向外作等腰直角三角形（如圖5），等腰直角三角形面積分別為S1、S2、S3，或者以三邊a、b、c為直徑，向外作半圓（如圖6），半圓的面積分別為S1、S2、S3，則S1、S2、S3有什么關(guān)系？

圖5

圖6

教師組織學(xué)生進(jìn)行生生合作，共同探究得出S1+S2=S3。

師：（3）以△ABC的三邊a、b、c為邊，向外作正方形（如圖4），或等腰直角三角形（如圖5），或以三邊為直徑的半圓（如圖6）。若S1+S2=S3成立，則△ABC是直角三角形嗎？

師：這實(shí)際上是將之前問題的條件和結(jié)論互換，這樣變式，結(jié)論成立嗎？

教師“導(dǎo)”，學(xué)生“學(xué)”，學(xué)生在“對學(xué)”和“群學(xué)”中共同研究問題，解決問題，得出△ABC始終是直角三角形。

師：例題3，（1）已知，如圖7，將長方形的一邊BC沿CE折疊，使得點(diǎn)B落在AD邊的點(diǎn)F處，已知AB=8，BC=10，求BE的長。

圖7

師：由AB=8，BC=10，易知哪些線段的長？請?jiān)趫D中標(biāo)出來。

師：在Rt△DFC中，你可以求出DF的長嗎？請?jiān)趫D中標(biāo)出來。

師：由DF的長，你還可以求出哪條線段的長？請?jiān)趫D中標(biāo)出來。

師：設(shè)BE=x，你可以用含有x的式子表示出哪些線段長？請?jiān)趫D中標(biāo)出來。

師：你在哪個直角三角形中，可以應(yīng)用勾股定理建立方程？你建立的方程是

通過以上對比分析，利用閱讀的外圍去理解淺閱讀，都失之偏頗。筆者認(rèn)為，淺閱讀的淺應(yīng)該更著重于閱讀本身，在閱讀的過程中，都是有淺入深的一個漸進(jìn)過程。參與時間短、輕思考，即為淺閱讀，參與時間多、重思考，即為深閱讀。無論你讀的是什么書，目的怎樣，讀者是誰，無一不需要經(jīng)過這個過程。那么，在由淺入深的這個過程中，首先都要進(jìn)入淺閱讀，而在淺閱讀之后，經(jīng)過主體自身的判斷，是否需要進(jìn)入深閱讀。

生4：在Rt△DCF中，∵FC=BC=10，CD=8，在Rt△AEF中，∵∠A=90°，AE=8-x，∴42+（8-x）2=x2。

師：（2）如圖8，折疊長方形紙片，先折出對角線BD這條折痕，再折疊，使點(diǎn)A落在BD上的E處，折痕為DG，若AB=4，BC=3，求AG的長。

圖8

生5在黑板上板演：設(shè)AG的長為xcm，則x2+22=（4-x）2，解得解答過程略）。

師：還能用其他方法求AG的長嗎？

師：剛才我們以翻折問題為載體，利用方程思想，用“勾股定理”和“面積法”求出了AG的長。在生活中，我們也會遇到“最短路線問題”，下面我們一起來看例題4。

3.以練促學(xué)，當(dāng)堂反饋。

師：例題4，如圖9，一條河同一側(cè)有兩個村莊A、B。A、B到河岸的最短距離分別為AC=1km，BD=2km。已知CD=4km，現(xiàn)欲在河岸上建一個水泵站向A、B兩村送水。水泵站建在河岸上何處時，從水泵站到A、B兩村鋪設(shè)的水管總長度最短？請求出最短距離。

圖9

生7：作點(diǎn)A關(guān)于河流所在直線的對稱點(diǎn)A′，連接A′B，交河流所在直線于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求，BE=3，A′E=4，∴A′B=5。

師：這個最短路線問題，需從無到有去構(gòu)建“直角三角形”，再利用勾股定理解決問題。

師：例題5，圖10是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個臺階兩個相對的端點(diǎn)。有一只螞蟻在A點(diǎn)，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點(diǎn)的最短路程是多少？

圖10

生8：可設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到B點(diǎn)的最短路程為xdm，如圖11，由勾股定理，得x2=202+［（2+3）×3］2=252，解得x=25。

圖11

師：這個最短路線問題滲透了分類思想。借助于分類，我們可將復(fù)雜的問題簡單化。

4.回顧反思，學(xué)程總結(jié)。

師：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，請大家談一談收獲。

學(xué)生各抒己見。

五、教學(xué)反思

張衛(wèi)明名師工作室提倡“學(xué)生的實(shí)踐研究應(yīng)該指向高階思維”，主張“在課堂教學(xué)中，應(yīng)將低階思維和高階思維活動共同構(gòu)成一個多樣化的、由低到高的層次式的課堂核心活動群，這樣才能實(shí)現(xiàn)在發(fā)展學(xué)生低階思維的同時，推動其高階思維的發(fā)展，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)的有效性”，并提煉出“學(xué)程導(dǎo)航”的教學(xué)范式。

在設(shè)計(jì)本節(jié)課時，筆者從發(fā)展低階思維的“勾股定理的直接應(yīng)用”入手，層層遞進(jìn)到發(fā)展高階思維的“勾股定理在較復(fù)雜問題背景下的應(yīng)用”，由低到高，體現(xiàn)了思維的發(fā)展?！皩W(xué)程導(dǎo)航”教學(xué)范式需要教師的“導(dǎo)”和學(xué)生的“學(xué)”共同作用來實(shí)現(xiàn)。充分而不過分的導(dǎo)尤為重要，能使學(xué)生自主地開展建構(gòu)活動，構(gòu)建一章的知識框圖，歸納重難點(diǎn)、易錯點(diǎn)。本節(jié)課中，筆者通過“教”“學(xué)”“用”教學(xué)環(huán)節(jié)，配以“獨(dú)學(xué)、對學(xué)和群學(xué)”等學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生獨(dú)立完成數(shù)學(xué)問題，在對學(xué)和群學(xué)中共同研究問題，解決問題，進(jìn)而形成高階思維。如探究“最短路線問題”，筆者通過創(chuàng)設(shè)情境、提供任務(wù)的方式，保證了探究的充分和有效，同時，學(xué)生也完成了自我建構(gòu)和共同建構(gòu)，在課堂學(xué)習(xí)中優(yōu)先指向高階思維目標(biāo)的達(dá)成。筆者教方法，學(xué)生學(xué)方法，之后用方法遷移。所以，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)將學(xué)習(xí)知識的過程還給學(xué)生，通過對知識的深度等級劃分，找到“不可教”的地方，然后把“不可教”之處讓渡給學(xué)生。