數學“實驗誤差”成因探尋及改進策略

◎ 江蘇省如皋市搬經鎮夏堡小學 沙國建

長期以來，人們對數學教學往往停留在“數學就是教會學生數學知識，然后運用數學知識去解題”的認識，但這一認識的背后透露出來的是教師對數學學科的認識不足。教師該如何正確實施教學？這就需要開辟新的教學思路，讓學生的數學學習過程變得豐富多彩，學生在體驗感的形成過程中建構數學知識框架。本著這樣的目的，教師在小學數學教學中可以引入數學實驗。

實際上數學與實驗的關系還是非常密切的。數學實驗是指借助一定的實物或工具，對實驗素材進行數學化操作，進而建構概念、驗證結論、探索規律、解決問題的一種學習方式。當前，在小學數學教學實踐中應用數學實驗已形成一定趨勢，筆者發現在數學實驗過程中經常會不可避免地出現誤差。教師應當如何基于學生的誤差，正確引導學生主動研究、分析、解決誤差，進而通過改進數學實驗的方式縮減誤差，是一個非常有價值的研究課題。借助實驗誤差開展教學，能深化學生對數學實驗活動的體驗，進而促進學生對數學知識的深度思考與探究。

一、探尋“實驗誤差”成因

數學實驗誤差不同于實驗錯誤，實驗錯誤是可以避免的，而實驗誤差是不可避免的，但這并不等于教師可以漠視誤差、無視誤差。在小學數學教學中，教師應引導學生認識、理解、認同并接受誤差，帶領學生最大限度地降低、減小誤差，并運用誤差促進學生對數學知識的理解與認知。如何面對誤差，不僅能體現出教師的本體性知識水平，更彰顯著教師的數學教學藝術。教師在教學中對數學實驗誤差的成因作深度分析，有助于引導學生認識、把握誤差的本質。

1.基于學科屬性視角。從學科屬性來看，數學知識具有兩重屬性：其一是經驗性屬性，其二是超驗性屬性。經驗性的數學知識，學生理解較為容易、簡單；而超驗性的數學知識，學生理解相對較難。當教師引導學生用經驗性的數學實驗來探究超驗性的數學知識時，就會不可避免地出現誤差。比如當學生用較粗的小棒來探究“三角形的三邊關系”時，就會出現“當兩條邊的和等于第三條邊時，三根小棒也能圍成三角形”等誤差。對此，教師往往用“由于小棒的寬度不同，數學實驗不可避免存在著誤差”來搪塞教學。學生由此對實驗結果半信半疑、將信將疑，最后只能將自己的疑問、困惑壓下，無奈地接受教師預設的結論。

2.基于實驗素材視角。在數學實驗中，有時之所以誤差較大，就是因為師生的實驗素材選擇不合理。實驗素材的優劣，有時會直接影響學生的數學實驗效果。比如在教學“圓錐的體積”這一部分內容時，有教師選用沙子進行實驗，但由于沙子的空隙較大，因而容易導致實驗誤差較大。如果教師選擇用水代替沙子進行實驗，就會明顯地提升實驗效果。學生在進行數學實驗的過程中產生較大誤差時，教師一定要幫助學生找尋實驗誤差的成因，改進實驗工具，優選實驗材料，從而助推學生的數學實驗從模糊走向清晰，從不確定走向確定、精準。

3.基于實驗方法視角。數學實驗的方法也是影響學生產生實驗誤差的重要因素。同一個數學實驗，其實驗方法可能是多樣化的。當一種實驗方法在數學實驗中產生較大誤差時，教師應當及時反思并對方法進行改進，從而縮小實驗誤差。比如在進行“圓錐的體積”這一部分內容的數學實驗時，由于水的滿淺程度不同，且易潑灑，因而常導致實驗誤差較大，出現圓柱的體積是等底等高的圓錐體積的3倍多一些或3倍少一些。為此，筆者讓學生選擇兩個等底等高的圓柱和圓錐，將之完全浸入到裝了水的量筒之中。通過上升的水的體積，引導學生分別計算浸入圓柱和圓錐時量筒中水的上升高度。學生能夠清晰地看到浸入圓柱的量筒中的水上升的高度是進入圓錐的量筒中的水上升高度的3倍。

二、改進“實驗誤差”策略

在數學教學中，產生實驗誤差是必然存在的。那么，該如何采用有效的教學策略最大限度地降低誤差，助推學生的數學學習呢？筆者認為，教師不能搪塞誤差，應直面學生的誤差，幫助學生分析誤差，對學生的數學實驗進行有效指導，并借助縮小誤差，逐步提升學生的數學實驗力、學習力，培養學生的數學實驗素養。

1.精選實驗素材，改進實驗方式。如何減小學生的實驗誤差？筆者認為，教師應在素材選擇和實驗方式改進上下功夫。從根本上說，實驗素材及實驗方式的選擇，是決定學生實驗效度的根本因素。因此，在小學數學實驗教學中，教師應給學生提供半結構化或結構化的素材，引導學生運用多種實驗方式相互印證實驗結果，從而增進學生數學實驗的可信度。比如教學“三角形的三邊關系”時，筆者給學生提供了非常纖細的小棒，引導學生積極開展數學實驗，助推學生突破實驗難點，同時借助現代化的教學技術手段進行演示。不僅如此，我們將“三角形三邊關系”的數學實驗與“兩點之間線段最短”的公式結合起來，從而增進學生對三角形三邊關系的認識。在數學實驗的過程中，教師要幫助學生減少無關因素的干擾，帶領學生提前預設可能出現的問題，從而引導學生對數學實驗素材深度加工。通過精選實驗素材、改進實驗方式，能夠助推學生更好地進行數學實驗，發展學生的思維創造力。

2.學用數據說話，增進實驗信度。數學實驗的誤差，不僅是由實驗素材、實驗方式等因素造成的，更是由數學實驗過程中的數據影響造成的。教師要引導學生學會用數據說話，從而增進學生數學實驗的信度。在數學實驗的過程中，教師一方面要引導學生減少無關數據的影響，另一方面要引導學生對有效的實驗數據進行加工。比如教學“圓的周長”這部分內容，很多教師引導學生用滾圓法、繞圓法進行實驗，在計算圓的周長和直徑的商時會發現，盡管學生實驗非常注重細節，但計算結果中圓的周長仍然不是直徑的3倍多一些。基于此，筆者在教學中這樣處理學生的實驗數據：讓學生將彼此量出的圓的周長、直徑的實驗數據相加，形成“大數據”，然后引導學生計算一個小組、一個大組乃至于全班量出的圓的周長、直徑的實驗數據的平均數。在此基礎上，引導學生計算圓的周長和直徑的商，這樣就能將學生在實驗過程中出現的各種不同的誤差減小，從而讓圓的周長和直徑的商非常接近3.1。在數學實驗過程中，教師要擴大數據選取范圍，選擇具有代表性的數據，從而引導學生會用數據說話、善用數據說話。

3.注重實驗細節，提升實驗效能。細節決定成敗。在小學數學實驗教學中，教師要引導學生關注實驗細節。有時候，一個不起眼的細節，往往就是影響學生實驗效能的關鍵所在。在數學實驗中，教師要引導學生反思實驗成敗的原因，培育學生的反思性學習品格。比如教學“可能性”時，筆者安排了學生開展摸球實驗，部分學生摸球的結果與猜想大相徑庭。為此，筆者引導學生檢視自己的實驗過程：為什么摸球的結果與預設的摸球結果不一致？經過深度分析，學生發現了許多細節性問題，諸如在每一次摸球前沒有搖一搖袋子，讓球體分布均勻；摸球的次數不夠多等。當學生改進了實驗細節之后再次進行數學實驗，結果發現，實驗結果越來越接近實驗預設。在這一過程中，學生感悟到實驗細節決定實驗成敗，當實驗結果、實驗數據遇到問題時，要多方面找尋原因，尤其是要尋找細節方面的原因。注重實驗細節，就能從整體上提升數學實驗的效能。

誤差不可避免，因而應對學生數學實驗中的誤差是一項永恒的工作。誤差也可以成為學生學習數學重要的課程資源之一，成為教師重要的教學資源之一。只有這樣，才能有效地引導學生進行數學實驗，幫助學生分析實驗數據，提升學生的數學實驗判斷和推理能力，培養學生的實驗素養！