提高永磁同步電機魯棒性的有源阻尼控制方法

孫明翰

(北京工業大學 信息學部，北京 100124)

0 引 言

永磁同步電機具有功率密度大、結構簡單、損耗小、控制性能好的特點，在電機控制領域中應用廣泛[1-3]。隨著當今社會對于環保問題的日益關注，越來越多的學者投入到了永磁同步電機的研究行列。對于控制精度及性能的進一步提高，永磁同步電機在控制結構及控制算法方面的研究就越來越重要[4-5]。在永磁同步電機之前串入LC濾波器可以有效地濾除諧波，但是由于帶LC濾波器的永磁同步電機屬于高階系統，容易發生諧振尖峰等問題，進而造成系統的控制性能下降。采用有源阻尼是當前比較常用的一種抑制諧振的方式[6-7]。

文獻[8]指出數字控制引入的控制延時對于LCL并網逆變器有源阻尼控制方法有很大的影響，使得有源阻尼方法等效在濾波電容上并聯電阻與電抗，電阻不再是純粹的電阻，而是一個與頻率相關的阻抗。文獻[9-10]指出LCL并網逆變器采用傳統的電容電流反饋有源阻尼方法時，在諧振頻率高于1/6倍開關頻率時，等效阻尼電阻的方向由正變為負。而且當諧振頻率等于1/6倍開關頻率時難以通過反饋系數實現系統的諧振抑制。

電機在運行過程中系統的參數會因其運行溫度而發生改變，其中電樞電阻約變化20%～40%，電感約變化20%～50%[11-12]，電機參數的變化會導致諧振頻率發生變化，從而使得諧振頻率跨越1/6倍開關頻率進入負阻性區間，降低了系統的魯棒性。

本文利用復阻抗法推導了前置LC濾波器永磁同步電機用有源阻尼方法時控制延時所帶來的虛擬電阻和虛擬電抗的影響。提出一種帶有補償系數的延時補償方法，通過降低系統的控制延時來應對電機參數寬范圍變化的影響，提高了系統的魯棒性。

1 前置LC濾波器永磁同步電機電容電流反饋拓撲結構

1.1 主電路拓撲結構

前置LC輸出濾波器的永磁同步電機電容電流反饋有源阻尼拓撲結構如圖1所示。圖1中，Udc為母線電壓，idc為母線電流，逆變器為三相橋式逆變電路，永磁同步電機前置LC濾波器進行濾波處理，Lf為濾波電感，Cf為濾波電容，PMSM為永磁同步電機。

圖1 前置LC輸出濾波器永磁同步電機控制系統

1.2 系統控制結構

為了簡化分析，忽略電壓外環，僅分析電流單閉環結構，在兩相靜止坐標系采用空間矢量脈寬調制算法，電流環控制器采用PI調節器，如圖2所示。

圖2中，Gpi(s)為電流環調節器，KPWM為逆變器的傳遞函數，Gd(s)為控制器及計算過程中所產生的延時總和，K為電容電流反饋系數。

圖2 電容電流反饋有源阻尼電流環控制框圖

數字控制會引入固有的控制延時，它包括采樣與計算產生的一拍滯后和零階保持器產生的半拍滯后，兩者分別被稱作計算延時和脈寬調制延時。

計算延時可以表示：

Gdelay(s)=e-sTs

(1)

脈寬延時為數字PWM過程，具有零階保持器的特性，可以表示：

(2)

由式(1)、式(2)可得，電容電流反饋有源阻尼總的等效控制延時：

Gd(s)=Gdelay(s)·GH(s)

(3)

2 考慮控制延時下電容電流反饋有源阻尼虛擬電阻與電抗的影響

考慮控制延時情況下，有源阻尼等效虛擬阻抗在LC濾波器諧振頻率處的特性實際上是影響有源阻尼控制穩定性的關鍵因素，因此有必要對虛擬阻抗在不同頻率區間所表現出來的特點進行研究。

前置LC濾波器永磁同步電機電容電流反饋有源阻尼方法的控制對象等效為圖3。

圖3 有源阻尼的控制對象

為詳細分析前置LC濾波器永磁同步電機電容電流反饋有源阻尼方法對于諧振頻率的作用效果，以下對虛擬電阻的正負阻性，虛擬電抗的感性容性做了如下分析。

2.1 虛擬等效電阻對諧振抑制的影響

本文僅討論等效電阻對諧振抑制的效果，因此在圖3中忽略等效電抗Xeq，根據復阻抗法分析傳遞函數，認為(Lq+R)與(Req//Cf)并聯。

(4)

可得有源阻尼等效電阻的控制對象QactivedampR：

(5)

式中：Req為等效電阻；R為電機定子電阻；Lf為濾波電感；Cf為濾波電容；Lq為電機電感。等效電阻Req的正阻性特性對于諧振抑制具有抑制作用，將s=jω代入式(5)中可得：

QactivedampR(jω)=

(6)

為體現有源阻尼對于諧振的抑制效果，令：

Lf+Lq=LfLqCfω2

(7)

將ω=2πf代入式(7)，可得實際的諧振頻率：

(8)

虛擬電阻分析中諧振頻率為固有參數，不含等效電阻Req，電阻的正負特性不會導致系統的諧振頻率的移動。當諧振頻率如式(8)時可以有效地抑制諧振，此時的QactivedampR如下：

(9)

當等效電阻Req<0時，參考文獻[13-14]計算虛擬電阻的方法，代入得到虛擬電阻，顯然式(5)中右半平面存在開環極點，系統由最小相位系統變為非最小相位系統，系統不穩定，因此應該避免有源阻尼等效電阻的阻性由正阻性變為負阻性。

2.2 虛擬等效電抗對諧振頻率的影響

由于等效電阻僅起到諧振抑制的作用，對于諧振頻率的移動并無影響，故這里忽略等效電阻，僅考慮虛擬電抗呈現感性的情況，呈容性和以下分析一致。

根據復阻抗法，可得有源阻尼等效電抗的控制對象QactivedampL如下：

同理，為分析等效電感對于系統諧振頻率移動的影響，將s=jω代入上式：

QactivedampL(jω)=

(11)

令：

LfLeq+LfLq+LqLeq=LqLeqLfCfRω2

(12)

等效電感Leq影響下的諧振頻率：

(13)

電抗呈感性時系統的諧振頻率發生右移，相同的分析可以得到電抗呈容性時會使得諧振頻率左移。

上述分析中，有源阻尼等效電阻呈正阻性可以有效地抑制LC濾波器產生的諧振，但當等效電阻呈負阻性時，系統由最小相位系統變為非最小相位系統進而失去了穩定性。等效電抗的感性或容性會導致系統諧振頻率的移動。

3 電容電流反饋有源阻尼穩定性分析

前置LC濾波器永磁同步電機采用電容電流反饋有源阻尼方法電流環開環傳遞函數如下式：

(14)

文獻[11-12]中提到的電機在運行過程中，電機的參數會因其運行溫度而發生改變，其中電樞電阻約有20%～40%的變化，電感出現20%～50%的變化。

3.1 定子電阻和電感的變化對系統穩定性的影響

為了驗證定子電阻與電感給系統穩定性帶來的影響，分別討論定子電阻與電感不發生變化，定子電阻與電感分別變為1.2Rs與0.8Lq，定子電阻與電感分別變為1.4Rs與0.5Lq三種情況，三種情況下開環傳遞函數Gopen(s)的Bode圖如圖4所示，在穿越-180°線時相位裕度增加以及相位裕度減小的方向分別用下標(+)和(-)表示。

圖4 不同電阻電感下采用數字控制開環傳遞函數Bode圖

圖4中，幅值曲線與相頻曲線分別以0為縱軸分界點，相頻曲線由低角度向高角度穿越-180°線稱之為正相角穿越，由高角度向低角度穿越180°線為負相角穿越。根據正負穿越的次數不同可以將正負穿越分為N+和N-，根據奈奎斯特穩定性判定定理，若2(N+-N-)=P,系統為穩定的，否則系統處于不穩定狀態[15-17]。

通過開環傳遞函數式(14)，系統在右半平面的不穩定極點P的個數始終為0，當電阻和電感不發生變化時，開環傳遞函數幅值曲線0以上部分所對應的頻率區間中相頻曲線未穿越-180°線，N+=N-=0，此時2(N+-N-)=P=0。若電機定子電阻變為1.2Rs，電感變為0.8Lq時，幅值曲線0以上部分對應頻段相頻曲線沿相位減小的方向穿越-180°線，此時N+=0，N-=1，2(N+-N-)P，系統不穩定。若電機定子電阻變為1.4Rs，電感變為0.5Lq，同理根據奈奎斯特穩定性定理判斷系統同樣不穩定。

3.2 等效電阻正負分界頻率的計算

從圖4中可以看出，前置LC濾波器永磁同步電機用電容電流反饋有源阻尼的情況下存在臨界穩定的分界頻率fR，當諧振頻率frfR時，相頻曲線穿越-180°線，此時根據奈奎斯特穩定性判據可以判斷系統為不穩定。為找出臨界穩定的分界頻率與開關頻率的關系，列出表1。

表1 不同定子電阻與電感情況下的諧振頻率與開關頻率的比值(開關頻率fs=10 kHz)

利用Bode圖的穩定裕度的臨界穩定，即幅值裕度與相角裕度均為0，此時需要滿足以下條件：

(15)

即滿足：

G(jωR)φ(ωR)=-π

(16)

將ω=2πf代入式(16)可得：

G(j2πfR)φ(2πfR)=-π

(17)

可以解得臨界穩定的分界頻率fR：

(18)

將電阻正負分界頻率與電抗Xeq的感抗容抗區間作了區分，如表2所示，其中fR為阻抗Zeq的等效電阻Req的正負分界頻率，fx為等效電抗Xeq的感抗容抗分界頻率。

表2 電容電流反饋有源阻尼阻抗特性分析

據前面分析，電容電流反饋有源阻尼的正阻性區間為(0,1/6fs)。在這個基礎之上由于電機參數的變化以及有源阻尼等效電抗所呈現的容性或感性，導致諧振頻率跨越1/6fs，等效電阻進入負阻性區間，失去了阻尼的有效性。

另一方面，開環傳遞函數的幅值曲線由于電機參數的改變不僅僅導致諧振頻率移動，且會使幅值曲線上升，使得幅值裕度小于0，兩方面原因使得系統不再穩定。

4 帶補償系數的延時補償方法

為了改進之前提到的控制延時所帶來的不利影響，提高系統的控制性能，本文提出了一種帶補償系數的延時補償環節，來降低延時對有效阻尼區的負面影響，補償環節如下式：

Gcomp(s)=λesTs

(19)

控制框圖如圖5所示，區別于圖2，將延時補償環節加入前向通路來降低延時。

圖5 帶補償環節的電容電流反饋有源阻尼電流環控制框圖

4.1 改進的電容電流反饋有源阻尼系統有效阻尼區

將圖5中電容電流反饋比較點及引出點后移，得到如圖6所示的并聯在電容兩端的等效阻抗圖[18-19]。

圖6 帶補償環節的電容電流反饋有源阻尼電流環等效控制框圖

其中，等效阻抗Zeq(s)變化：

(20)

等效電阻Req和電抗Xeq變化：

(21)

根據式(21)將等效電阻Req與等效電抗Xeq的頻率特性列出，如表3所示。

表3 帶反饋環節電容電流反饋有源阻尼阻抗特性分析

相比于未加補償環節，等效電阻Req的正負電阻的分界點從1/6fs變為了1/2fs，使得有效阻尼區擴大了3倍。電機參數的變化使得諧振頻率至多移動到3.09 kHz附近,系統的開關頻率為10 kHz，等效電阻不會變為負阻性，解決了電機運行過程中參數變化導致系統諧振頻率穿越正負電阻分界點。

4.2 改進之后的系統穩定性

根據圖6，加入相位補償環節Gc(s)后的開環傳遞函數：

G′open(s)=GPi(s)Gd(s)KPWMGc(s)GL(s)Gm(s)·

(22)

圖7為加入補償環節Gcomp(s)以后，考慮最惡劣的情況下，也就是電機電阻變化40%、電感變化50%情況下的Bode圖。

圖7 補償系數對于電阻與電感變化最大情況下影響的Bode圖

系統在右半平面的不穩定極點數P的個數始終為0。補償系數λ=1時，此時的系統雖然加入了延時補償esTs，但是N+=0，N-=1，2(N+-N-)P，系統不穩定；當補償系數為0.5時，2(N+-N-)P，仍不穩定；當補償系數λ=0.1時，0以上不再出現180°線穿越，系統穩定。隨著補償系數的加入，降低幅相曲線，增大了穩定裕度，同時考量快速性與穩定性的基礎上選擇將補償系數λ設為0.1。

5 控制系統仿真驗證

為了驗證本方法的正確性與可行性，利用MATLAB/Simulink軟件對前置LC濾波器永磁同步電機用電容電流反饋有源阻尼方法控制系統進行建模，并對本文的方法進行了仿真驗證，電機的各項參數如表4所示。

表4 永磁同步電機系統參數

當電容電流反饋系數K=0.13時，電流環Kp=0.1，Ki=1 500，0.5 s時電機電阻與電感不變、電阻和電感分別變化20%與20%、電感與電感分別變化40%與50%三種情況的電流仿真波形如圖8～圖10所示。

圖8 電阻與電感不發生變化電流波形圖

從圖8中可以看出，電機電阻和電感不發生變化時，A相電流波形為正弦波形，系統可以穩定運行。但在圖9與圖10中電機參數發生變化時，電流波形均出現發散，變化越大，發散程度越嚴重，與理論分析一致。

圖9 0.5 s電阻與電感分別變化20%與20%電流波形圖

圖10 0.5 s電阻與電感分別變化40%與50%電流波形圖

電機電阻和電感分別變化40%和50%的情況下加入補償環節，電流波形如圖11所示，可以看出，在0.5 s處對于電流波形基本沒有影響，原因是電阻和電感無論如何變化都不會使得諧振頻率移動至負阻性區間，改善了系統在對于電機運行過程中電機參數變化所帶來的負面影響，提高了系統的穩定性與魯棒性。

圖11 加入補償環節之后0.5 s電阻與電感分別變化40%與50%電流波形圖

通過圖12和圖13可以看出，A相電流的總諧波失真，從5.06%變為了2.12%，減少了60%，降低了諧波分量，提高了控制性能。

圖12 未加補償環節時A相電流THD

圖13 加入補償環節后A相電流THD

為討論快速性與穩定性，圖14、圖15分別討論了未加補償環節與加入補償環節對于電流環q軸電流的跟蹤能力。

圖14 未加補償環節時q軸電流

圖15 加入補償環節時q軸電流

未加補償環節時，對于初始15 A給定電流的跟蹤時間大約為0.02 s，但出現約6%的超調，且電流波動約為0.3 A，在0.5 s對于10 A電流的跟蹤時間為0.02 s。加入補償環節之后，對于初始15 A給定電流的跟蹤時間約為0.15 s，未出現超調，且電流波動約為0.1 A，在0.5 s對于給定波形的跟蹤時間為0.1 s，從以上兩方面可以看出，加入補償環節后動態性能稍受影響，但穩態性能有顯著提高。

6 結 語

電機在運行過程中電機的電阻和電感會發生變化，使得諧振頻率移動進入到負阻性區間，而且還會帶來穩定裕度的降低，這兩方面都會降低電機運行的穩定性。本文提出了一種帶有補償系數的延時補償環節，一方面通過補償系數在兼顧系統快速性與穩定性的基礎之上提高系統的穩定裕度，另一方面通過延時補償，將等效電阻的正阻性區間由(0～1/6fs)拓寬為(0～1/2fs)，即便電機電阻變化40%、電感變化50%也不會使得諧振頻率移動到負阻性區間，提高了系統對于電機運行過程中參數變化的魯棒性，且諧波較小，控制性能有所提升。