變系數(shù)模型CVaR約束下最優(yōu)投資組合選擇
——基于非廣延統(tǒng)計理論

王繼霞,赫夢鈺

(河南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南 新鄉(xiāng) 453007)

投資組合選擇問題是金融領(lǐng)域中非常重要的核心問題之一.文獻[1]首次引入了單周期均值-方差方法求解最優(yōu)投資組合問題.文獻[2]將Markowitz的模型擴展到連續(xù)時間均值-方差組合選擇模型.文獻[3]研究了多周期投資組合選擇中均值-方差公式的最優(yōu)解析解，提出了一種最優(yōu)投資組合策略的有效算法.文獻[4]利用拉格朗日對偶方法和動態(tài)規(guī)劃方法研究了多資產(chǎn)風(fēng)險資產(chǎn)連續(xù)時間均值-方差投資組合選擇問題.文獻[5]研究了收益參數(shù)向量的估計問題.然而，在金融市場中，投資者往往會考慮一些交易限制，以進行有效的風(fēng)險管理.例如，文獻[6]提出不允許賣空下最優(yōu)消費和投資的對偶方法.文獻[7]在較高借貸利率約束下，得到動態(tài)均值-方差投資組合選擇問題最優(yōu)投資策略的顯式閉式解.文獻[8]利用VaR分析了最優(yōu)動態(tài)投資組合.文獻[9]研究了條件VaR約束下的消費投資組合問題.

然而，在上述模型中，資產(chǎn)的價格過程大都由經(jīng)典布朗運動驅(qū)動，其收益的分布為正態(tài)分布.現(xiàn)有文獻的實證結(jié)果表明，股票收益分布往往為正偏態(tài)分布，資產(chǎn)收益呈現(xiàn)厚尾特征，如文獻[10-11]等.為解決這一問題，很多研究者做了大量的工作.1988年，Tsallis引入了非廣延統(tǒng)計理論，非廣延統(tǒng)計理論是經(jīng)典Boltzmann-Gibbs[12]統(tǒng)計的推廣.文獻[13]將非廣延統(tǒng)計方法應(yīng)用于金融市場，來描述厚尾特征.文獻[14-15]分別將非廣延統(tǒng)計理論應(yīng)用于VaR約束和流動性約束下的投資組合選擇問題.文獻[16]研究了用非廣延統(tǒng)計理論對資產(chǎn)價格過程建模的最優(yōu)投資問題.文獻[17]討論了非廣延統(tǒng)計理論下具有非線性財富方程的連續(xù)時間均值-方差組合選擇問題.文獻[18]研究了重尾分布下延遲索賠風(fēng)險過程的精細大偏差.這些研究結(jié)果表明，非廣延統(tǒng)計方法能很好地適用于金融模型.

本文基于非廣延統(tǒng)計理論，主要研究時變系數(shù)模型在CVaR約束下連續(xù)時間最優(yōu)投資組合選擇問題.利用動態(tài)規(guī)劃原理得到HJB方程，并利用拉格朗日乘子法給出最優(yōu)策略的顯式閉式解.

1 市場模型與CVaR約束

考慮到風(fēng)險資產(chǎn)收益率的分布呈現(xiàn)厚尾特征，本文將非廣延統(tǒng)計理論應(yīng)用于風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程.假設(shè)S(t)為在時刻t的風(fēng)險資產(chǎn)價格過程.在濾子概率空間(Ω,F,(Ft)t≥0,P)上，S(t)滿足如下隨機微分方程

dS(t)=S(t)(μ(t)dt+σ(t)dΩ(t)),

(1)

(2)

假設(shè)金融市場存在m+1種資產(chǎn)，一種是無風(fēng)險債券，其價格過程S0(t)滿足如下的微分方程:

其中r(t)是t時刻的無風(fēng)險利率，T為投資的終止時間.另m種資產(chǎn)是股票，其價格過程滿足如下隨機微分方程:

令Xπ,c(t)為投資者的財富過程，則財富過程滿足如下的隨機微分方程：

Xπ,c(t)[(πT(t)μ*(t)-c(t)+r(t))dt+πT(t)σ(t)PqdB(t)],

(3)

其中‖·‖表示歐幾里得范數(shù).令

由伊藤公式，(3)的唯一解由下式給出：

其中Xπ,c(0)=X(0)為投資者的初始財富.對于一個固定的時間點t和足夠小的τ>0，由局部擬合方法(見文獻[19])，則對于s∈[t,t+τ],有r(s)=r(t),μ(s)=μ(t),σ(s)=σ(t),π(s)=π(t)和c(s)=c(t).這種局部擬合方法在金融市場是合理的，事實上，對于充分短的時間間隔，控制策略{π(t),c(t)},收益率和波動率不變.因此，在這些假設(shè)下，t+τ時刻的財富可以表示為

Xπ,c(t+τ)=Xπ,c(t)exp{H(t,π(t),c(t))τ+πT(t)σ(t)Pq(B(t+τ)-B(t))}.

因此在時間區(qū)間[t,t+τ]上的財富損失函數(shù)為

Lπ,c(t)=Xπ,c(t)-Xπ,c(t+τ)=Xπ,c(t)[1-exp{H(t,π(t),c(t))τ+

πT(t)σ(t)Pq(B(t+τ)-B(t))}],

(4)

定理1設(shè)Lπ,c(t)為(4)式中在時間區(qū)間[t,t+τ]上的財富損失，置信水平α∈(0.5,1],則可得

證明損失Lπ,c(t)的分布函數(shù)為

FL(x)=P{Lπ,c(t)≤x}=P{Xπ,c(t)[1-exp{H(t,π(t),c(t))τ+πT(t)σ(t)PqΔBt}]≤x}=

因此，損失的概率密度函數(shù)為

其中φ(·)表示標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，ΔBt=B(t+τ)-B(t).由定義，可得:

α=P{Lπ,c(t)≤VaRα}=P{Xπ,c(t)[1-exp{H(t,π(t),c(t))τ+πT(t)σ(t)PqΔBt}]≤

則有

則

因此：

下面將使用相對CVaR約束，即CVaRα(Lπ,c(t))/Xπ,c(t).令α*∈(0,1)為相對CVaR約束的基準參數(shù)，則相對CVaR約束如下:

(5)

2 HJB方程與最優(yōu)投資組合選擇

其中Et表示條件期望，Xπ,c(0)=X(0).因此，HJB 方程可以表示為

這里邊界條件V(x,T)=e-ρTU2(x).在本文中，令U1(x)=U2(x)=ln(x)U(x),有

則消費的效用函數(shù)為

對上式使用Fubini定理，可得:

因此，

對上述等式兩邊都取期望，可得:

同理可得:

則由(5)表示的CVaR約束下的優(yōu)化問題可以描述為

(6)

易知，優(yōu)化問題(6)等同于下面的優(yōu)化問題：

(7)

下面的定理2給出了優(yōu)化問題(7)的解，定義

定理2由(7)式給出的最優(yōu)化問題的解是

和

其中γ1為如下關(guān)于x的方程的根.

(8)

(9)

證明易知，目標函數(shù)是關(guān)于c(t)和π(t)的凹函數(shù)，可行域是凸的.定義拉格朗日函數(shù)為

其中λ(t)為拉格朗日乘子，設(shè)(π*,c*,λ*)為拉格朗日函數(shù)的KKT點，

當(dāng)Q(π(t),c(t))<α*時，(7)式中的最優(yōu)化問題簡化為下面的無約束問題

由條件，最優(yōu)解(πM(t),cM(t))滿足：

由一階必要條件，必存在一個唯一的拉格朗日乘子λ*，使得：

通過消除λ*,方程(9)成立，并且γ1由方程(8) 給出.定理2得證.

3 實證分析

本節(jié)中，通過實證分析來展示本文所得的結(jié)果.不失一般性，假設(shè)m=4，即選擇中國金融市場的4只股票的日收盤價數(shù)據(jù)，股票代碼分別為000800,601006,601933和601377，時間跨度都是從2013年1月1日到2017年12月31 日，數(shù)據(jù)來自Wind數(shù)據(jù)庫.

表1給出了4只股票收益的統(tǒng)計特征.從表1可以看出，4只股票的峰度系數(shù)分別為6.153 6,9.917 3,159.47 和131.58，它們均大于正態(tài)分布的峰度系數(shù)3.

表1 4只股票的基本統(tǒng)計特征

由4只股票的日收盤數(shù)據(jù)，可以分別計算出股票的收益和協(xié)方差矩陣：

μ=(0.095 7,0.088 3,-0.275 7,-0.162 0)T,

取置信水平α=0.95，α*=0.06，非廣延參數(shù)q=1.5，T=5(a)，利率r=0.018，另取折現(xiàn)因子ρ=0.018.取范圍τ=0.02，即一周左右.

圖1為在非廣延統(tǒng)計理論下不同時間無風(fēng)險資產(chǎn)的最優(yōu)投資組合.圖2為在非廣延統(tǒng)計理論下不同時間的最優(yōu)消費率.

從圖1可以看出，在無CVaR約束下，投資無風(fēng)險資產(chǎn)的財富占總財富的比例為常數(shù).在有CVaR約束時，在非廣延統(tǒng)計理論下，投資風(fēng)險資產(chǎn)的財富占總財富的比例不再是一個常數(shù)，隨著時間的變化，該比例逐漸降低.由圖2可以看出，有CVaR約束和無CVaR約束的最優(yōu)消費率相差很小.