基于Gumbel分布的熵風(fēng)險(xiǎn)度量的參數(shù)估計(jì)及漸近行為

嚴(yán)鈞，晏婉晨

(揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225000)

風(fēng)險(xiǎn)度量是基于經(jīng)濟(jì)自由化和全球化的背景下提出來(lái)的一個(gè)衡量金融風(fēng)險(xiǎn)的工具.Morgan投資銀行首次提出了在險(xiǎn)價(jià)值(Value at Risk,VaR)的概念，并建立了Risk Metrics風(fēng)險(xiǎn)控制模型用于計(jì)算VaR；文獻(xiàn)[1]全面闡述了VaR方法及相關(guān)應(yīng)用.VaR方法的優(yōu)點(diǎn)在于它能綜合考量各種市場(chǎng)的不確定性因素，將潛在的最大風(fēng)險(xiǎn)量化成具體值.隨著研究深入，學(xué)者們發(fā)現(xiàn)VaR存在一定缺點(diǎn).文獻(xiàn)[2]在此基礎(chǔ)之上提出一致風(fēng)險(xiǎn)度量；文獻(xiàn)[3]在一致風(fēng)險(xiǎn)度量的基礎(chǔ)上增加了凸性，提出凸風(fēng)險(xiǎn)度量；文獻(xiàn)[4-5]提出了條件風(fēng)險(xiǎn)度量(Conditonal Value at Risk,CVaR)，衡量超出VaR的那部分損失的平均值；文獻(xiàn)[6]引進(jìn)譜風(fēng)險(xiǎn)度量，研究有關(guān)譜風(fēng)險(xiǎn)度量的投資組合優(yōu)化的問(wèn)題.風(fēng)險(xiǎn)度量理論逐漸發(fā)展，一種新的關(guān)于信息熵的風(fēng)險(xiǎn)度量方法開(kāi)始引起學(xué)者的關(guān)注.

關(guān)于熵的概念，最早是由德國(guó)的物理學(xué)家Clausius于1865年提出，他將熱力學(xué)系統(tǒng)中熵的變化定義為在一個(gè)可逆過(guò)程中，輸入熱量相對(duì)于溫度的變化率，隨后Boltzmann將其延拓到統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中，他提出了Boltzmann公式，將熵作為系統(tǒng)“混亂程度”的度量，20世紀(jì)中葉，文獻(xiàn)[7]將熵的概念引入信道通信的過(guò)程中，開(kāi)創(chuàng)了“信息論”這門(mén)學(xué)科，Shannon定義的熵又被稱為“信息熵”.信息熵是消除不確定性所需信息的度量，起初被應(yīng)用于信息的傳輸問(wèn)題，后來(lái)逐漸被金融風(fēng)險(xiǎn)采納，用來(lái)建立投資組合的優(yōu)化模型等，隨后最大熵、Yager熵[8]等概念陸續(xù)被提出，奠定了信息熵的理論基礎(chǔ).由于信息熵刻畫(huà)了系統(tǒng)的不確定性，因此它與風(fēng)險(xiǎn)度量有著緊密的聯(lián)系.文獻(xiàn)[9]提出了熵風(fēng)險(xiǎn)度量(Entropic Risk Measure)，研究了它的一致性、凸性、大偏差等.熵風(fēng)險(xiǎn)度量在金融數(shù)學(xué)中是一個(gè)重要的風(fēng)險(xiǎn)度量，它可以為不同個(gè)體提供不同的風(fēng)險(xiǎn)值.

在實(shí)際的應(yīng)用中，風(fēng)險(xiǎn)對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量依賴于風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)，風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)未知的情況下我們需要進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，可以選取不同的估計(jì)方法，例如矩估計(jì)、最大似然估計(jì)、Bayes估計(jì)、非齊次信度估計(jì)等.除此之外，研究上述估計(jì)的極限性質(zhì)是非常有意義的.漸近行為是風(fēng)險(xiǎn)度量理論研究的熱點(diǎn)，它可以刻畫(huà)風(fēng)險(xiǎn)度量估計(jì)的大偏差原理、中偏差原理、漸近正態(tài)性等.

本文研究Gumbel分布條件下的熵風(fēng)險(xiǎn)度量估計(jì)量的漸近性質(zhì).首先，Gumbel分布是一種常見(jiàn)的極值分布，被廣泛應(yīng)用于海洋、水文、氣象、金融中，它可以計(jì)算不同時(shí)期的極端的高潮或低潮.Gumbel分布最初是根據(jù)極值定理導(dǎo)出的，因此它在涉及極值的計(jì)算和研究中有大量的應(yīng)用.文獻(xiàn)[10]利用基因表達(dá)程序設(shè)計(jì)和回歸模型對(duì)Gumbel分布的洪水頻率因子進(jìn)行預(yù)測(cè)，提出了確定洪水頻率因子的幾種預(yù)測(cè)模型；文獻(xiàn)[11]通過(guò)Farlie-Gumbel-Morgenstern(FGM)的Copula理論研究了經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中獨(dú)立索賠額假設(shè)的相關(guān)結(jié)構(gòu)；文獻(xiàn)[12]分析了海洋工程中年極值波高與相應(yīng)風(fēng)速的關(guān)系，基于Gumbel分布研究了它們的聯(lián)合分布模型；文獻(xiàn)[13]采用Gumbel和Weibull分布方法對(duì)科威特領(lǐng)海的實(shí)測(cè)波浪數(shù)據(jù)進(jìn)行了極端分析.

本文主要研究對(duì)象為熵風(fēng)險(xiǎn)度量，它的概念由F?llmer等人提出，定義如下.

定義1隨機(jī)變量X的水平為α>0的熵風(fēng)險(xiǎn)度量定義為[3]:

(1)

關(guān)于熵風(fēng)險(xiǎn)度量，前人做了大量研究，他們選取具有代表性的密度函數(shù)或者損失函數(shù)，對(duì)函數(shù)中的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并討論估計(jì)是否具有漸近最優(yōu)性.文獻(xiàn)[14]根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)度量的可接受集，對(duì)它們的表示形式進(jìn)行了研究，并給出了凸風(fēng)險(xiǎn)度量與一致風(fēng)險(xiǎn)度量的對(duì)偶表達(dá)形式，同時(shí)給出了條件熵風(fēng)險(xiǎn)度量以及它的對(duì)偶表達(dá)；文獻(xiàn)[15]提出了期望效用-熵風(fēng)險(xiǎn)度量的模型，借此來(lái)分析一類決策者的財(cái)富水平變化對(duì)他們風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的影響，并解釋了相應(yīng)的決策行為; 文獻(xiàn)[9]提出了熵風(fēng)險(xiǎn)度量和一致熵風(fēng)險(xiǎn)度量，對(duì)它們的性質(zhì)和應(yīng)用進(jìn)行了全面的闡述，同時(shí)給出了關(guān)于隨機(jī)變量的加和形式和一致熵風(fēng)險(xiǎn)度量的兩個(gè)極限性質(zhì)；文獻(xiàn)[16]將熵風(fēng)險(xiǎn)度量的理論引進(jìn)股票投資，提出一種與中國(guó)股票市場(chǎng)相適應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)度量方法；文獻(xiàn)[17]給出了熵風(fēng)險(xiǎn)度量的性質(zhì)和應(yīng)用，通過(guò)Log-Sobolev不等式等方法給出一致熵風(fēng)險(xiǎn)度量的偏差估計(jì)和漸近行為結(jié)果；文獻(xiàn)[18]提出了一種新的一致風(fēng)險(xiǎn)度量，即熵條件風(fēng)險(xiǎn)(Entropic Conditional Value-at-Risk,ECVaR)，展示了如何將一致風(fēng)險(xiǎn)度量應(yīng)用于實(shí)際的投資組合選擇問(wèn)題；文獻(xiàn)[19]研究了2種熵風(fēng)險(xiǎn)度量，即一致熵風(fēng)險(xiǎn)度量(Coherent Entropic Risk Measure)和凸熵風(fēng)險(xiǎn)度量，給出了最優(yōu)投資組合的決策理論分析.雖然學(xué)者們將各種模型與熵風(fēng)險(xiǎn)度量聯(lián)系在一起，做了大量研究，但是基于Gumbel分布的熵風(fēng)險(xiǎn)度量的研究相對(duì)較少.

若X服從位置參數(shù)為μ，尺度參數(shù)為β的Gumbel分布，則

1 Gumbel分布下熵風(fēng)險(xiǎn)度量的參數(shù)估計(jì)的中心極限定理

φij為φα1,α2的第i行，第j列元素，αk=E(Xk),k=1,2,3,4.

證明根據(jù)文獻(xiàn)[20]的結(jié)論，有

(2)

(3)

(4)

(5)

證明定理2的證明和定理1的證明類似.

證明定理3的證明和定理1的證明類似.

2 中心極限定理的圖像模擬

3 結(jié) 論