廣義隨機Volterra積分微分方程的截斷Euler-Maruyama方法的強收斂性

韋煜明,王艷霞,申芳芳

(廣西師范大學 數學與統計學院,廣西 桂林 541004)

Volterra積分方程被用于物理、力學、化學和工程等許多領域問題的建模,并且其理論和數值分析的研究受到了學者們的廣泛關注,見文獻[1-2]及其引用.然而現實世界中的現象通常會受一些不確定性因素的影響,于是隨機Volterra積分方程被應用于描繪具有不確定性物理系統的許多現象,從而隨機Volterra積分方程在諸如數學金融、生物和工程等領域有許多應用[3].但是近年來,建立有關現實生活中問題的模型通常需要考慮隨機Volterra積分微分方程[4],因此越來越多學者開始關注隨機Volterra積分微分方程的研究.例如,在文獻[5]中,研究了如下隨機Volterra積分微分方程的穩定性,

在文獻[6]中,將所得到的結果擴展到以下廣義的隨機積分微分方程,即：

本文將研究如下更廣義的隨機Volterra積分微分方程的數值解,

(1)

文獻[7]證明了對一些超線性的隨機微分方程,顯式EM方法在矩的意義下是發散的.因此,隱式方法通常被用于研究不滿足線性增長的隨機微分方程(見文獻[8-9]及其引用).但在研究非線性隨機微分方程的數值方法中,相比于隱式EM方法,顯式EM方法由于其具有代數結構簡單、計算成本低、收斂階比較理想等優勢而更吸引學者們的注意.因此,對非線性隨機微分方程也發展了一些改進的EM方法,如馴服EM方法[10-12],停時EM方法[13]和截斷EM方法[14]等.其中MAO[14]指出隨機微分方程的系數滿足局部Lipschitz條件和Khasminskii型條件時,截斷EM方法是強收斂的.由文獻[15]知廣義的隨機微分方程(1)在距的意義下經典Euler數值方法是發散的.因此,本文希望運用截斷EM方法來研究非線性隨機Volterra積分微分方程(1)在Lp意義下的強收斂性.

1 預備知識

(2)

為了得到方程(1)全局解的存在唯一性,需要給出如下假設：

(A2)存在常數p≥2和K>0,使得對所有x,y,z∈R都有系數f和g滿足

引理1[15]假設(A1)和(A2)成立,那么(1)存在唯一的解X(t),對任意T>0有

2 數值分析

2.1 截斷EM方法

給定一個步長Δ∈(0,1],定義一個截斷函數如(3)式所示:

(3)

|fΔ(x,y,z)|∨|gΔ(x,y,z)|≤φ(φ-1(ψ(Δ)))=ψ(Δ).

(4)

并且使用與文獻[16]類似的證明方法,可在假設(A2)成立的條件下有

(5)

(6)

將(6)式改寫為以下離散形式:

(7)

其中:

(8)

2.2 截斷EM方法的矩有界性

為了建立截斷EM方法的p階矩有界性,需要如下引理.

引理2對任意的Δ∈(0,1]和p>0,有

(9)

證明對任意Δ∈(0,1]和t≥0.存在一個唯一的整數k≥0使得tk≤t

由(4)式,對任意的t>0可得:

其中Cp表示與p有關的常數.對p∈(0,2)時,由H?lder不等式可證得(9)式成立.

引理3如果假設(A1)和(A2)成立,那么有

證明對任意0≤t≤T,對(7)式應用It公式得:

(10)

由(5)式,可以得到:

由引理2得:

結合Young不等式有

(11)

由(4)式、引理2、Young不等式和H?lder不等式可得:

(12)

將(11)式和(12)式代入(10)式可得:

應用Gronwall不等式可證引理成立.

根據引理1和引理3,可得對任意正整數R>|X0|,選取Δ*∈(0,1]使得ψ(Δ*)≥φ(R)成立.定義停時σR=inf{t≥0∶|X(t)|≥R}和ρΔ,R=inf{t≥0∶|xΔ(t)|≥R,},那么對任意Δ∈(0,Δ*],

(13)

2.3 截斷EM方法的強收斂性

定理1假設(A1)和(A2)是成立的.那么對任意q∈[2,p),有

證明該定理的證明類似于文獻[14]中定理3.5,主要應用引理1、引理2和引理3,并結合文獻[17]的主要結果即可證明該定理.因此,為了避免重復,故定理的證明略.

2.4 截斷EM方法的收斂速率

引理4假設(A2)～(A5)成立,則對任意的q∈[2,p)和qγ

其中R>|X0|為一個實數,σR和ρΔ,R與(13)式中的定義相同且

證明選取Δ*∈(0,1]使得ψ(Δ*)≥φ(R)成立.對任意t∈[0,T],由It公式可得:

因此,E(|eΔ(t∧θΔ,R)|q)≤H1+H2,其中:

首先,對H1應用假設(A3)和Young不等式,可得:

根據H?lder不等式,假設(A5)和引理1,對任意Δ∈(0,1]

同理,也可得到:

因此,將分析結果代入H1并整理得:

下面對H2應用Young不等式,H?lder不等式和假設(A4)可得:

又由引理2和H?lder不等式得:

類似地

最后由Gronwall不等式,引理得證.

證明根據文獻[14]中定理3.5證明的類似推導過程,可得:

(14)

因此,由(14)式可知

(15)

3 數值算例

在本節,將用如下例子來說明定理2的理論結果.

例1考慮如下t≥0的隨機Volterra積分微分方程

(16)

顯然有

即假設(A4)成立.又因為

所以假設(A3)是成立的.此外,對p≥2,有

1)x4+2(p-1)y2+2(p-1)z2≤p(p+2)(x2+y2+z2).

因此,假設(A2)成立.注意到對所有的r≥1,有

(17)