讓“雞兔同籠”改頭換面

山東東明縣馬頭鎮實驗小學（274507） 王化山

解決“雞兔同籠”這一經典問題的方法很多，除了可以用拼湊法、繪圖法、列表法等傳統方法，還可以用假設法、邏輯推理法等來解決。不過，對五年級學生來說，他們也有一點得天獨厚的優勢，那就是剛剛學會了簡易方程。對此，筆者便讓學生現學現賣，教授他們運用解方程來應戰“雞兔同籠”問題。

在新授課時，問題也隨之而來。筆者發現學生掌握解決問題的技巧后，課堂作業上卻無相關練習題可供訓練。因為復習鞏固必不可少，所以筆者通過互聯網搜索相關例題和訓練題，但這些現成的例題都過于陳舊。于是某位前輩的忠告浮現在筆者耳畔：“‘雞兔同籠’無非就是一個兩積之和的數學模型，只要摸清這個模型的原理，就可以變化無窮，題目編之不盡。”作為數學教師，要搞清楚“雞兔同籠”問題的真面目，也就是其背后的數學本質是什么。我們要求學生能夠融會貫通，對其背后的數學模型解構游刃有余，那么教師更應該做到揮灑自如。反過來想，依據“ax+b（c-x）=d”的初始模型，可以先給每個字母賦值，然后配備現實情境，最后編寫出形態各異的習題，豈不是更有趣？于是，筆者立即著手編題。

一、壓歲錢、書法、電子產品，與時俱進

“雞兔同籠”問題其實是一個模式問題，可以衍生很多變式，而這些變式如果仍然停留在動物的頭數和腿數，或者拘泥于一些日常生活中常見的物品，如桌椅數和桌椅腿數，那么勢必會降低學生學習的興趣。學生在單調乏味的情境中很難產生解題的動機和興趣，也很難自發地尋找當前情境與雞兔情境中頭數和腿數的對應關系，即使自主地與“雞兔同籠”問題產生類比，也會生搬硬套，形成思維定式。而如果換成與現代生活密切相關的素材，情況則大為改觀。

習題1：2021 年伊始，劉華一共收到了3500 元壓歲錢。這些壓歲錢都裝在紅包里，其中100 元的紅包和200元的紅包一共有10個，兩種紅包里的壓歲錢共計1800元。那么，劉華收到100元的紅包和200元的紅包各幾個？

【編寫意圖】從學生感興趣的壓歲錢說起，代入感強，學生易于接受。即使不能運用方程解決，學生也能湊出答案。該題有一個多余信息——3500元，需學生自行發現，并搜集有用信息代入模型，列式為100x+200（10-x）=1800。

習題2：王爺爺酷愛書法，在朋友的推薦下，王爺爺花392元買了兩套書法字帖，一共21本。一套是《啟功楷書字帖》，每本26 元，另一套是《啟功隸書字帖》，每本12 元。請問王爺爺購買的這兩套書法字帖各有幾本？

【編寫意圖】教育部發布的《中小學書法教育指導綱要》要求，從2013 年春季開學始，書法教育將納入中小學教學體系。另外，練習書法貼近生活實際，能讓學生產生共鳴。代入模型后，列式為26x+12（21-x）=392。

習題3：2021 年春節，某福利院獲得商家捐贈的點讀機和兒童智能手表共100套，總價14000元。其中，點讀機每套500元，兒童智能手表每套50元。點讀機和兒童智能手表各有幾套呢？

【編寫意圖】本來此題的原意也是想從購物著手，但為了避免和學習文具重復，于是換成了學生喜愛且熟悉的電子產品，類似的有關電子設備的題目也可以編成“雞兔同籠”的習題。同樣代入模型，得到500x+50（100-x）=14000。

習題4：超市搞新年促銷活動，李阿姨搶購了很多食品，其中純牛奶和豆奶一共買了5 箱，共計84 盒。已知純牛奶每箱12 盒，豆奶每箱24 盒。請問李阿姨買的純牛奶和豆奶各有幾箱？

【編寫意圖】筆者編寫此題的本意是想考查學生對“毫升”“升”等容積單位的理解和運用，但是考慮到第十冊才學到，所以暫時作罷，換成盒數。代入模型后，列式為12x+24（5-x）=84。

壓歲錢、書法字帖、電子產品、超市購物……這些都不再是新瓶裝舊酒，而是徹底改頭換面，學生可以擺脫雞兔模式的束縛，通過對“雞兔同籠”問題的公式解構來重新設計新的解題思路。不僅如此，不斷更換新的情境，學生就要在不同的情境間穿梭切換，而且每次都需要重新思考，有效避免了思維的機械重復。同時，不同情境下的解法又有著異曲同工之妙，學生會在不知不覺中歸納出一套自己的解法，形成獨特的經驗。

二、直播、游樂園、裝修，盡在其中

習題5：某網絡主播在平臺直播帶貨，賣的是某品牌燕窩。主播賣出一箱“白燕”平均要花20秒，賣出一箱“紅燕”平均要花15秒。該主播連續2分鐘不間斷地直播后共售出7 箱燕窩。請問他售出的“白燕”和“紅燕”各幾箱？

【編寫意圖】直播帶貨也可以入題，直播帶貨可謂“時間就是金錢”，利用好直播時間，時間單位也可以用來編成“雞兔同籠”問題，再次讓學生看到“雞兔同籠”問題情境的時髦性和多樣性。該題應先換算時間單位，2 分=120 秒，代入模型后，列式為20x+15（7-x）=120。

習題6：寒假里，韋丹家一行5 人去游樂園游玩，成人門票每人260 元，兒童門票每人200 元，買門票一共花了1180 元。請問韋丹家有幾個成人和幾個兒童一起去了游樂園？

【編寫意圖】游樂園是學生感興趣的話題，可緊緊抓住學生的好奇心。本題列式為260x+200（5-x）=1180。

到此為止，絕大多數學生都能順利解決以上六道習題。

習題7：李叔叔家正在裝修，客廳地面用兩種規格的方形地磚鋪成。一種地磚邊長是0.4 米，另一種地磚邊長是0.8 米。已知客廳面積為24 平方米，共用去地磚60 塊。請問兩種規格的地磚各用了多少塊？

【編寫意圖】本題又換單位了，這次換成面積單位，許多學生解題時會忽略要先計算地磚的面積，再代入“雞兔同籠”模型，導致正確率直線下降。邊長0.4米的地磚面積為0.4×0.4=0.16（平方米），邊長0.8 米的地磚面積為0.8×0.8=0.64（平方米），代入模型后，則有0.16x+0.64（60-x）=24。

如果說創新情境、緊跟時代是為了激發學生的探究興趣，讓“雞兔同籠”這一古老問題煥發出新的生機，那么習題7 中的“鋪地磚”情境就是為了將代數問題與幾何問題掛鉤，實現學科內不同分支的融合。“雞兔同籠”問題本是代數問題，但是通過一定的轉化，可換裝成幾何問題。學生通過計算地磚的面積來推算需要的塊數，這樣一來，學生所掌握的幾何知識就可以遷移到代數問題中，憑借幾何知識來加深對算術問題的理解，可謂“他山之石，可以攻玉”。買門票是生活中常見的情境，但過去這類情境多用于方案設計，通過規劃和計算比較哪種購票方案最省錢，而習題6 則是讓學生通過總票價和單價推算出兒童票和成人票各有幾張，這種用熟悉情境編寫新問題的做法，可以讓學生較快進入狀態，并摸清解題線索，且不受原有題型的負遷移影響。

三、健身、環保、自駕，包羅萬象

習題8：寒假里，李強堅持健身。從2 月12 日到2月18日，他每天不是做一次俯臥撐就是做一次仰臥起坐。已知李強平均每次做俯臥撐145 個，平均每次做仰臥起坐20 個，這幾天他一共做仰臥起坐和做俯臥撐640 個。請問這幾天他做俯臥撐幾次？做仰臥起坐幾次？

【編寫意圖】這題意在提醒學生寒假不忘健身，因為題目沒有明示“雞兔”總“頭”數——做運動的天數，所以很多學生錯算成18-12=6（天），導致這道題正確率不高。正確的天數應為18-12+1=7（天），列式為145x+20（7-x）=640。

習題9：螞蟻森林熱度不減。快遞員小明和同事們組成的“綠化隊”打算在螞蟻森林“植樹”。計劃男員工每組植樹6 棵，女員工每組植樹5 棵。他們5 個組計劃一共植樹28 棵。請問男員工分為幾組？女員工分為幾組？

【編寫意圖】這道題意在告訴學生，涉及植樹情境的并非就是“植樹問題”，也可以是“雞兔同籠”問題。本題列式為6x+5（5-x）=28。

習題10：寒假里，李華和張陽相約去九寨溝游玩。李華開車20 分鐘到達目的地，張陽開車30 分鐘到達目的地。已知李華從家驅車抵達目的地再到張陽家一共是39 千米。如果李華和張陽各開一輛車，1 分鐘一共行駛了1550 米，請問他們的車每分鐘各行多少米？

【編寫意圖】這道題的正確率最低，學生可能是被“行程”繞暈了。另外，筆者刻意用分鐘做單位，一是因為學生尚未學會將分鐘數化為用分數表示的小時數，如30 分鐘換算成小時，20 分鐘換算成小時；二是想避開直接出示速度單位。本題的“雞兔”總“頭”數——李華和張陽分別開車到達目的地的路程之和，這個條件比較隱蔽，其實題目中已經給出，即39千米=39000米。將條件代入模型，列式為20x+30（1550-x）=39000。

任何學科的教學都講究三維目標，其中最難實現的就是“第三維”——情感態度價值觀，尤其是數學學科，很難滲透情感教育和道德教育。過去的“雞兔同籠”模型就遭到一些學者的質疑，說將雞和兔子放在一個籠子里飼養，這不符合養殖科學，也無法培養學生關愛動物和敬畏生命的悲憫情懷。而且，有的解法中甚至提到“假設每只兔子砍掉兩條腿，每只雞‘移植’兩條腿”，這種假設本身就違背珍愛生命的德育宗旨。現在，將題目換成書法、環保、健身等情境，就可以有效滲透德育教育，培養學生熱愛生命、珍視健康、保護環境、人與自然和諧共處的正確價值觀和世界觀，學生在學到數學知識的同時，也提高了道德水準，陶冶了情操。

以上十道例題，采用的情境形形色色，運用的數學知識點也很多，但是都有一個結構相同的內核。誠然，研究“雞兔同籠”問題的價值不能拘泥于雞兔本身，而在于這個模式下的數學推理規則，讓學生在建模的過程中體會問題條件與問題邏輯之間的關聯以及各個數量的結構框架，這才是設計“雞兔同籠”問題的目的——訓練學生的思維能力，塑造學生的數學思想方法，用數學來開啟學生智慧的大門。