在變中求不變，以不變應萬變
——“變與不變”思想在小學低段數學教學中的滲透與實踐

張亞新 浙江省杭州市安吉路良渚實驗學校

數學問題千變萬化，但是萬變不離其宗，許多問題可以通過對比找到其中變化的量，通過變化來激活學生的思維，發現一定的數學規律，對問題進行深入思考，從而把握問題的本質，再以不變的本質應對萬變的形式以及具體問題。

《義務教育數學課程標準》明確提出學生能“獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”，在我們平時的教學實踐中尤其是低段教學中，對于基礎知識和技能，教師往往是比較重視的，也比較容易把握教學目標，但一些教師可能就不會再有所延伸或者拓展，這樣很容易忽視學生數學思想的培養。而在后面高段學習中，其實數學思想的體會與運用尤其重要。低段學生可能對復雜深度的數學思想理解有困難，但是教師不能“知難避難”，應該結合低段學生的年齡特點設計課堂教學，采用簡單活潑的活動形式讓學生初步感悟以及理解數學的基本思想與方法。

“變與不變”思想是小學數學的學習中一個重要的思想方法，許多數學問題的解決正是運用了這種思想。在小學數學教材中，“變與不變”的思想貫穿所有年級，也有很多“變與不變”的素材值得教師好好學習利用，促使學生獲得基本的數學思想。下面，從筆者的幾個教學案例看如何在小學低段的教學中滲透“變與不變”的數學思想。

一、“變與不變”思想在教學中的實踐

（一）運用“變與不變”思想體會數學概念

在小學數學的教學當中，數學概念是基礎知識，也是教學的核心內容，想要學習好數學的內容，前提是要有對數學概念的正確理解。數學的概念比較抽象難懂，小學數學學習中概念性知識比較多，小學生尤其低段學生由于其年齡特點，很難長時間集中注意力，對概念性內容興趣不高，可能會感覺枯燥乏味。在教學中，教師應該一邊滲透“變與不變”思想，一邊把學生的認知以及教學要求緊密地結合起來。在數學問題中可以找出其中的不變量，利用這些不變量來引導學生觀察分析變化量，學生在觀察分析對比的過程中，了解概念的內涵，能夠更好地體會概念的本質，并將之內化為自己的知識和經驗，靈活運用到解決問題的具體情境中去。

教學片段1：二年級《有余數的除法》（初步認識余數）

師：小朋友們，看看你們桌上有什么啊？

生：一堆小棒。

師：今天我們用這些小棒來研究一些數學問題。如果用這些小棒搭正方形，可以搭幾個？會有剩余嗎？有剩余的話會剩幾根呢？

學生猜測搭正方形可能是1 個、2 個、3 個、4 個……會剩下小棒7根、8根、3根、2根、1根、5根……教師直接把結果記錄在黑板上。

師：同桌兩人合作擺一擺，把擺出的結果寫在這張記錄表上。記錄表你們能看懂嗎？看不懂的舉手。

生：能看懂。左邊一列是小棒的根數，中間讓我們寫可以搭幾個正方形，右邊一欄寫剩了幾根小棒。

師：現在怎么填都明白了嗎？好，開始吧！

師：看看這個小組得到的結果，你們都是這樣的嗎？

生：是的，跟他們一樣的。

出示課件（圖1）

圖1

師：看，你們是不是這樣擺的？再看看這些剩余小棒的數量，它們有什么特點呢？

生：有剩1根的，還有剩2根、3根的。

生：有剩余的話，剩余的數量都是1根、2根、3根，沒有其他的了。

師追問：你觀察得真仔細。為什么沒有你們剛剛猜的4根？5根？誰能講清楚這個問題？

生：因為剩下4 根，就又能擺一個正方形了，如果剩5 根的話，可以再擺一個正方形還剩一根。所以剩不下4根，5根。

師：他說的你們聽懂了嗎？誰再來說一說。

師追問：他很會思考，再想想會不會剩6根、7根？

生：沒有，6根的話可以再擺一個正方形，剩2根。7根的話可以擺一個正方形，剩3根。

師：所以大家思考一個問題，擺一個正方形，最多會剩幾根小棒呢？

生：最多剩3根。

通過動手擺一擺、填一填，學生發現了剩余小棒數量是1 根、2 根、3 根，因為小棒總數是在變化的，所以剩余小棒數量變化了也不奇怪。但是為什么剩余的一直是1根、2根、3根？這時通過追問“剩余小棒的數量有沒有可能是4 根、5 根、6 根、7 根？”引發學生的思考，得出剩余小棒的數量即使再變化也不可能超過3 根，因為超過3 根后，又可以擺成正方形了。設計“用一些小棒搭正方形，可以搭幾個”的學習任務，組織引導學生在動腦猜想、動手操作的基礎上進行觀察、分析和比較，感知余數的產生以及余數的直觀意義。

教師在探索一些數學概念的過程中，要敢于試著創設多層面、多角度的數學情境，引導學生在豐富多彩的情境中辨析并且感悟“變中有不變”的思想，從研究對象中舍棄特殊的、非本質的屬性，得到相通的、本質的屬性。例如，在教學“幾分之一”這節課時，要引導學生深入體會分數的意義。課堂上可以設計一個小活動：你能用一張正方形紙折出它的四分之一嗎？學生自己動手去折去探索，活動完后全班一起分享自己折的“四分之一”。可能會有如圖2所示的以下的幾種情況。

圖2

教師追問：這些都表示四分之一嗎？按照平均分的理論，把一個物體平均分成4份，取其中的一份就是表示四分之一，這個分數是相同的，但是它出現的形式變了。利用豐富的數學素材或者情境鞏固幾分之一的概念，不管形式怎么變化，它的意義沒有變，這個分數也就沒變。因此在教學過程中，教師要充分注重數學思想和方法的科學準確應用，促進學生對數學概念的真正理解。

（二）運用“變與不變”思想感受數量關系

教學片段2：研究除數與余數的關系

師追問：剛剛我們是擺正方形，如果是擺五邊形的話，可能剩幾根？

學生回答：可能會剩余1根、2根、3根、4根。

師：所以擺五邊形，最多剩……4根。

師追問：那擺三角形呢？

生：1根、2根，最多剩2根。

師：用小棒擺正方形，最多剩3 根；五邊形最多剩4 根；三角形最多剩2 根。那擺圖形時剩下的小棒根數和圖形的邊數有什么關系呢？你們能總結嗎？

生：剩余小棒根數少于圖形的邊數。

在剛剛的基礎上改變拼搭的圖形，實質上就是改變了圖形的邊數即算式里的除數，讓學生進一步想象、推理：用這些小棒搭三角形、五邊形、六邊形等多邊形，剩下的小棒根數和圖形的邊數之間有什么關系。學生會發現即使圖形在變、剩余小棒數量在變，但是他們對應的大小關系不變，在具象理解的基礎上再抽象成算式，并能用除法的模型進行初步建構與擴展，進一步體會除數與余數之間的關系。

圖3

教學片段3

師：繼續觀察這組算式，你有什么發現嗎？這里哪些不變，哪些是在變化的？

生：除數都是4。被除數在變大。

生：余數總是1，2，3。還有一些余數是0。

師：你們很會觀察，余數在變化是1，2，3，除數不變都是4，說明余數和除數有什么關系？

生：余數好像都比除數小。

生：除數比余數大。

師小結：在有余數的除法算式里面，余數都比除數小或者說除數比余數大。

在有余數的除法算式里，通過觀察對比這一組算式，能夠發現除數一直都沒變，因為除數代表的是圍成一個正方形所需要的小棒數量，是不會發生變化的。余數是在變化的，因為被除數變了，余數（剩余小棒數量）也發生相應的變化，但是它不會像被除數一樣一直變大，無論如何變化都比除數4 小。從而揭示了余數與除數的關系。

（三）運用“變與不變”思想探索數學規律

數學規律的發現考驗觀察能力以及思考能力，比如一年級的《找規律》這節課也蘊含著“變與不變”的數學思想，比較是數學思維和理解的基礎，我們可以通過比較以及對比的方法去觀察去發現。

教學片段3：一年級《找規律》課間操

師：小朋友們，老師帶大家做個游戲，你們想不想玩？

生：想。

師：那你們認真看哦，看誰反應最快，能跟得上我。

老師開始做動作。

第一組：拍手 拍手 拍肩 拍手 拍手 拍肩 拍手拍手 拍肩……

第二組：拍手 跺腳 跺腳 拍手 跺腳 跺腳 拍手跺腳 跺腳……

很多學生能夠跟著一起做。

師：你們怎么都會做了？

生：老師，你做的動作是有規律的。

師：誰也能像老師一樣，創造一組不一樣的來演一演？

領悟規律的內涵，就要先知道研究對象之間的關系或者聯系，對于年紀較小的兒童來說，事物之間比較容易理解的關系就是相同或者不同，也就是我們后面說的“變與不變”。在這組動作里面看似動作發生變化了，但是懂得觀察的孩子就會發現，變化的動作里面也有不變的，那就是《找規律》里面最關鍵的“一組”，這一組（可能是動作、圖形、數字）是不變的，是重復發生的。從變化里面找不變（重復），學生就容易找到規律了。找到規律后教師又讓學生自己創造規律，帶來新的重組、變化。

（四）運用“變與不變”思想建構數學模型

生活中的問題千變萬化，在這些問題里總有不變的數量和數量關系，有的問題中看似沒有，但實際上這些不變的數量或者關系常常隱含在題目所給的信息中，在解決問題時，教師應該引導學生盡量找到這些“不變量”，把它們作為突破口。小學教材中蘊含著許多關于“變與不變”的素材，教師在研讀教材時應該深入挖掘，在教學中無形滲透，幫助建構數學模型，解決看起來較為煩瑣復雜的問題，以此提高學生的數學素養。

以三年級上冊《多位數乘一位數》單元的解決問題為例。教材里的例題：媽媽買3個碗用了18元。如果買8 個同樣的碗，要用多少錢？教學這一問題時，教師往往是引導學生畫出能表示數量關系的示意圖，需要運用兩步解決的問題，教師都會問一句“這一題要先求什么”。但是真正教過的老師都會有同感，部分理解偏薄弱的學生對于這三個條件無從下手，理不清這三個量之間的關系。所以這時我們先帶學生溯源，為什么是“先求一個碗多少錢”？因為這個問題里其實有兩個情境，第一個是“3個碗用了18元”，第二個是“8個同樣的碗用的錢”，兩個情境其實是有聯系的，碗是一樣的，所以每個碗的價錢是一樣的也就是單價不變。我在教學這部分的內容時，問的第一個問題不是“先求什么”而是“在這個問題中，你們找到相同或者不變的量了嗎？”這里把不變的量作為突破口，一旦找到這個不變的量，問題就能迎刃而解。先要求出每份數，再求總數或份數的兩步計算解決問題，就是“歸一問題”的數學模型。

類似的還有這單元的“歸總問題”，教材里面的例題是“媽媽買6 元一個的碗，正好買6 個。用這些錢買9 元一個的碗可以買幾個？”這個題目同樣有兩個情境，一個是“買6 元一個的碗，正好買6 個”，然后是“用這些錢買9 元一個的碗可以買幾個”。在這兩個情境里面，碗的單價改變了，但還是有不變的量，那就是總價錢。所以用這個不變的量去溝通兩個情境，建立聯系，就能求出第二個情境的數量，從而建立“先求出總數是多少，再去解決具體問題”的歸總問題數學模型。

通過比較，引導學生找出不同事物共同的本質屬性，促進數學模型的建構。問題從情境中來，等到熟練運用“變與不變”的數學思想后，學生就會從不斷變化的情境中發現所有這些問題的結構、本質都是相同的，通過觀察、分析、比較、推理跳出具體情境，從具象的形式中抽象出其本質，促進學生思維的進一步發展。在數學教材中，無論是概念的引入、規律的探索或者模型的建構都蘊含著數學的基本思想方法，教師備課時一定要深入鉆研教材，挖掘出重要的數學思想方法。

二、運用“變中有不變”思想解決思維困感

教師在低段的教學中，如果能在平時滲透“變與不變”的思想，學生在日后或者高段更加有難度的數學學習中也會受益，對于一些比較難理解的知識點學生首先會從這一思想出發去思考。例如，積的變化規律、商的變化規律，這兩個課時都是所在單元的難點，尤其兩個課時學完做練習時，學生很容易把里面的兩個知識點混淆，即“什么情況下積不變、什么情況下商不變”。教學時有一點一定要讓學生體會到，如果是最后的結果不變，那么另外兩個能導致結果的元素必然是發生變化的，也就是我們所說的“變中有不變”。難點在于另外兩個元素分別怎么變化。在課堂教學中，通過舉例、對比一組組算式發現，如果要使積不變，那么兩個因數的變化趨勢必然是相反的。如果要使商不變，那么被除數和除數的變化趨勢是一致的。

我們周圍的世界每天都在發生變化，而變化又會帶來新鮮事物、帶來發展，作為一個老師更不應該拒絕變化，要跟著時代一起進步。但是在變化的同時，不忘初心，有時還是要回歸最本質最自然的狀態，在變化中尋求一種平衡，在平衡中繼續適應不斷變化的萬千世界。