幾個重要不等式及不等式證明方法探析

呂 軍 庫福立 阿布力米提·孜克力亞*

（新疆農業大學數理學院 新疆·烏魯木齊 830052）

0 引言

不等式是高等數學中的一個重要研究內容，它反映了某些變量之間的某種“大小”關系。其在物理學、數值分析、工程技術等眾多領域有著廣泛的應用，特別是一些重要的不等式，例如：柯西不等式、閔可夫斯基不等式、貝努利不等式等一直都是很多學者研究的熱點問題。而在高等數學中，我們的著重點是不等式的證明，不等式的證明是高數中的一種常見的題型，同時也是考研中經常會出現的一種題型。由于其證明方法較多、較復雜，學生們往往感到不知從何入手，因此研究其證明方法就顯得尤為重要。本文的重點就是對其證明方法進行了歸納解析，其目的就是讓學生能更多的掌握證明方法，進一步開拓解題思路，達到學以致用的目的。

1 重要不等式

2 不等式證明方法

2.1 引入參數變量法

2.2 利用微分中值定理

2.3 利用函數的單調性

該方法一般適用于某區間上的函數不等式的證明，而對于數值不等式通常需要通過輔助函數的構造來完成不等式的證明。利用單調性證明不等式的步驟如下：

2.4 利用函數的極值和最值

該方法也是適用于在某個區間上證明不等式，證明的方法和步驟與利用單調性的類似，區別在于所作的輔助函數比較的不是函數在端點處的函數值，而是極值與最值。

2.5 利用函數圖形的凹凸性

2.6 利用泰勒展開式

此方法一般適用于題設中已給出函數具有二階及其以上可導，并且最高階導數的上下界是已知的條件下。其證明的步驟如下：

2.7 利用重要不等式

2.8 利用冪級數展開式

3 結束語

通過以上對不等式的歸納總結可以看出，不等式證明的題型多種多樣，其證明的方法也是各不相同，難度較大。因此就需要學生在學習過程中能具體問題具體分析，學會靈活多變，舉一反三，深刻掌握每種證明方法的內在特征，這樣才能較有效的解決各類不同類型的不等式證明問題。