重視數(shù)形結(jié)合 實現(xiàn)深度學習

于桂紅 于振海

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學思想方法。數(shù)與形是數(shù)學中的兩個最古老也是最基本的研究對象，他們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。借助“數(shù)”的精準性，可以闡明“形”的某些屬性。如我們給長方形具體的長和寬，給三角形邊長、高，給圓半徑等數(shù)據(jù)，通過數(shù)據(jù)的計算來研究這些圖形的特征，即“以數(shù)解形”;借助圖形來闡明數(shù)與數(shù)之間的某種關系，即“以形助數(shù)”。

無論是圖形與幾何、數(shù)與代數(shù)問題的解決，還是統(tǒng)計與概率問題的處理，都需要借助圖形來使數(shù)變得更直觀或者借助數(shù)來使圖形變得更具體。在計算課的教學中，我們必須要重視數(shù)形結(jié)合思想的滲透，發(fā)展學生的數(shù)學思維能力，真正實現(xiàn)深度學習。

一、 分析學情，確立數(shù)形結(jié)合的關鍵點

計算貫穿于小學數(shù)學教學的全過程，與學生的數(shù)學學習始終相伴，它是每個學生必備的數(shù)學技能。當前，很多學生的計算能力明顯下降，尤其是靈活計算的能力不足，這與學生沒有充分理解算理有密切關系。小學生的學習規(guī)律一般分為五個階段：激發(fā)動機、知識感知、知識理解、知識鞏固、知識應用，其中，“知識理解”是核心。學生真正理解知識的標志，一是能用自己的語言或動作將知識正確地表述出來，并能用例子進行說明;二是當新知識以變式的方式呈現(xiàn)時，仍能掌握其實質(zhì);三是了解與其他知識的異同，并能把握知識的上下屬關系。教師應遵循這一學習規(guī)律，夯實“知識理解”這一核心環(huán)節(jié)，提升學生的思維水平和能力，促使深度學習真正發(fā)生。

不同地域、不同班級學生已有的知識經(jīng)驗和心理認知特點都不盡相同，只有進行學情分析，找準學生學習的起點，才能根據(jù)學生學習活動的最近發(fā)展區(qū)，確定教學內(nèi)容的難點和關鍵點。

北師版《義務教育教科書·數(shù)學》三年級上冊第一單元“過河”與前幾節(jié)課相比，出現(xiàn)了“小括號”的知識點。課前，可以這樣進行前測。

1.計算：①60-30÷6，②（60-30）÷6，③27÷3+6，④27÷（3+6）。

2.小李要做60道口算題，已經(jīng)做了32道，剩下的要在4分鐘內(nèi)完成，平均每分鐘要做多少道？請列綜合算式進行計算。你認為應該先算減法還是先算除法？為什么？

第1題中①和③兩個小題是前幾節(jié)課的知識，在筆者所教班級的30名學生中，有24人解答正確率達到了100%，其它6人這兩道題均做錯了其中一道。第1題中②和④小題有10人全部正確。經(jīng)調(diào)查，是因為有些學生提前預習了。有5人選擇放棄計算，有15人按照以往的經(jīng)驗先乘除，再加減的順序進行計算。第2題中要求列綜合算式，其中做對的學生只有2人，其他學生基本都寫成了60-32÷4=28÷4=7（分）。

分析前測結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)，一是學生對于上節(jié)課的知識掌握得較好，受上節(jié)課知識遷移的影響比較大;二是雖然有三分之一學生做帶小括號的計算題計算沒有問題，但是他們并不能準確無誤地將知識運用于問題的解決;還有一些學生在解決問題的過程中，雖然沒有加小括號，但是都根據(jù)解決問題的邏輯關系即算理進行計算，并得出了正確的結(jié)果。這說明學生對于為什么要加小括號及小括號的作用是不理解的，由此我們確定了本節(jié)課學生學習的難點：體會小括號引入的必要性，理解，并掌握用小括號可改變運算順序這一算理。

二、 分析教材，明確數(shù)形結(jié)合的語言表征方式

教師在閱讀和分析教材時，要能夠讀懂編者對教學內(nèi)容的具體要求，結(jié)合學生的實際情況來確定教學策略。《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在計算教學上提出：“應通過解決問題進一步培養(yǎng)學生的數(shù)感，增進算法的理解。”學生在解決問題的過程中，要把擺一擺、畫一畫、列表格等直觀表征的方法轉(zhuǎn)化為恰當、有邏輯性的語言表征方式，這實際上就是將數(shù)學思維外顯化。鑒于小學生的年齡特點，他們的思維水平相對較低，思維外顯對他們來說有一定難度。教師在備課的過程中，要先分析教材中要求的計算教學內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)具體教學內(nèi)容所具備的數(shù)學特征，然后結(jié)合學生已有語言表征的特點，明確數(shù)形結(jié)合的語言表征方式，最終幫助學生明白算理。只有這樣，才能有的放矢地幫助學生在體驗算理的過程中感悟算法，發(fā)展思維。

北師版《義務教育教科書·數(shù)學》五年級上冊“精打細算”的算理就是11.5除以5，用10元除以5等于2元，再把剩下的1.5元變成15角，15角除以5等于3角，2元加3角就是2.3元。在分析教材時要明確，這個算理是學生理解豎式計算方法的基礎，要理清用哪種數(shù)形結(jié)合的語言表征方式可以把這個算理講清楚、講到位。實際教學中，可以讓學生借助真實的人民幣這個具體的“形”，將除法算理的表達過程用語言描述出來。這樣，學生一方面能夠通過真實的情境理解具體數(shù)字所代表的含義;另一方面，在說算理和組織語言的過程中，也能夠感悟除法算理，發(fā)展數(shù)學思維。

同樣，北師版《義務教育教科書·數(shù)學》五年級下冊“分數(shù)乘法（三）”的算理是[3/4]乘以[1/4]，把一個長方形平均分成4份，其中的3份涂上顏色表示這個長方形的[3/4]，再把涂色部分平分成4份，其中一份就占這個長方形的[3/8]。教師必須在充分讀懂教材要求的基礎上，讓學生通過畫圖或者折紙，講出算理得出的過程。這一算理，是五六年級學習“分數(shù)應用題”這一單元中的“分數(shù)乘法”時分數(shù)單位轉(zhuǎn)換的基礎，學生只有理解了這一算理，在以后做分數(shù)乘法應用題轉(zhuǎn)換單位“1”的時候，才不會在心里打一個大大的問號：為什么這樣一乘，單位“1”就變了呢？

三、抓住本質(zhì)，實現(xiàn)“數(shù)”與“形”的有機結(jié)合

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出，數(shù)學教學應“重視學生已有的經(jīng)驗，使學生體驗從實際情境中抽象出的數(shù)學問題、建構(gòu)數(shù)學模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程。”可見，情境只是實現(xiàn)數(shù)學知識抽象化的一個直觀支撐，為了情境而情境的教學只會影響實際教學效果。教師只有抓住知識的本質(zhì)進行恰當?shù)攸c撥，才能“撓”到學生的“癢處”，實現(xiàn)“數(shù)”與“形”的有機結(jié)合。

北師版《義務教育教科書·數(shù)學》五年級上冊“精打細算”一課中，當我們把數(shù)學問題拋給學生的時候，他們一定會用很多方法解決，這時教師就需要到學生中巡視，把不同的方法展示到黑板上。實際上，用算理來解決問題的學生并不多，多數(shù)學生經(jīng)過多年的訓練，一定會用豎式去做，但做法有對有錯。這樣一來，教師就要把多種有價值的做法都展示到黑板上。學生匯報的時候，要有選擇地安排學生進行匯報，先安排用算理的學生做匯報，然后安排用豎式算錯的學生匯報，最后安排用豎式算對的學生匯報。在匯報的過程中，教師一定要鼓勵學生不懂就問，有的學生能問到關鍵點，問不到也沒有關系。我們要抓住四個關鍵問題：整數(shù)部分算完余下的1表示什么？小數(shù)部分余下的5表示什么？明明余下了1.5元，豎式里為什么寫15，而不寫小數(shù)點呢？“商”為什么寫小數(shù)點呢？其中后面的兩個問題直接抓住了知識的本質(zhì)，指向算理。這樣一來，通過幾個問題，引領學生完成了數(shù)形結(jié)合，提升了思維品質(zhì)的深刻性和靈活性。

此外，二年級上冊“有多少點子”一課的教學目標是通過計算點子的數(shù)量進一步體會加法和乘法之間的聯(lián)系，其知識的本質(zhì)就是對乘法意義的理解并靈活運用。乘法的意義是求幾個相同加數(shù)和的簡便運算。在引導學生處理“問題串”的時候，學生擺出了7行4列或者是4行7列。無論怎樣擺，都是4個7相加或7個4相加。這時，教師應相機板書：

7+7+7+7=28 4個7 4×7 或 7×4

4+4+4+4+4+4+4=28 7個4 4×7 或 7×4

讓學生觀察板書并提問：“你發(fā)現(xiàn)了什么？”這里面的信息量很大，學生會發(fā)現(xiàn)，無論是4個7相加還是7個4相加都可以用兩個相同的算式表示。這時，需要教師點撥：“看第一行，在這里，4個7中，7表示加法算式中的什么？4表示什么？算式4×7中7表示什么？4表示什么？”這樣的點撥，緊緊圍繞乘法意義這一本質(zhì)進行教學，使學生明白了4×7在不同情況下表示不同的意義。意義不同，都可以用相同的算式表示。

四、去情境化，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的抽象建模

學生學習數(shù)學需要一個先“內(nèi)化”再“泛化”的過程，要通過大量的例舉，在觀察、比較、分析、抽象、概況的數(shù)學活動中，將數(shù)學知識從具體情境中抽象出來，由現(xiàn)實情境走向數(shù)學，實現(xiàn)對現(xiàn)實情境的超越，建立數(shù)學模型;再反過來，將自主建構(gòu)的知識運用于新的情境，解決新的問題。

北師版《義務教育教科書·數(shù)學》四年級上冊“乘法分配律”這一知識點，就要經(jīng)歷以下建模過程。

首先，發(fā)現(xiàn)問題。教材呈現(xiàn)了如下“貼瓷磚”的情境圖，并要求結(jié)合圖與同伴說說等式3×6+4×3=（6+4）×3為什么成立。學生通過兩種不同的算法得出：

3×10+5×10=（3+5）×10，4×8+6×8=（4+6）×8

學生對規(guī)律的觀察、理解、分析必須要有一個量的積累，才會實現(xiàn)質(zhì)的飛躍。教材只提供這一個情境，教師如果在這里急著總結(jié)乘法分配律的規(guī)律顯然為時過早。因此，可以再提供一個情境問題拓展學生的感知。

學校要給28人的合唱隊買服裝。每件上衣46元，每件褲子54元，一共需要多少元？

學生會列出兩個不同的算式，并發(fā)現(xiàn)這兩個算式可以用等號連接：46×28+54×28=（46+54）×28。在前面兩個情境的基礎上，教師還可以引導學生觀察等號兩邊的算式，并提問它們有什么特點？

其次，驗證規(guī)律。要求舉例驗證符合上面規(guī)律的算式就一定相等。

再次，歸納規(guī)律。讓學生自己總結(jié)和歸納上面得出的規(guī)律。

最后，運用規(guī)律。這時，可以出示拓展類的題型，學生在運用規(guī)律的同時，學會舉一返三，真正達到對規(guī)律的理解。

建構(gòu)主義認為，知識并不是簡單地由教師或其他人傳授給學生，只能由每個學生依據(jù)自身已有的知識經(jīng)驗，主動地加以建構(gòu)，最終形成屬于他們自己的數(shù)學知識體系。因此，教師必須引導學生從復雜的現(xiàn)象中抽象出它們最本質(zhì)的數(shù)學模型，實現(xiàn)從方法到模型，從模型到應用的轉(zhuǎn)變。

總之，數(shù)學是抽象和形象相結(jié)合、嚴謹和直觀相統(tǒng)一的課程，在小學、中學乃至高中的整個數(shù)學知識體系中，數(shù)形結(jié)合思想方法始終貫穿其中，它不僅是一種思想方法，更是我們進一步學習、解決、探索和研究數(shù)學問題必備的能力。鑒于數(shù)形結(jié)合的重要性及其意義，教師一定要重視并善于在課堂上進行數(shù)形結(jié)合思想的滲透，最終實現(xiàn)學生的深度學習。

（責任編輯：楊強）