借助幾何直觀 構建“講道理”的課堂

鄭璘玲

“小數的意義”一課是典型的概念教學，在小學數學教學體系中占有非常重要的位置。福建省普教室特級教師羅鳴亮在其執教的“小數的意義”課堂上，充分利用了學生已有的生活經驗，通過依次拆開“神秘的信封”活動，追本溯源，恰當地利用標準圖形和變式圖形，引導學生逐步挖掘隱藏在“小數”背后深層次的數學之“理”，帶領學生探究“小數”形成的全過程，活化了數學思維，構建了“講道理”的數學課堂。

一、問題引領，思之有“源”

認知沖突是學生思維的“催化劑”，通過創設認知沖突，能激發學生的數學思維，使學生產生數學學習的動力。在教學中，可以通過問題來引發學生的認知沖突，使他們在解決問題的過程中去思考，通過思考掌握數學知識的本質。

上課伊始，羅老師依次抽出一個裝有若干個紅色正方形的“神秘信封”。

師：我帶來了幾個正方形。大家數一數看，一共有多少個？

生：1、2、3個……10個。

師：10個10個地數。

生：10個、20個……100個。

數著數著，只見羅老師不慌不忙地從信封中取出一個與之前形狀和大小一樣、但涂色面積不同的正方形（如下圖所示），并提問：這個圖形中的涂色部分表示多少個正方形呢？

學生一時沒有了頭緒，紛紛表示不理解。心中產生了問題：如果說之前出示的正方形，每個正方形表示“1”個單位，那么這個正方形的涂色部分又該表示多少個正方形呢？直覺是在豐富知識經驗的基礎上，在短時間內直觀地把握事物的本質，瞬間做出判斷的思維形式。而數學意義上的直覺是人腦對數學對象、結構、關系以及規律性的某種直接領悟或洞察。數學直覺盡管“突如其來”，但也是立足于已有知識經驗和數學思考的，是“有一定根據的”。如何讓學生“推之有據”？在傳統的教課堂教學中，不少教師常擔心學生不理解自己的用意，怕他們的思維出“岔道”而迷路，浪費寶貴的課堂時間。因此，他們喜歡把解決問題的思路講明白，在學生腦海中尚未形成問題意識之前，就急于過早地亮明“路標”，希望把學生的思路引向預期的答案。這樣做不僅限制了學生思維的活躍度，也使其自我探索的興趣盡失。學生一旦思路變得狹窄，就會產生學而無惑、學而無味的感覺。羅老師這時并沒有急于亮出答案，而是讓學生繼續思考，積極尋找猜想的依據、思考猜想的合理性。

師：出了什么問題？

生：我發現這個正方形上不全是涂著紅色，有一部分是涂著白色。

師：也就是說，這個正方形還能用1來表示嗎？

生：不能。

師：怎么辦呢？

生：用小數。

此前，學生雖已學習了“分數的初步認識”和“小數的初步認識”，頭腦中對分數、小數的概念已有一定認知，但對小數、分數與整數之間的有機聯系依然不清楚。面對不完整的正方形，如果一味試圖用整數來解決問題，必然會遇到無法克服的困難。一張不完整的正方形卡片，巧妙地為學生創設了一個真實的、與學生現有知識水平有“沖突”的、合情合理的教學情境。用問題“還能用1來表示嗎？”又一次引發了學生的議論和思維碰撞。在教學中，渴求知識的學生會因挑戰而睿智，因認知沖突而生動，有效的課堂會因“講道理”而出彩。此時，學生對“不一樣”的正方形所產生的質疑，正是需要開發的寶貴教學資源。

二、追根溯源，探之有“據”

在課堂上要有意留給學生充分的思維時空，循序漸進，由淺入深，以問題沖突為導索，讓學生自己學會“抽絲剝繭”，一步步深化探究，借助問題沖突“講道理”，用“問題之鑰”開啟“問題之鎖”。

羅老師出示一張“十等分”中涂色占“三分”的正方形，并提出問題：你會用哪個小數來表示它？

生：0.3。

（羅老師先板書0.3，再出示一張“十等分”中涂色占“七分”的正方形）

生：0.7。

師：數一數，一共有幾個這樣的數？

生：0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9。

師：0.9加上一個0.1，就是1。

（羅老師又出示一張之前“未知”的正方形，讓學生通過比較估測那張正方形中涂色部分占“幾分”）

生：我覺得0.5不可能，因為白色部分少于一半，不止0.5。

師：到底是多少呢？

生：既然我們能用十分之幾表示一位小數，同樣也可以把一個正方形平均分成100份，用百分之幾表示兩位小數;還可以平均分成用1000份，用千分之幾表示三位小數。

羅老師為了引導學生追根溯源，梳理小數發展的歷史脈絡，探明小數的產生過程，將小數作為自然數的外延，從辨認一張不一般的正方形入手，直觀又自然地引出結論：不滿“1”的一位小數可利用“平均分”法，進行十等分、百等分、千等分……幫助學生深入理解了小數的意義，建立起小數意義的模型。

三、數形結合，推之有“理”

學生懂得了小數源自“十進分數”的理論之后，為了加深理解，繼續挖掘小數概念的內涵，羅老師抓準學生認知結構中的混淆點、易錯點和缺失點，挑選出比較0.9與0.90異同點這個挑戰性題目，為突破難點開辟了一個新視角，再次引發學生的認知沖突，讓學生不知不覺落入問題“陷阱”。然后，又在0.9的后面補了一個零，并提出問題：到底是0.90還是0.9呢？

生：0.90。把正方形“十等分”，現在涂紅色的占9份，所以是0.9。

生：把一個正方形平均分成了100份，涂滿了90份，所以是0.90。

生：我覺得0.9和0.90，它們代表的部分是一樣的。平均分成100份、涂90份，相當于平均分成10份、涂9份的部分。

師：0.90后面添了一個0。如果不添，可以嗎？

生：可以。

師：為什么不添0也可以呢？

生：因為0.9和0.90表示的份數都一樣。

生：老師，我覺得不可以，因為0.9是直接把這個正方形平均分成10份，取其中的9份，但現在這個正方形是取其中的90份，份數不同。

生：0.9表面上可以。如果是1米長的線段，0.9代表的是9分米;如果是0.90的話，它代表的是90厘米。90厘米等于9分米，所以應該是可以的。

生：我覺得不可以。因為它們表示的是份數不一樣，雖然它們所占的量與它們填滿的部分都一樣，但是它們平均分成的份量不同。

師：它們表示的大小是不是一樣的？

生：是一樣的。

短短40分鐘的課堂，羅老師不忘適時、適度地滲透“數形結合”這一重要的數學思想方法。小數的十分進制兼有“數”的嚴謹與“形”的直觀，充分體現了數學教學中最精彩的一面。利用它能使復雜變得簡單，抽象變得具體。以簡潔、合理、科學為原則選取十進制，與整數“滿十進一”的規則對接，形成一個整體。通過精心設置，引導學生深入挖掘，一步一步根據算理去思考，深刻認識和理解了每相鄰計數單位之間的十進制關系，建構起了小數數位順序表，并在整數數位表上順利銜接延續。

四、直覺判斷，解之有“法”

小數產生的本源在于計量的需要，并非由分數改寫而成的。羅老師又提出了“為什么要把‘1’平均分成10份，而不是9份或11 份呢”的疑問，讓原本單一、枯燥的概念教學，在新知識的生長點處又引發出新的“認知沖突”。

師：板書[536/1000]， 0.536。

師：你覺得羅老師是要把它平均分成1000份，然后涂上536份嗎？

生：平均分成600份，取其中的536份。

生：不行，不能平均分成600份，而要是分成1000份，分得又太多了。

生：先把它平均分成10份，然后在分3和6時，把它再平均分成10份。

師：你的的意思是0.536中有5個0.1。

生：0.536中，有3個0.01。

生：0.536中有6個0.001。

通過類比，層層剝離，讓學生終于解開了“如果分成9份，分成11 份，會便利嗎”的問題。

羅老師的課堂，除了能在教學新知識生長點時對概念內涵巧設“陷阱”，還能在教學新知概念的外延上捕捉認知沖突，誘發學生在認知的“平衡”與“不平衡”間進行充分地爭議，在爭議中暴露出學生的“錯誤”認知和思維缺陷，從而完善認知，提升思辨能力。

師：再想一想看，那么多三位小數，羅老師為什么偏偏不帶其他來，只帶一個0.536來呢？想一想并猜一猜，0.536和我有什么關系？

生：老師，會不會是你的生日？

師：你覺得我的歲數是小數嗎？

生：我想這是你辦公室的門牌號。

師：有把門牌號寫成小數的嗎？

生：老師，我猜你是5點36分生的？

師：年、月、日、門牌號，還有出生的時間，用小數表示，有意義嗎？

生：身高是536厘米，還是536毫米？

師：請來看一看，0.536會是羅老師的什么呢？其實，0.536米是羅老師的手臂長度。請看大屏幕（播放課件出示數軸）。

師：我的身高在數軸上，能找得到嗎？

師：1.73米。那么，40年后的身高呢？

生：40年后會是1.83米。

師：40年后就不到1.73米了，這是由于人變老了。

生：40年后的身高可能沒有現在這么高了。因為人老了就會變矮。

師：說得好，這是自然規律。

在猜想“0.536”的過程中，學生可以直觀地領悟到“一個小數，數位不同，位值也就不同”，感知小數在實際生活中應用的適應性和廣泛性。

最后，羅老師又一次借助“數形結合”，用數軸亮出謎底作為總結，讓學生在數軸上找整數、分數、也找小數，實現了數與形的真正“聯姻”，幫助學生在認識數序的同時，親身體驗自然數、分數和小數及其之間的互化、大小、內在關系，使抽象的數變得有“形”可依。

（責任編輯：楊強）